Аникин А.Ю.Теория поля.МГТУ 2013г (Теория поля - методические указания к решению задач А. Ю. Аникин, Н. И. Сидняев, С. К. Соболев.), страница 8

„2x +yx + y2Пример 4.10. Векторное поле Fявляется безвихревым на всей плоскости, кроме трех точек ( M 1 , M 2 , M 3 ),соответствующие циклические постоянные равны C1 , C2 и C3 . Найти циркуляцию поля F по замкнутому контуру Г на рис. 4.9.Рис. 4.957Решение. Контур Г охватывает точку M 1 два раза (в положительном направлении), точку M 2 один раз (в отрицательномнаправлении), точку M 3 ни разу, поэтому искомая циркуляцияv∫ (F ⋅ dl ) = 2C1 − C2 . „ГПример 4.11.

На плоскости дано векторное поле F == ( x − 1)i + 2 yj.а) Найти уравнения векторных линий этого поля и нарисоватьих на декартовой плоскости.б) Проверить потенциальность поля F, найти его потенциал Uи изобразить линии равного потенциала в той же декартовой плоскости.в) Вычислить работу W поля F от точки A(2; −3) до точкиB (4; 3).Решение. а) Векторные линии задаются дифференциальнымdxdy=уравнением, общее решение которого имеет видx −1 2 yy = C ( x − 1) 2 . Это семейство парабол с вершиной в точке Q (1; 0) иосью симметрии x = 1 .

Направление на всех этих линиях — отточки Q, в чем легко убедиться, подставив координаты любой точки, например M (0; 3). В частности, при C = 0 векторной линиейявляется и ось ОХ ( y = 0 ), так как в каждой точке M ( x; 0) этойпрямой вектор поля F ( M ) = ( x − 1)i и направлен горизонтально(вправо, если x > 1 , и влево, если x < 1 ). Кроме того, векторнойлинией является сама прямая x = 1, поскольку в каждой ее точкеM (1; y ) вектор поля F ( M ) = 2 y ⋅ j и направлен вертикально(вверх, если y > 0, и вниз, если y < 0 ). Векторные линии изображены на рис. 4.10 сплошными со стрелками.б) Векторное поле F определено на всей плоскости, его роторравен нулю: rot F = (2 y )′x − ( x − 1)′y = 0, следовательно, это полепотенциально, его потенциал U ( x, y ) удовлетворяет условиям∂U∂U= ( x − 1),= 2 y , отсюда находим U ( x, y ) = 1 x 2 − x + y 2 + C.2∂x∂y2Возьмем, например, C = 1 , получим U = 1 ( x − 1) + y 2 .2258Рис.

4.10ЛинииравногопотенциалаописываютсяуравнениямиU ( x, y ) = k ⇔ ( x − 1) + y = K . При K < 0 — это пустое множество, при K = 0 — точка Q (1; 0), а при K > 0 — эллипсы с цен2122тром в точке Q с полуосями a = 2 K и b = K , которые изображены пунктирными линиями на рис. 4.10.

Эллипсы и параболыпересекаются во всех точках под прямым углом.в) Работа W поля F от точки А до точки В не зависит от формыпути, поэтому найдем ее по ломаной АСВ, где C (4; − 3), ее звеньяАС и СВ параллельны ОХ и OY соответственно (см. рис. 4.10). ВычисляемBCBW = ∫ ( F ⋅ dl ) = ∫ P ( x, y )dx + ∫ Q( x, y )dy =AAC432−3= ∫ ( x − 1)dx + ∫ 2 ydy = 4 + 0 = 4.Результат можно проверить с помощью формулы Ньютона—Лейбница:B (4; 3)⎛9⎞ ⎛1⎞W = U ( B) − U ( A) = ⎢⎡ 1 ( x − 1) 2 + y 2 ⎥⎤= ⎜ + 9 ⎟ − ⎜ + 9 ⎟ = 4.⎣2⎦ A(2; −3) ⎝ 2⎠ ⎝2⎠Ответ: а) y = C ( x − 1) 2 , x = 1; б) U = 1 ( x − 1) 2 + y 2 ; в) W = 4. „2594.5. Задачи для самостоятельного решения4.1.

