Аникин А.Ю.Теория поля.МГТУ 2013г (Теория поля - методические указания к решению задач А. Ю. Аникин, Н. И. Сидняев, С. К. Соболев.), страница 12

В объемно односвязной подобластиΩ 2 = { x 2 + y 2 > 0} это поле уже соленоидально, в качестве еговекторного потенциала можно взять, например, G1 =γz ( yi − xj ).„=2( x + y 2 ) x2 + y 2 + z 2Пример 5.15. Рассмотрим в трехмерном пространстве векторное полеi jkαyαxαF2 ( M ) = 2ijrk−=×=xyz[],x + y2x2 + y 2x2 + y2α0 0x2 + y 2где r = xi + yj + zk — радиус-вектор точки M ( x; y; z ); α — постоянный коэффициент пропорциональности. Такой вид имеет, вчастности, магнитное поле постоянного тока, текущего по бесконечному проводнику вдоль оси OZ.Поле F2 определено в области Ω 2 , состоящей из всех точекпространства R 3 , кроме оси OZ.

Эта область, как мы уже отмечали, является объемно односвязной, но не поверхностно односвязной. Найдем дивергенцию и ротор этого поля:div F2 =∂ ⎛ αy ⎞ ∂ ⎛αx ⎞−2αyx2αxy+−=+= 0;∂x ⎜⎝ x 2 + y 2 ⎟⎠ ∂y ⎜⎝ x 2 + y 2 ⎟⎠ ( x 2 + y 2 )2 ( x 2 + y 2 )2i∂rot F2 =∂x−αyx2 + y 2j∂∂yαxx2 + y 2k∂=∂z0⎡⎛ −αy ⎞ ⎤= 0 ⋅ i + 0 ⋅ j + ⎢ ∂ ⎛⎜ 2 αx 2 ⎞⎟ − ∂ ⎜ 2k=2 ⎟⎥⎣ ∂x ⎝ x + y ⎠ ∂y ⎝ x + y ⎠ ⎦=α( y 2 − x 2 )( x2 + y 2 )2k+α( x 2 − y 2 )( x2 + y 2 )2k = 0.89αyαxi− 2j не содержит ни2x +yx + y2источников, ни вихрей и, поскольку определено в объемно односвязной области, является соленоидальным, но не потенциальным,так как циркуляция этого поля не всегда равна нулю.

В самом деле, вычислим циркуляцию этого поля вдоль окружности С радиусом R, охватывающую ось OZ:C: x = R cos t , y = R sin t , z = c ( R, c = const, t изменяется от 0 до 2π);Итак, векторное поле F2 =2dx = − R sin t dt , dy = R cos t dt , dz = 0;⎛αyαx⎞v∫ ( F2 ⋅ dl ) = v∫ ⎜⎝ x 2 + y 2 dx − x 2 + y 2 dy ⎟⎠ =C2π=α∫0C2π( R sin t )( − R sin t ) − R cos t R cos tdt = −α ∫ dt = −2πα ≠ 0.R20Покажем, что поле G2 = αk ln x 2 + y 2 (определенное во всехточках области Ω 2 ) является векторным потенциалом поля F2 .В самом деле,i∂rot G2 = α∂xj∂∂y00k∂∂z=αyαxi− 2j = F2 .2x +yx + y221 ln ( x 2 + y 2 )2Хотя и во всей области Ω 2 безвихревое векторное поле F2 непотенциально, в его подмножестве — полупространстве Ω3 , заданном неравенством x > 0 (уже являющемся поверхностно односвязным), — оно уже потенциально, его потенциал — скалярy(определенное во всех точках областиное поле U = −γ arctgx∂U∂Uyx=γ 2= −γ 2Ω3 ).

Действительно,,, поэтому2∂xx +y∂xx + y2grad U 2 = F2 .90Итак, векторное полеαyαxF2 ( M ) = 2i− 2j = α ⎡r × 2 1 2 k ⎤22⎢⎣ x + y ⎥⎦x +yx +yопределено в объемно односвязной области Ω 2 = { x 2 + y 2 > 0} и вэтой области не содержит ни источников, ни вихрей, поэтомуэто поле соленоидально, в качестве его векторного потенциаламожно взять, например, поле G2 = αk ln x 2 + y 2 , но поле F2 непотенциально в Ω1 . В поверхностно односвязной подобластиΩ3 = { x > 0} это поле уже потенциально, его скалярный потенциyал U = −γ arctg .„x5.8. Некоторые приложения к гидродинамикеНестационарные векторные поля. На практике реальное скалярное или векторное поле часто зависит не только от координатточки, но еще и от некоторого параметра.

