Аникин А.Ю.Теория поля.МГТУ 2013г (Теория поля - методические указания к решению задач А. Ю. Аникин, Н. И. Сидняев, С. К. Соболев.), страница 9

Найти источники и стоки векторного поляF = 2xyi − x 2 yj − z 3 k .Решение. Находим div F = 2 y − x 2 − 3z 2 . Граница между источниками и стоками — поверхность div F = 0 ⇔ 2 y = x 2 + 3 z 2 —эллиптический параболоид с осьюсимметрии OY. На положительнойчасти этой оси дивергенция положительна, следовательно, внутрипараболоида расположены положительные источники векторного поля(или просто источники). Изобразимэти точки плюсами, а вне параболоида — отрицательные источникиРис. 5.1(или просто стоки) изобразим минусами (рис. 5.1).

„Пример 5.3. Найти ротор векторного поля скоростей твердоготела, вращающегося с постоянной угловой скоростью вокруг некоторой оси, проходящей через начало координат.Решение. Пусть угловая скорость равна ω и ось вращения образует с координатными осями углы α, β, γ. Из механики известно, что на самом деле угловая скорость — векторная величина ω,направленная по оси вращения, и ее модуль равен значению угловой скорости ω, следовательно, ω = pi + qj + rk , где p = ω cos α,q = ω cos β, r = ω cos γ — компоненты вектора угловой скорости.66Также из механики известно, что линейная скорость V в каждой точке M ( x; y; z ) вращающегося тела равна векторному произведению вектора угловой скорости на радиус-вектор OM точкиМ: V = [ω × OM ].

Поскольку OM = xi + yj + zk , получимi j kV = p q r = ( qz − ry ) i + (rx − pz ) j + ( py − qx) k.x y zНайдем ротор этого векторного поляijk∂∂∂= 2 pi + 2qj + 2rk = 2ω.rot V =∂x∂y∂z(qz − ry ) (rx − pz ) ( py − qx)Таким образом, мы получили, что ротор векторного поля скоростей вращающегося тела равен его удвоенной угловой скорости.

„5.2. Теорема Гаусса — ОстроградскогоЭта теорема устанавливает связь между поверхностным интегралом второго рода через полную поверхность некоторого тела итройным интегралом по этому телу.Теорема 5.1. Пусть Т — некоторое пространственное тело,ограниченное замкнутой кусочно-гладкой двусторонней поверхностью σ с вектором нормали направленным наружу (символическиσ = ∂T ).

Тогда для поверхностного интеграла от векторного поляF ( M ) = P ( x, y, z )i + Q( x, y , z ) j + R( x, y, z )k (для которого частныепроизводные его компонент непрерывны в области Т, включаяграницу) через поверхность σ = ∂T справедлива формулаw∫∫ P( x, y, z )dydz + Q( x, y, z )dxdz + R( x, y, z )dxdy =∂T⎛ ∂P ∂Q ∂R ⎞dxdydz.= ∫∫∫ ⎜++(5.6)∂x ∂y ∂z ⎟⎠T ⎝Приведенная формула и есть формула Гаусса — Остроградского.67Учитывая выражение (5.2) для дивергенции, формулу (5.6)можно кратко записать так:w∫∫ (F ⋅ n)dS = ∫∫∫ div F dxdydz,∂TTт.

е. поток векторного поля через полную поверхность тела (снормалью, направленной наружу) равен тройному интегралу поэтому телу от дивергенции этого поля.Пример 5.4. Найти поток Φ векторного поля F == 3xi − yj + (2 z + x 2 ) k через поверхность σ: z = x 2 + y 2 , z ≤ 4,нормаль направлена наружу (во внешнюю сторону).Решение.

Рассмотрим тело Т, ограниченное поверхностью σ(представляющей собой параболоид вращения) и кругом z = 4,x 2 + y 2 ≤ 4 , который обозначим σ1 (нормаль направлена вверх), иприменим к этому телу формулу Гаусса — Остроградского. Получим, что полный поток П через границу тела ТП = Ф + Ф1 =∫∫ (F ⋅ n) dS + ∫∫ (F ⋅ n) dS = w∫∫ (F ⋅ n) dS =σσ1∂T= ∫∫∫ divFdxdydz = ∫∫∫ (3 − 1 + 2)dxdydz = 4∫∫∫ dxdydz =TTT{перейдем к цилиндрическим координатам}2π24(2= 4 ∫ d ϕ∫ rdr ∫ dz = 4 ⋅ 2π ∫ (4r − r 3 )dr = 8π 2r 2 − 1 r 442000r)r=2r=0= 32π.Вспомогательный поток Φ 1 через поверхность σ1Ф1 = ∫∫ ( F ⋅ k ) dS = ∫∫ (2 z + x 2 )dSσ1σ1z=4= ∫∫ (8 + x 2 ) dxdy,Dгде D — круг x 2 + y 2 ≤ 4, его вычислим в полярных координатахФ1 =2π22π22π0000022∫ d ϕ∫ (8 + r cos ϕ) r dr = 8 ∫ d ϕ∫ rdr +∫21 (1 + cos 2ϕ ) r 3 dr =∫20= 8 ⋅ 2π ⋅ 2 + π ⋅ 4 = 36π.Следовательно, искомый поток Ф = П − Ф1 = 32π − 36π = −4π(отрицательное значение этого потока говорит, что на значитель68ной части поверхности σ вектор поля F образует тупой угол с вектором нормали к этой поверхности).Ответ: Φ = −4π .