Вычислить градиент скалярного поля U ( x, y ) на плоскостии изобразить линии уровня скалярного поля и векторные линииградиента:а) U = x 2 + y 2 ; б) U = 4 x 2 + y 2 ; в) U = x 2 − y 2 ;г) U = xy; д) U = x 2 y; е) U = y 2 + x.4.2. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F ( x, y ):а) F = ( x 2 − 3 y )i + (2 x + y 3 ) j; б) F = x 2 i − y 2 j;в) F = (2 x + 3 y )i + (3 x − 2 y ) j; г) F = y 2 i − xj;д) F = yxi + ( x + y ) j.4.3.

Найти лапласиан ΔU скалярного поля U ( x, y ):а) U = x 2 − 6 y 2 x + x 2 y 2 ; б) U = ( x + y )3 + ( x − y ) 2 ;22в) U = x cos y − y cos x; г) U = e x + y .4.4. Вычислить циркуляцию на плоскости по формуле Грина:а)3x2222v∫ arctg e dx − ( x + y ) 2 dy, где C: x + y = 4 x (обход противCчасовой стрелки);б) v∫ ( ( x 2 y − y 3 )dx − ( x 3 − xy 2 )dy ), где A(0; 0), B (0;1), C (1;1), наΔABCправление обхода A → B → C → A.4.5. Вычислить циркуляцию поляF ( x, y ) = ( y 2 − 2 xy )i ++ (4 xy + x 3 ) j по периметру квадрата | x | + | y | = 1 (обход противчасовой стрелки).4.6. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указаннойкривой, с помощью криволинейного интеграла:x2 y 2а) эллипс 2 + 2 = 1;abб) петля кривой, заданной параметрически, x = t 2 , y = t (t 2 − 1);в) кривая x = t 3 − t , y = t 2 + 1, 0 ≤ t ≤ 1 и ось ОY.4.7.

Проверить потенциальность векторного поля F ( x, y ) вовсей области определения, найти его потенциал U ( x, y ) и60работу W от точки A до точки B. В задачах а — г также найти иизобразить векторные линии поля и линии уровня потенциала:а) F = xi − yj , A(1; 2), B (2; − 1); б) F = 2 xyi + x 2 j;в) F =1y2i−j; г) F = e x ( yi + j );yxд) F = 2 x cos y i − x 2 sin y j , A(1; π), B (2;2π);⎛ x− yln yln y ⎞−i +⎜⎟⎟ j , A(2e; e), B (2e 2 ; e 2 );⎜y−2 x− y2xy⎝⎠2⎛x ⎞ж) F = x3 − x y i + ⎜ 4 y −⎟⎟ j , A(1;9), B (3;4).⎜4y⎝⎠4.8.

С помощью формулы Грина найти работу векторногополя F вдоль незамкнутого пути Г:⎛ x3⎞а) F = ( x + x 2 y )i + ⎜ + 2 x ⎟ j , Г: ломаная A → B → C → D с вер⎝ 3⎠шинами A(0; 0), B (1; 2), C (2; 2), D(3; 0);е) F =()⎛ x2⎞б) F ( x, y ) = ( xy + y )i + ⎜ − x ⎟ j , Г: полуокружность x 2 + y 2 = 2,⎝ 2⎠x + y ≤ 0 от точки A(−1; − 1) до точки B (1;1).61Глава 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗАВ ПРОСТРАНСТВЕ5.1.