Этим параметром частоявляется время t. Таким образом, нестационарное скалярное поле — это функция четырех переменных: трех пространственныхкоординат (х, у, z) и времени t: U = f ( x, y, z , t ). Аналогично векторное нестационарное поле имеет видF = P ( x , y , z , t ) i + Q ( x, y , z , t ) i + R ( x , y , z , t ) k .Очень часто в качестве векторного поля (стационарного илинестационарного) рассматривают поле скоростей какой-либо жидкостиV ( x, y, z , t ) = Vx ( x, y, z, t )i + Vy ( x, y, z , t ) j + Vz ( x, y, z , t ) k. (5.24)Пример 5.16. Найти в нестационарном случае компоненты поля ускорения W движущейся жидкости (5.23).Решение.

Найдем полную производную поля скоростей (5.24)dVпо времени t: W == Wx i + Wy j + Wz k . ВычисляемdtWx =dVx ∂Vx dx ∂Vx dy ∂Vx dz ∂Vx=+++=dt∂x dt ∂y dt∂z dt∂t91=∂Vx∂Vx∂Vx∂Vx.Vx +Vy +Vz +∂x∂y∂z∂tАналогичноWy =dVy ∂Vy dx ∂Vy dy ∂Vy dz ∂Vy=+++=dt∂x dt ∂y dt∂z dt∂t=Wz =∂Vy∂Vy∂Vy∂VyVx +Vy +Vz +;∂x∂y∂z∂tdVz ∂Vz dx ∂Vz dy ∂Vz dz ∂Vz=+++=dt∂x dt ∂y dt ∂z dt∂t=∂Vz∂Vz∂Vz∂Vz.Vx +Vy +Vz +∂x∂y∂z∂tСледовательно,W = Wx i + Wy j + Wz k =∂Vx∂Vx∂Vx⎛ ∂Vx=⎜Vx +Vy +Vz +∂y∂z∂t⎝ ∂x⎞⎟i +⎠∂Vy∂Vy∂Vy ⎞⎛ ∂VyVx +Vy +Vz ++⎜j+∂y∂z∂t ⎟⎠⎝ ∂x∂Vz∂Vz∂Vz ⎞⎛ ∂Vz+⎜k.Vx +Vy +Vz +∂y∂z∂t ⎟⎠⎝ ∂xВ стационарном случае последнее слагаемое каждой компоненты ускорения равно нулю. „Безвихревое течение жидкости. В гидродинамике (науке,изучающей движение жидкости или газа) обычно рассматриваютдва поля (вообще говоря, нестационарные): скалярное полеρ( x, y, z , t ) — плотность и векторное поле V ( x, y , z , t ) — скоростьжидкости или газа в точке M ( x; y; z ) в момент времени t.

Произведение этих полей образует новое векторное поле J = ρV , которое называют плотностью потока жидкости (газа). Это поле92удовлетворяет так называемому уравнению неразрывности (выражающему закон сохранения массы)∂ρ+ div ( J ) = 0.∂tЖидкость называется несжимаемой, если ее плотность постоянна (не зависит ни от координат, ни от времени: ρ = const). Длятакой жидкости уравнение неразрывности принимает видdiv J = 0 ⇔ div ( ρV ) = ρ div (V ) = 0 ⇔ div V = 0 ⇔⇔∂Vx ∂Vy ∂Vz++= 0,∂x∂y∂zт. е. в этом случае поле скоростей жидкости не содержит источников.Если поле скоростей жидкости V = Vx i + Vy j + Vz k не содержитвихрей, т.

е. его ротор равен нулю, а область течения жидкости поверхностно односвязна, тогда скорость имеет (однозначный) потенциал (обозначим его ϕ = ϕ( x, y, z , t ) ), такой, что grad ϕ = V . Этозначит, что ∂ϕ ∂x = Vx , ∂ϕ ∂y = Vy , ∂ϕ ∂z = Vz в любой моментвремени t.Пример 5.17. Пусть векторное поле (нестационарное) скоростей жидкости потенциально.

