Мат. анализ, 2 часть; 1 семестр(2) (Все лекции в электронном виде), страница 5

Пусть функция y  f ( x) непрерывна и дифференцируема в некоторойокрестности точки x0 . Пусть x – приращение аргумента (не выводящее из этойокрестности), а y – соответствующее приращение функции. Пусть, для определенностиx  0 . Применяя теорему Лагранжа на отрезке [ x0 , x0  x ] , получим:yf '(c ) , c  ( x0 , x0  x) ,xилиy  f '(c) x .Эта формула, связывающая конечные приращения функции и аргумента с производнойфункции, называется формулой конечных приращений Лагранжа. Из первого замечанияочевидна, что она справедлива также для x  0 (только, в этом случае, c  ( x0  x, x0 ) ).Используя вспомогательный параметр  : 0    1 , можно записать формулу конечныхприращений в виде:y  f '( x0  x)x(здесь c представлено как c  x0  x ).Замечание.

Теорему Ролля можно рассматривать как частный случай теоремыЛагранжа. Действительно, добавив к условиям теоремы Лагранжа условие f (b )  f ( a ) , изформулы Лагранжа получим:f '(c )  0 .Известно, что производная постоянной равна нулю.

Основываясь на теоремеЛагранжа, можно показать и обратное: если производная функции равна нулю, то этафункция есть постоянная.Лемма (следствие теоремы Лагранжа). Пусть f '( x)  0 на интервале (a , b) . Тогдаf ( x )  const на этом интервале.Доказательство. Выберем произвольные x1 , x2  (a, b) , такие, что x2  x1 . На[ x1 , x2 ] выполнены условия теоремы Лагранжа (действительно, раз функция f ( x )дифференцируема на интервале (a , b) , то она непрерывна на этом интервале, сегмент же[ x1 , x2 ] вложен в интервал (a , b) ).

По теореме Лагранжа,c  ( x1 , x2 ) : f ( x2 )  f ( x1 )  f '(c)( x2  x1 ) ,Но, т.к. f '( x)  0 x  ( a , b ) и, в частности, f '(c )  0 , то f ( x2 )  f ( x1 )  0  f ( x2 )  f ( x1 ) .В силу произвольности выбора x1 и x2 , приходим к выводу, что значения функций f ( x ) влюбых двух точках (a , b) совпадают, т.е. f ( x )  const на (a , b) .Лемма доказана.§4. Теорема Коши.Теорема.

Пусть заданы две функции f ( x ) и  ( x) и пусть выполняются следующиеусловия:1) f ( x ) и  ( x ) непрерывны на отрезке [a, b] ;2) f ( x ) и  ( x) дифференцируемы на интервале (a , b) ;3)  '( x)  0, x  (a, b) .Тогда c  ( a , b), такая, что справедливо равенство:f '(c ) f (b)  f (a ). '(c)  (b)   (a)(2)28Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функциюF ( x)  f ( x )   ( x) ,где  – некоторая постоянная.

Эта функция непрерывна на отрезке [ a , b ] (в силунепрерывности f ( x ) и  ( x ) на этом отрезке) и дифференцируема на интервале ( a , b ) (всилу дифференцируемости f ( x ) и  ( x ) на этом интервале). Выберем  из условияF ( a )  F (b) :f ( a )   (a )  f (b )   (b ) ( (b)   (a))  f (b)  f (a ).Чтобы выразить  , убедимся, что  (b)   (a)  0 . Действительно, если  (b )   ( a ) , тофункция  ( x) на [ a , b ] удовлетворяет условиям теоремы Ролля и, следовательно,x0  (a, b) :  ( x0 )  0 , что противоречит третьему условию настоящей теоремы.Следовательно,  (b )   ( a ) иf (b)  f (a ). (b)   (a)Теперь функция F ( x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля, следовательноc  ( a , b ) : F '(c )  0 , т.е.f '(c)   '(c )  0 .С учетом выражения для  , отсюда получим:f '(c)f '(b)  f '(a) . '(c) '(b)   '(a)Теорема доказана.Замечание.