Векторно-дифференциальные операциинад скалярными и векторными полями в пространствеГрадиентом скалярного поля U ( x, y, z ) в трехмерном пространстве называется векторное полеgrad U =∂U∂U∂Ui+j+k.∂x∂y∂z(5.1)Производной по направлению s{ p; q; r} ≠ 0 скалярного поляU ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y0 ; z0 ) называется предел∂UU ( x0 + pt , y0 + qt , z0 + rt ) − U ( x0 , y0 , z0 ).( M 0 ) = tlim0→+∂stsВ частности, если s — единичный вектор с направляющимиуглами α, β, γ , то∂UU ( x0 + t cos α, y0 + t cos β, z0 + t cos γ ) − U ( x0 , y0 , z0 ).( M 0 ) = tlim→0 +∂stКак и на плоскости, производная по направлению s поля U (вданной точке) равна проекции градиента поля U (в этой точке) наэто направление s:∂U( M 0 ) = Pr s ( gradU (M 0 ) ) .∂sПоэтому производная по направлению скалярного поля Uв данной точке максимальна в направлении градиента и∂Umax( M 0 ) = gradU ( M 0 ) .

Таким образом, градиент скалярного∂sполя показывает направление, в котором поле возрастет быстреевсего.62Дивергенцией векторного поля F = P ( x, y, z )i + Q( x, y , z ) j ++ R( x, y , z )k называется скалярное полеdiv F =∂P ∂Q ∂R.++∂x ∂y ∂z(5.2)F = P ( x , y , z ) i + Q ( x, y , z ) j +Ротором векторного поля+ R( x, y , z )k называется векторное поле⎛ ∂R ∂Q ⎞ ⎛ ∂P ∂R ⎞⎛ ∂Q ∂P ⎞rot F = ⎜−i +⎜−−⎟ j+⎜⎟⎟ k.⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂z ∂x ⎠⎝ ∂x ∂y ⎠(5.3)Формальный векторно-дифференциальный оператор ∇ =∂∂∂=i + j +kназывается оператором Гамильтона (или на∂x∂y∂zбла-оператором). Этот оператор обладает свойствами как вектора, так и линейного оператора. При этом под «умножением», ска∂жем, компонентына, например, функцию P ( x, y, z )∂yпонимается ее дифференцирование по переменной у, результатом∂P( x, y , z ).

Вышеприведенные опеявляется частная производная∂yрации с помощью оператора Гамильтона символически записывают так:grad U = ∇U (произведение «вектора» ∇ на скаляр U);div F = ( ∇ ⋅ F ) (скалярное произведение «вектора» ∇ на вектор F);ijk∂∂∂rot F = [ ∇ × F ] =(векторное произведение «век∂x ∂y ∂zP Q Rтора» ∇ на вектор F).Оператором Лапласа называется операторΔ = div grad =∂2∂2∂2+ 2 + 2 = ∇22∂x∂y∂z63(скалярный квадрат «вектора» ∇).

Лапласианом скалярного поляU ( x, y, z ) называется скалярное полеΔU = div ( gradU ) =∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U.++∂x 2 ∂y 2 ∂z 2(5.4)Замечание 5.1. Определения градиента скалярного поля, дивергенции и ротора векторного поля в пространстве нами былиданы в конкретной системе координат с помощью формул (5.1) —(5.3).

Как и на плоскости, можно дать другие, инвариантные от системы координат определения градиента, дивергенции и ротора впространстве, а затем вывести (5.1) — (5.3) как формулы для ихвычисления.Например, инвариантное от системы координат определениедивергенции векторного поля (в пространстве) в произвольнойточке M 0 :div F ( M 0 ) = limT →M 0w∫∫ ( F ⋅ n ) dS∂ (T )V (T ),(5.5)где запись T → M 0 означает, что пространственное тело Т стягивается к точке M 0 , т.