Показать, что в этом случае и полеускорений этой жидкости потенциально.Решение. Пусть поле скоростей V = Vx i + Vy j + Vz k имеет по∂ϕ∂ϕ∂ϕ= Vx ,= Vy ,= Vz . Покажем, что тогдатенциал ϕ , т. е.∂x∂z∂yфункцияψ = 12 v 2 +∂ϕ∂tявляется потенциалом поля ускорений W , где v = V== Vx + Vy + Vz — скалярный модуль скорости. В самом деле,222∂ψ ∂ ⎛ 1 2∂ϕ ⎞= ⎜ (Vx + Vy 2 + Vz 2 ) +⎟=∂x ∂x ⎝ 2∂t ⎠93= Vx ⋅=∂Vy∂Vx∂Vz ∂ 2 ϕ+ Vy ⋅+ Vz ⋅+=∂x∂x∂x ∂x∂t∂Vx∂Vx∂Vx∂Vx⋅ Vx +⋅ Vy +⋅ Vz += Wx .∂x∂y∂z∂tАналогично получаемgrad ψ = W .

„∂ψ∂ψ= Wz . Это и значит, что= Wy ,∂z∂x5.9. Задачи для самостоятельного решения5.1. Доказать, что градиент скалярного поля U в любой точкеперпендикулярен поверхности уровня этого поля, проходящей через данную точку.5.2. Доказать, что если векторное поле потенциально, то еговекторные линии ортогональны поверхностям равного потенциала.5.3.

Найти градиент скалярного поля U:x2 y3;а) U = x 2 + y 3 − z 4 ; б) U =zв) U = e −2 x y 3 sin z; г) U = sin (4 x) − e3 y + ln ( z 2 + 1).5.4. Описать поверхности уровня скалярного поля U и найтивекторные линии его градиента:а) U = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 ; б) U = x 2 − y 2 + 2 z 2 ;в) U = x 2 + y 2 − 2 z; г) U = x 2 − y 2 + 2 z.5.5. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F:а) F = ( x 2 − y )i + ( y 3 + 3 z ) j + ( z 4 − 5 x) k ;б) F = x 3 i + cos (2 y ) j + e − z k ; в) F = y 3 zi − xz 2 j + yx 4 k ;г) F = (a1 x + b1 y + c1 z + d1 )i + (a2 x + b2 y + c2 z + d 2 ) j ++ ( a3 x + b3 y + c3 z + d3 )k ( ai , bi , ci , di = const, i = 1, 2, 3 ).5.6.

Вычислить дивергенцию векторного поля F, найти егонейтральные точки, источники и стоки, изобразить их на рисунке:а) F = (2 x + 5) i + ( y − 1) 2 j + 2( z + 1)3 k ;б) F = ( x 2 + y 2 + z 2 )i + (2 x 2 − y 2 + 3 z 2 ) j + (− x 2 + y 2 + 2 z 2 )k .945.7. Найти лапласиан ΔU = div grad U скалярного поля U:а) U =2 3x2 z3; б) U = e xy z ; в) U = ax 2 + by 2 + cz 2 ;yг) U = axy + bxz + cyz; д) U = e − x (cos3 y + sin 2 z );е) U = x cos ( y 2 − z ).5.8. Найти лапласиан произвольного центрального скалярногополя U = f (r ), где r = x 2 + y 2 + z 2 .5.9.

Найти grad div F векторного поля F:а) F = ( x 2 + 3 y )i + ( y 3 − z ) j + ( z 4 + 2 x)k ;б) F = ( x 3 + y 2 )i + ( y 4 − z 3 ) j + ( x 4 − z 5 )k ;в) F = (a1 x + b1 y + c1 z + d1 )i + (a2 x + b2 y + c2 z + d 2 ) j + (a3 x + b3 y ++ c3 z + d3 ) k ;г) F = f ( x) i + g ( y ) j + h( z )k ;д) F = y cos x ⋅ i + z sin y ⋅ j + x tg y ⋅ k ;е) F = e z cos( x + 2 y )i + e y cos( z + 2 x) j + e x cos( y + 2 z )k .5.10. Найти grad div F произвольного центрального векторного поля F = f (r ) ⋅ r , где r = xi + yj + zk , r = r = x 2 + y 2 + z 2 .5.11.

