Мат. анализ, 2 часть; 1 семестр(2) (Все лекции в электронном виде)

А.В. ГласкоЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУАНАЛИЗУМОДУЛЬ 2«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙПЕРЕМЕННОЙ»Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана20131Лекция 8§1. Понятие производной.Рассмотрим функцию y=f(x), определенную в некоторой окрестности точки x0 . Пусть x –некоторая точка изэтойокрестности.Обозначим,какобычно, черезxприращениеаргумента:x  x  x0 ,ачерезy–соответствующееприращение функции(рис. 1):y  f ( x)  f ( x0 ) .Рис. 1. Приращение аргумента и приращение функции.Опр. Производной функции y  f ( x ) в точке x0 называется предел отношенияприращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, пристремлении последнего к нулю:yf '( x0 )  lim.x  0 xЕслиylim,x  0 xговорят что функция f ( x ) имеет в точке х0 бесконечную производную:f '( x0 )   .Если говорят, что функция имеет производную в точке x0 , обычно (если не оговоренообратное) подразумевают, что эта производная конечна.Производная функции в точке есть число.

Однако, если производная функции f ( x )существует в любой точке некоторого интервала (в частности, на R ), она определяетнекоторую новую функцию R  R  ( x )  f '( x ) . Нахождение производной заданнойфункции называется дифференцированием.Примеры.1. Найдем производную функции y  e x . Выбрав любую точку x  R и обозначивчерез x и y приращения аргумента и функции в этой точке, имеем:yf ( x  x )  f ( x )e x x  e xe x  1 xxy '  lim lim lim e lime ,x  0  xx  0x 0x  0xxx2et  1 1 , или соответствующегоt 0tотношения эквивалентности: et  1 ~ t при t  0 . Таким образом, производная экспонентыравна экспоненте.2.

Найдем производную функции y  ln x . x ln 1 yln( x  x)  ln xx 1x y '  lim lim lim  lim .x  0  xx  0x0x0xxxx xЗдесь использовано отношение эквивалентности ln(1  t ) ~ t при t  0 .2. Найдем производную функции y  sin x .xx 2 sincos  x ysin( x  x )  sin xx 22 y '  lim lim lim lim cos  x   cos xx  0  xx  0x0x0xx2 .Таким образом, производная синуса равна косинусу. Эта производная также определенана R .

Аналогичным образом можно показать, что (cos x ) '   sin x . Рекомендуется сделатьэто в качестве упражнения.Поскольку функция f ( x ) , в общем случае, может быть определена только в правоили левосторонней окрестности точки x0 , целесообразно ввести понятие одностороннихпроизводных.Опр. Правосторонней производной функции y  f ( x ) в точке x0 называетсяпредел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращениюаргумента, при стремлении последнего к нулю справа:yf '( x0  )  lim.x 0  xОпр. Левосторонней производной функции y  f ( x ) в точке x0 называется пределотношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращениюаргумента, при стремлении последнего к нулю слева:yf '( x0 )  lim.x  0 xОсновываясь на теореме о связи односторонних пределов с двусторонним,нетрудно доказать следующую теорему.Теорема.

Функция f ( x ) имеет в точке x0 конечную двустороннюю производнуютогда и только тогда, когда она имеет в этой точке обе конечных одностороннихпроизводных и они равны. При этом двусторонняя производная равна односторонним.в силу следствия второго замечательного предела lim§2. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной инормали к графику функции.Выясним геометрический смысл производной f '( x0 ) .

Пусть y0  f ( x0 ) , аy  f ( x)  f ( x0  x ) . Построим секущую MN к графику функции f ( x ) в точке M ( x0 , y0 )– рис. 2.По мере убывания абсолютной величины x (на рис. 2 x положительна), точкаN движется вдоль графика функции по направлению к точке M , а прямая MNповорачивается вокруг точки M . В пределе x  0 точки M и N сольются в однуточку, так что прямая будет иметь единственную общую точку с графиком.3=Рис. 2. Геометрический смысл производной.Опр. Предельное положение секущей MN графика функции f(x), при стремленииточки N к точке М вдоль графика называется касательной к графику в точке М.Очевидно, что тангенс угла между секущей MN и положительным направлениемоси Ox равенytg .xПерейдем в обеих частях этого равенства к пределу при x  0 .

Посколькусекущая в этом пределе превращается в касательную, то tg  tg 0 , где  0 а – уголмежду касательной к графику функции f ( x ) в точке x0 и положительным направлениемyоси Ox . Отношение жестремится к производной f '( x0 ) . Таким образом, производнаяxфункции f ( x ) в точке x0 равна тангенсу угла между касательной к графику даннойфункции в этой точке и положительным направлением оси абсцисс:f '( x0 )  tg 0 .Вспомним, что уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку M ( x0 ; y0 ) ,может быть записано в видеy  y0  k  ( x  x0 ) .Постоянная k называется угловым коэффициентом прямой.

Угловой коэффициент равентангенсу угла между данной прямой и положительным направлением оси абсцисс:k  tg . В частности, для того чтобы поучить уравнение касательной, выберем на нейпроизвольную точку P( x; y ) . Из прямоугольного треугольника MQP на рис. 3 видим, чтоy  y0 tg 0  f '( x0 ) ,x  x04Рис.