„5.3. Теорема СтоксаПусть дана ориентированная поверхность σ, ограниченная замкнутым контуром C = ∂σ, причемнаправление обхода на С согласовано сориентацией поверхности в следующемсмысле: если некий воображаемыйнаблюдатель стоит на поверхности идержится рукой за вектор нормали (чтобы не «свалиться»), то направление обхода контура С для этого наблюдателябудет против часовой стрелки (рис. 5.2).Будем также говорить, что в этом случаеРис. 5.2ориентированная поверхность σ стягивает замкнутый ориентированный замкнутый контур С.Теорема 5.2.

Пусть кусочно-гладкая ориентированная поверхность σ стягивает ориентированный замкнутый контурC = ∂ (σ), тогда для циркуляции векторного поля F ( M ) == P( x, y , z )i + Q ( x, y, z ) j + R ( x, y, z )k (с непрерывными частнымипроизводными его компонент) справедлива формулаv∫ P( x, y, z )dx + Q( x, y, z )dy + R( x, y, z )dz =C⎛ ∂R ∂Q ⎞⎛ ∂P ∂R ⎞⎛ ∂Q ∂P ⎞= ∫∫ ⎜−dydz + ⎜−−⎟ dxdz + ⎜⎟⎟ dxdy.∂y ∂z ⎠⎝ ∂z ∂x ⎠⎝ ∂x ∂y ⎠σ ⎝(5.7)Формула (5.7) и есть формула Стокса.Учитывая формулу (5.3) для ротора и используя векторную запись для циркуляции и потока, получим более краткую записьформулы Стокса:v∫ ( F ⋅ dl ) = ∫∫ ( rot F ⋅ ds ),∂σ(5.8)σ69т. е. циркуляция векторного поля по замкнутому контуру равнапотоку ротора этого поля через ориентированную поверхность,стягивающую этот контур.Из теоремы Стокса следует, что проекция ротора векторногополя (в данной точке) на произвольное направление n равна плотности циркуляции этого поля по контурам, находящимся в плоскости, перпендикулярной вектору n, и согласованным с его направлением:Prn ( rot F ( M 0 ) ) = lim⎧σ→ M 0⎨⎩ σ⊥ nv∫ ( F ⋅ dl )∂σS ( σ).(5.9)Иногда формулу (5.9) рассматривают как определение ротора,хотя, на наш взгляд, определять ротор через его проекции на произвольные направления не совсем удобно.Поскольку ротор постоянного поля равен нулю, из формулыСтокса также следует, что циркуляция любого постоянного векторного поля по произвольному замкнутому контуру Г равнанулю:v∫ a ⋅ dx + b ⋅ dy + c ⋅ dz = 0 .ГПример 5.5.

Вычислить с помощью формулы Стокса циркуляцию векторного поля F = yi − zj + xk по замкнутому контуру L, представляющему собой линию пересечения сферыx 2 + y 2 + z 2 = 4 с плоскостью x + y + z = 2 . Направление обходаA(2; 0; 0) → B (0; 2; 0) → C (0; 0; 2) → A (эта циркуляция была вычислена непосредственно в примере 2.3).Решение. Ротор данного поляijk∂∂∂= i − j − k — постоянный вектор;rot F = [∇ × F ] =∂x ∂y ∂zy −z xповерхность σ, стягиваемая окружностью С (линией пересечениясферы и плоскости), см.