Найти такое центральное скалярное поле U = f (r )(в пространстве R 3 ), что:а) grad U = e − r ⋅ r ; б) grad U = r 2 ⋅ r ; в) ΔU = r 3 ; г) ΔU = e − r .5.12. Найти такое центральное векторное поле F (в пространстве R 3 ), что:1rа) div F = r 3 ; б) div F = ; в) grad div F = .rr5.13. Вычислить с помощью формулы Гаусса — Остроградского поток векторного поля F через полную поверхность тела Т(нормаль обращена наружу):а) F = ( x + 2 y )i + ( z − 3 y ) j + ( x + 4 z )k , T : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0,x + 3 y + 2 z ≤ 6;б) F = ( x 3 + 2 y )i + (2 z + y 3 ) j + ( x 2 + 4 z )k , T : x ≥ 0,z ≥ x2 + y 2 ,x 2 + y 2 + z ≤ 6.955.14. Вычислить с помощью формулы Гаусса — Остроградского поток векторного поля F через незамкнутую ориентированную поверхность σ с указанным направлением нормали п:а) F = (3 x + 2 y )i + ( z + 2 y ) j + ( x 2 + 4 z )k , σ: z = 4 − x 2 − y 2 , x ≥ 0,z ≥ 0, нормаль обращена наружу;б) F = ( x 3 − y )i + (2 z + y 3 ) j + (3 x + z 3 ) k , σ: x 2 + y 2 + z 2 = 9, z ≥ 0.5.15.

Доказать, что поток постоянного векторного поля черезлюбую замкнутую поверхность равен нулю.5.16. Вычислить циркуляцию J данного векторного поля F поуказанному замкнутому ориентированному контуру Г: 1) непосредственно; 2) с помощью формулы Стокса. Найти такое положение контура Г в пространстве, при котором циркуляция J максимальна, и само наибольшее значение J max :а) F = ( x + 2 y )i + zj + ( y − x)k , контур Г: треугольник АВС с вершинами A(0; 0;1), B (0;1; 0), C (0; 0;1), направление обхода A →→ B → C → A;б) F = ( x − y )i + (2 x + z − y ) j + yk , Г: параллелограмм АВСD, обходA(1; 0;1) → B(3; 0;1) → C (4; 2; 5) → D(2; 2; 5);в) F = ( x + 2 y )i − yj + ( x − z )k , Г: треугольник АВС, направлениеобхода A(1; 0; 3) → B(3;1; 2) → C (2; 3; 4);г) F = ( x − y )i + ( x + z ) j − yk вдоль кривой, лежащей на пересечении поверхностей x 2 + y 2 + z 2 = 1 и x = y.

Обход согласован снормалью, образующей острый угол с вектором i;д) F = (3 x − y + z )i + ( x + y − 2 z ) j + (2 x + y − z )k , Г — состоит изотрезка АВ и полуокружности ВСА: ( x − 2) 2 + ( y − 2) 2 = 4, z = 1,A(2; 0;1), B (2; 4;1), C (0; 2;1), направление обхода A → B →→ C → A.5.17. Проверить потенциальность векторного поля F во всейобласти определения, найти его потенциал U и работу W от точкиA до точки B:а) F = (2 xyz + 3x 2 )i + ( x 2 z − 2 y ) j + ( x 2 y + 4 z 3 ) k , A(1; 2; 3); B (3;1; 2);б) F = ( 3e3 x sin y + cos(2 z ) ) i + e3 x cos y j + ( 3z 2 − 2 x sin(2 z ) ) k ,π⎞⎛ π ⎞ ⎛A ⎜ 0; ; 0 ⎟ , B ⎜1; π; ⎟ ;⎝ 2 ⎠ ⎝4⎠96в) F = e x + y cos( y − z )i + e x + y (cos ( y − z ) − sin ( y − z )) j ++ e x + y sin ( y − z )k , A(1;1;1), B(0; π; 2π);cos ( x + 2 y )2sin ( x + 2 y )sin ( x + 2 y )г) F =i+j−k , A(−2;1;1),zzz3⎛π⎞B ⎜ ; 0; 4 ⎟ .⎝2⎠5.18.