3. Вывод уравнения касательной.илиy  y0  f '( x0 )  ( x  x0 ) .Это и есть уравнение касательной к графику функции в точке M ( x0 ; y0 ) .Теперь мы можем окончательно сформулировать геометрический смыслпроизводной функции в точке: производная функции f ( x ) в точке x0 равна тангенсу угланаклона касательной к графику данной функции в этой точке по отношению кположительному направлению оси абсцисс,или, что то же самое, – угловомукоэффициенту касательной:f '( x0 )  tg 0  k .Опр. Нормалью к графику функции f(x) в точке x0 называется прямая,перпендикулярная касательной к графику в этой точке.Из школьного курса известно, что угловые коэффициенты перпендикулярных1прямых связаны равенством k1   .

Поэтому уравнение нормали имеет видk21y  y0   ( x  x0 ) .f '( x0 )5Отметим, что график функции необязательно имеет касательную в любой точке. Так нарис. 4, очевидно не существует касательной к графику в точке (с абсциссой) x0 .Рис. 4. Пример не гладкой кривой.Опр. Кривая, имеющая касательную в любой точке (из рассматриваемогопромежутка), называется гладкой (на этом промежутке).Из геометрического смысла производной, очевидно, что если функция имеет конечнуюпроизводную в любой точке интервала (a, b) , то ее график является гладким на этоминтервале.

Обратное утверждение неверно. Так на рис. 5 приведен график функции, неимеющей конечной производной в точке x0 , но тем не менее имеющий касательную вэтой точке, а значит – гладкий.Геометрический смысл бесконечной производной состоит в следующем: еслипроизводная f '( x0 )   , то касательная к графику функции f(x) в точке x0 параллельнаоси Oy и описываетсяуравнением х=х0 (рис.

5)Рис. 5.Геометрический смыслбесконечной производной.6§3. Механический смысл производной.Рассмотрим материальную точку, движущуюся прямолинейно и равномерно вдольоси Ox (рис. 6).Рис. 6. Механический смысл производной.Пусть в момент времени t материальная точка занимает положение x и за время tсовершает перемещение x .Как известно, скоростью движения такой материальной точки называется отношениеxv.tОбобщим понятие скорости на случай неравномерного движения.

В этом случаеxотношениебудет зависеть от величины t . Введем понятие средней скоростиtдвижения точки за промежуток времени t :xvtи определим скорость движения в момент времени t , как предел средней скорости приt  0 .Опр. Мгновенной скоростью движения материальной точки в момент времени tназывается предел отношения перемещения этой точки x за промежуток времени t кэтому промежутку времени при стремлении последнего к нулю:xv(t )  lim.t  0  tВ соответствии с определением производной, последнее означает, что скорость движенияматериальной точке равна производной перемещения этой точки, как функции времени:v(t )  x '(t ) .В этом и состоит механический смысл производной.Общий физический смысл производной состоит в следующем.

Если x(t ) –некоторая характеристика физической системы (температура, концентрация вещества ипр.), то скорость изменения этой характеристики с течением времени равнаv(t )  x '(t ) .Аналогичным образом определяется скорость изменения характеристик объектов (систем)любой природы (химических, геологических, астрономических, психических, социальных,экономических и пр.), т.е. скорость протекания любых процессов. Например, скоростьроста (изменения) численности населения равна производной этой численности повремени.§4.

Дифференцируемость функции в точке.Опр. Функция f ( x ) называется дифференцируемой в точке x0 , если существуеттакая постоянная A , что приращение функции в этой точке при x  0 представимо ввидеy  Ax  o(x ) .7Отметим, что величина A называется постоянной в том смысле, что она не зависит от x .В то же время, она, вообще говоря, зависит от x0 .Теорема. Функция f ( x ) дифференцируема в точке х0 тогда и только тогда, когдаона имеет в этой точке конечную производную.

При этом A  f '( x0 ) .Доказательство. Покажем сначала, что если функция дифференцируема в точкеx0 , то она имеет в этой точке конечную производную, причем f '( x0 )  A . Для этогоразделим обе части равенстваy  Ax  o(x )на x . Имеем:yo(x ) A.xxПереходя к пределу при x  0 в обеих частях равенства и учитывая, что, поопределению б.м. высшего порядка малости,o(x )lim0,x  0 xполучим:yf '( x0 )  lim A,x 0 xчто и требовалось доказать.Покажем теперь, что если функция имеет в точке x0 конечную производную, тоона дифференцируема в этой точке, причем A  f '( x0 ) . Действительно, посколькуylim f '( x0 ) ,x  0  xпо теореме о связи между функцией, ее пределом и бесконечно малой,y f '( x0 )   (x) ,xгде  (x) – б.м. при x  0 . Умножив обе части равенства на x , получимy  f '( x0 )x   (x )x .Очевидно, что второе слагаемое в правой части имеет высший порядок малости посравнению с x при x  0 :  (x)x  o(x ) . Действительно, ( x ) xlim lim  (x )  0 .x  0x 0xТаким образом, справедлива формулаy  Ax  o(x ) ,где A  f '( x0 ) .Теорема доказана.С учетом доказанной теоремы, формула, выражающая определение дифференцируемостифункции в точке, может быть записана в виде:y  f '( x0 )x  o(x ) .Теорема (о связи между дифференцируемостью и непрерывностью функции).

Еслифункция дифференцируема в точке x0 , то она непрерывна в этой точке.Доказательство. Из определения дифференцируемости:y  Ax  o(x )очевидно, что при x  0 y  0 , но это и означает, что функция f ( x )непрерывна в точке x0 .Теорема доказана.8Замечание.

Обратное не верно: из непрерывности функции не следует еедифференцируемость.Пример. Функция, график которой представлен на рис. 4 является непрерывной вточке x0 , но не является дифференцируемой в этой точке (не имеет в ней производной).§5. Правила дифференцирования.Теорема. Производная постоянной равна нулю: C '  0 .Доказательство.