рис. 2.7, есть круг радиусом r = R 2 − d 2 ,70где R = 2 — радиус сферы; d =23— расстояние от начала коор-динат до плоскости x + y + z − 2 = 0 , т. е. r =8, площадь этого38π. Единичный вектор нормали к рассматрива3емой плоскости, согласованный с направлением обхода, имеет ко⎧ 1 1 1 ⎫ординаты n ⎨ ;;⎬ , поэтому по формуле Стокса⎩ 3 3 3⎭круга S (σ) = πr 2 =v∫ ( F ⋅ dl ) = ∫∫ ( rot F ⋅ n ) dS =13σC(1 − 1 − 1) ⋅ S (σ) = −1 8π8π 3=−.93 38π 3.„9Если контур С стягивает плоскую поверхность σ, а ротор векторного поля F является постоянным вектором, то циркуляцияполя F по контуру С, согласно формуле Стокса, равнаv∫ ( F ⋅ dl ) =Ответ: −C= ∫∫ ( rot F ⋅ n ) dS = S (σ) Prn ( rot F ) = S (σ) rot F cos ϕ,(5.10)σгде ϕ — угол между векторами п и rot F . Следовательно, если, неменяя форму контура С, поворачивать его в пространстве, то циркуляция J поля F по этому контуру будет:а) максимальна и равна J max = rot F S (σ), когда нормаль n кповерхности σ направлена по ротору поля F;б) минимальна и равна J min = − rot F S (σ), когда нормаль n кповерхности σ направлена противоположно ротору поля F;в) равна нулю, когда нормаль n к поверхности σ направленаперпендикулярно ротору поля F.Пример 5.6.

Вычислить циркуляцию J векторного поля F == 2 yi + 3 zj + ( x + z 2 )k вдоль контура Г, состоящего из дуги ВСАокружности x 2 + z 2 = 2, y = 1, где A(−1;1; − 1), B (1;1;1), C (1;1; − 1),71и отрезка прямой, соединяющего точкиA и B. Направление обхода: от A к Bвдоль отрезка, от B к A — по дугеокружности ВСА (рис. 5.3). Решить задачу можно двумя способами: а) непосредственно; б) по формуле Стокса. Меняярасположение контура Г в пространстве,найти такое его положение, при которомциркуляция поля F будет максимальна,и вычислить эту циркуляцию.Решение.

В силу того, что контур Глежит в плоскости y = 1, где dy = 0,циркуляцияРис. 5.3J = v∫ ( F ⋅ dl ) = v∫ 2 ydx + 3zdy + ( x + z 2 )dz =ГГ= v∫ 2 ⋅ dx + 0 + v∫ ( x + z 2 ) dz = v∫ ( x + z 2 ) dz.ГГГq,Учитывая, что контур Г состоит из отрезка АВ и дуги BCAполучимJ=∫ (x + zAB2)dz +∫ (x + zq2)dz = J1 + J 2 .BCAСначала вычислим J1 , для чего параметризуем отрезок АВ:x = t , y = 1, z = t , dz = dt , t изменяется от −1 до 1:J1 =∫AB1( x + z 2 )dz =22∫ ( t + t ) dt = 3 .−1Следом вычислим J 2 с помощью параметризации окружностирадиусом R = 2: x = 2 cos t , y = 1, z = 2 sin t , t изменяется от3ππдо − .

Тогда dz = 2 ⋅ cos t dt и44J2 =−3π/ 4∫ (π/ 4722 ⋅ cos t + 2sin 2 t ) 2 ⋅ cos t dt ==−3 π/ 4∫(1 + cos 2t )dt + 2 2 ⋅π/ 4−3 π/ 4∫sin 2 t cos t dt =π/ 4(= t + 1 sin 2t2)t =−3 π / 4t =π / 4+2 2 3 t =−3π / 42sin t= −π − ./4t=π3322− π − = −π.33Теперь вычислим циркуляцию по формуле Стокса, для этоговыберем поверхность σ, стягивающую контур Г. Проще всеговзять плоскую площадку — полукруг радиусом R = 2, площадькоторого S (σ) = 12 πR 2 = π. Чтобы ориентации на σ и Г были соглаСледовательно, J = J1 + J 2 =сованы, нормаль п к поверхности σ должна быть направлена вдольоси OY, т. е.

n = j.Вычисляем роторijk∂∂∂rot F == −3i − j − 2k — постоянный вектор.∂x ∂y∂z2 y 3z ( x + z 2 )Находим Prn ( rot F ) = ( (−3i − j − 2k ) ⋅ j ) = −1. Следовательно, поформуле (5.10)J = v∫ ( F ⋅ dl ) = S (σ) ⋅ Prn (rot F ) = −π.ГЦиркуляция будет максимальна, когда нормаль n к поверхности σ направлена по ротору поля F, и J max = S (σ) ⋅ rot F = π 14.Ответ: J = −π; J max = π 14 .„5.4. Поверхностно односвязныеи объемно односвязные области в пространствеОпределение эквивалентности относительно некоторой пространственной области Ω двух замкнутых путей или двух незамкнутых путей, идущих из одной и той же точки А в одну и ту жеточку В, такое же, как и на плоскости.73Две ориентированные поверхности, лежащие в некоторой пространственной области Ω, обе замкнутые или обе стягивающиеодин и тот же замкнутый контур Г, с ними согласованный, называют эквивалентными относительно области Ω, если одну из этихповерхностей можно с помощью непрерывной деформации преобразовать во вторую, не выходя за пределы области Ω.