е. что M 0 ∈ T , а диаметр тела Т стремится кнулю, V (T ) — объем тела Т. Можно также сохранить формулы(5.1)—(5.3) как определения и затем доказать инвариантность этихформул, т. е. что эти формулы сохраняют свой вид в любой другойпрямоугольной системе координат и формула (5.5) может бытьвыведена.Формула (5.5) позволяет интерпретировать дивергенцию векторного поля в точке как плотность потока в этой точке. Какувидим позже, ротор векторного поля характеризует плотностибесконечно малых циркуляций этого поля в произвольной плоскости, равные проекциям ротора на нормаль к этой плоскости.Замечание 5.2.

Градиент, дивергенцию и лапласиан можноопределить и в п-мерном пространстве R n , и при n > 3. А именноградиентом скалярного поля U = f ( x1 , x2 , ..., xn ) называется век∂U ⎞⎛ ∂U ∂Uторное поле grad U = ⎜;; ...;.∂xn ⎟⎠⎝ ∂x1 ∂x264ДивергенциейвекторногополяF = ( F1 ( x1 , ..., xn );F2 ( x1 , ..., xn ); ...; Fn ( x1 , ..., xn ) ) называется скалярное полеdiv F =∂F1 ∂F2∂Fn++ ...

+.∂x1 ∂x2∂xnОчевидно, что в этом случае лапласиан скалярного поляU = f ( x1 , x2 , ..., xn ) имеет видΔU = div grad U =∂ 2U ∂ 2U∂ 2U+++....∂x12 ∂x22∂xn2Ротор векторного поля в пространстве R n при n > 3 представляет собой уже тензор, не будем на этом останавливаться.

Далеевсюду рассматривается обычное трехмерное пространство R 3 .Пример 5.1. Найти: а) градиент скалярного поля U =2= x y + y 3 z − xz 4 ; б) лапласиан этого же поля U; в) дивергенциювекторного поля F = x 2 y ⋅ i + y 3 z ⋅ j − xz 4 ⋅ k ; г) ротор этого жеполя F.Решение:а) gradU = x 2 y + y 3 z − xz 4 ′ i + x 2 y + y 3 z − xz 4 ′ j +()x ()y+ ( x 2 y + y 3 z − xz 4 )′z k = ( 2 xy − z 4 ) i + ( x 2 + 3 y 2 z ) j + ( y 3 − 4 xz 3 ) k ;б) ΔU = ( x 2 y + y 3 z − xz 4 )′′xx + ( x 2 y + y 3 z − xz 4 )′′yy ++ ( x 2 y + y 3 z − xz 4 )′′zz = 2 y + 6 yz − 12 xz 2 ;в) div F =∂ ( x 2 y ) ∂ ( y 3 z ) ∂ (− xz 4 )++= 2 xy + 3 y 2 z − 4 xz 3 ;∂x∂y∂zi∂г) rot F =∂xx2 yjk⎛ ∂ (− xz 4 ) ∂ ( y 3 z ) ⎞∂∂= i⎜−⎟−∂y∂z∂z ⎠⎝ ∂yy 3 z − xz 4⎛ ∂ ( − xz 4 ) ∂ ( x 2 y ) ⎞⎛ ∂( y3 z ) ∂( x 2 y) ⎞342− j⎜−−⎟+ k⎜⎟ = − y i + z j − x k.xy∂z ⎠∂∂⎝ ∂x⎝⎠65Ответ: а) ( 2 xy − z 4 ) i + ( x 2 + 3 y 2 z ) j + ( y 3 − 4 xz 3 ) k ;б) 2 y + 6 yz − 12 xz 2 ; в) 2 xy + 3 y 2 z − 4 xz 3 ; г) − y 3 i + z 4 j − x 2 k .„Согласно теореме Гаусса из электростатики, дивергенция электрического поля E пропорциональна плотности электрических зарядов, порождающих это поле.

В связи с этим точки пространства,в которых дивергенция данного векторного поля F положительна(отрицательна), называют соответственно положительными иотрицательными источниками этого векторного поля или просто источниками и стоками векторного поля F. Точки, в которых дивергенция векторного поля равна нулю, образуют некоторую поверхность, разделяющую области его источников и стоков.Пример 5.2.