Также как и формула (1), формула (2) справедлива не только при b  a ,но и при b  a . Действительно, если b  a , применяя теорему Коши на отрезке [b, a ] ,получим:f '(c ) f (a )  f (b), c  (b, a) . '(c )  (a )   (b)Умножив теперь числитель и знаменатель дроби в правой части на 1 , снова придем кравенству (2).Замечание. Нетрудно убедиться, что теорему Лагранжа можно рассматривать какчастный случай теоремы Коши при  ( x )  x .§5. Правило Бернулли – Лопиталя.Сформулируем и докажем теорему, позволяющую легко вычислять пределы.Теорема. Пусть в некоторой окрестности u ( a ) точки a определены функции f ( x )и  ( x) , удовлетворяющие следующими условиям:1.f ( x ) и  ( x) дифференцируемы в u ( a ) ;2.f ( a )  0 и  ( a)  0 ;3. '( x)  0 , в u ( a ) ;f '( x) lim A.4.x a  '( x)29Тогда существуетf ( x)lim A.x a  ( x )Доказательство.

Пусть x  u (a ) . Тогда, при x  a , на отрезке [ a , x] (при x  a , наотрезке [ x, a] ) функции f и  удовлетворяют условиям теоремы Коши. Следовательно,c  (a, x) (либо, соответственно, интервалу ( x, a) ) такая, чтоf '(c ) f ( x )  f (a), '(c)  ( x )   (a )или, с учетом того, что f ( a )  0 и  (a)  0 ,f '(c ) f ( x). '(c)  ( x)Переходя к пределу при x  a , с учетом того, что отрезок [ a , x] ( [ x, a] ), внутри которогонаходится точка c в этом пределе стягивается в точку, т.е. c  x , получим:f ( x)f '(c)f '( x )lim lim lim.x a  ( x )x a  '(c )x  a  '( x)Теорема доказана.0, при выполнении ряда0естественных условий, равен пределу отношения их производных:Итак, предел отношения функций, в случае неопределенности0f ( x) 0f '( x)lim lim.x a  ( x)x  a  '( x)Эта теорема представляет собой частный случай более общей теоремы, называемойправилом Бернулли-Лопиталя.Пример.0x  sin x 0lim lim(1  cos x)  0.x0x 0xЗамечание.

При вычислении пределов, правило Бернулли-Лопиталя иногдаприменяется несколько раз.Пример.0x  sin x 01  cos xsin x 1lim lim lim .32x0x0x 0 6 xx3x6Дадим теперь общую формулировку правила Бернулли-Лопиталя, которая допускает, вопервых, неопределенность вида, во-вторых, произвольное стремление аргумента(например, x   ).Теорема (правило Бернулли-Лопиталя). Пусть в некоторой окрестности u (*) точки* определены функции f ( x ) и  ( x) , удовлетворяющие следующими условиям:5.f ( x ) и  ( x) дифференцируемы в u ( a ) ;6.f ( a )  0 и  (a )  0 при x  * , или f ( a )   и  (a )   при x  * ;307. '( x)  0 , в u ( a ) ;f '( x) lim A.8.x a  '( x)Тогда существует0 f ( x) 0 f '( x)lim lim.x *  ( x)x *  '( x)Пример.1x 1 lim x  lim x  0 .x  ex  eЗамечание.

Правило Бернулли-Лопиталя дает достаточное, но необходимое условиеf ( x)f '( x)f ( x)существования lim. Если limне существует, то limвсё равно можетx *  ( x)x *  '( x)x *  ( x)существовать.Пример. Предел отношения функцийx  sin xlimx xс неопределенностьюсуществует и равен единице. Действительно,x  sin x sin x lim lim  1  1,x x xx sin xт.к. 0 при x   по теореме о произведении бесконечно малой на локальноxограниченную.

В то же время, соответствующий предел отношения производных1  cos xlim lim(1  cos x) , очевидно, не существует.x x 1§6. Раскрытие неопределённостей других видов.Мы видели, что правило Бернулли-Лопиталя можно использовать для раскрытия0неопределенностей типаи.

Рассмотим теперь, как его использовать в случае0неопределенностей других типов.01. Неопределенность 0   легко преобразуется в неопределенность или :0100 = 0 = ;0010 =  = .Под этими «символическими» преобразованиями подразумеваются со ответствующиепреобразования над функциями, стоящими под знаком предела. Например, перваяпоследовательность преобразований означает следующее:10lim f ( x) g ( x)  lim f ( x)x *x *1010 limx *g ( x)f ( x).1g ( x)310. После преобразования0произведения в дробь (преобразования типа неопределенности), используется правилоБернулли-Лопиталя.

На практике все выглядит гораздо проще и естественней, чем втеории.Пример.10ln x lim x ln x  lim 1  lim x   lim x  0 .x 0 x 0  xx 0  1x0 x22. Неопределенность    преобразуется следующим образом:Очевидно, последний предел содержит неопределенность - =11000 ,000 00Пример.1 1lim  x  0 sin xx1 1 0 000x  sin x 01  cos x 0lim limx 0 x sin xx 0 sin x  x cos x02sin x lim 0.x 0 2cos x  x sin x3. На равнее с неопределенностью 1 существуют также неупоминавшиесяранее неопределенности 00 и 0 . Все три типа неопределенностей преобразуются внеопределенность 0   по одной и той же схеме:1  eln1  eln1  e0000  eln 0  e0ln 0  e 000  e ln   e0ln   e 0 .Пример.00lim x ln x 0xlim x x  lim eln x  lim e x ln x  e x0x 0 x 0 x 0  e0  1 .Здесь мы воспользовались результатами первого примера.§7.

Сравнение роста показательной, степенной,и логарифмической функций при x  .Покажем, что при больших x любая показательная функция (с основаниембольше единицы) растет быстрее степенной (с положительным показателем), а степенная– быстрее логарифмической. Нам понадобится следующее определение.Опр.

Факториалом натурального числа n (« n -факториал») называетсяпроизведение натуральных чисел от 1 до n :n !  1  2  3  ...  n .Факториал нуля по определению равен единице:0!  1 .Пример. 5!  1  2  3  4  5  120 .1) Рассмотрим степенную функцию с натуральным показателем f ( x)  x n , n  Nи показательную функцию с основанием больше единицы:32g ( x )  a x a  1.Покажем, что показательная функция имеет высший порядок роста, по сравнению состепенной приx  .xn nx n 1 n(n  1) x n 2 n!limlimlim...lim 0.xxx2xДействительно, x  a x a ln a x  a (ln a)x  a (ln a ) nТаким образом,x n  o ( a x ) при x  .Можно показать, что это равенство справедливо не только для натуральной степени:x  0 x  o ( a ) при x  .Итак, показательная функция при x→+∞ растёт быстрее любой степени x .

В частности,x   o ( e x ) при x  .2) Рассмотрим теперь степенную функцию с положительным показателем инатуральный логарифм: f ( x)  x ,   0, g ( x )  ln x. Покажем, что степенная функцияимеет высший порядок роста по сравнению с логарифмом при x   . Действительно,1ln x x  lim 1  0.lim   limx  xx   x 1x  xТаким образом,ln x  o( x ) при x   .Это равенство справедливо и для логарифма с произвольным основанием a  1 :log a x  o( x ) при x   .3) С учетом сказанного, очевидно, что показательная функция имеет высшийпорядок роста по сравнению с логарифмической при x   :log a x  o(b x ) при x  ( a, b  1 ).Лекция № 11§1. Формула Тейлора.Пусть функция y  f ( x), определенная в некоторой окрестности точки x0 ,дифференцируема в этой точке.

Тогда, как известно, приращение данной функции в точкеx0 представимо в виде:y  f ( x)  f ( x0 )  f '( x0 )x  o(x) , где x  x  x0 .Иными словами,f (x)  f (x0 )  f '(x0 )(x  x0 )  o(x  x0 ) при x  x0 .Это равенство представляет собой формулу Тейлора 1-го порядка. Как мы виделиранее, оно позволяет сколь угодно точно вычислить значения функции при достаточномалых x . Однако, при больших x точность приближения функции по этой формулебудет плохой.