Аникин А.Ю.Теория поля.МГТУ 2013г (Теория поля - методические указания к решению задач А. Ю. Аникин, Н. И. Сидняев, С. К. Соболев.), страница 10

Для примерарассмотрим область Ω = R 3 \{O} и две половинки одной и той жесферы; направление нормали на одной из полусфер возьмем наружу, а на другой — внутрь. Тогда обе эти поверхности стягиваютодин и тот же замкнутый контур — окружность, их общую границу. Эти две поверхности эквивалентны, если начало координатнаходится вне сферы, и не эквивалентны, если начало координатнаходится внутри сферы.Область Ω в трехмерном пространстве называется связной, если любые две точки этой области можно соединить непрерывнойлинией, целиком лежащей в этой области.Связная область Ω в трехмерном пространстве называется поверхностно односвязной, если любой замкнутый контур в этой области, целиком лежащий в области, можно с помощью непрерывнойдеформации стянуть в точку, не выходя за пределы области.Например, поверхностно односвязны: все пространство R 3 , любоеполупространство, внутренность любого шара, равно как и еговнешняя часть.

Область Ω, полученная из R 3 удалением некоторойбесконечной прямой, не является поверхностно односвязной.Связная область Ω в трехмерном пространстве называется объемно односвязной, если для любой замкнутой поверхности σ, расположенной в Ω, ограниченное этой поверхностью тело Т такжецеликом лежит в области Ω. Например, объемно односвязны: всепространство R 3 , внутренность любого шара, область, полученнаяиз R 3 удалением некоторой бесконечной прямой.

Однако внешняячасть шара не является объемно односвязной.Справедливо предложение.Предложение 5.1. а) Область Ω поверхностно односвязна тогда и только тогда, когда эквивалентны любые два замкнутыхориентированных пути, а также любые два ориентированныхпути из одной и той же точки А в одну и ту же точку В.б) Область Ω объемно односвязна тогда и только тогда, когда эквивалентны любые две замкнутые поверхности, лежащие в74этой области, а также любые две незамкнутые поверхностиэтой области, стягивающие один и тот же замкнутый ориентированный контур и согласованные с ним.5.5. Потенциальные и безвихревые векторные поляв пространствеВекторное поле F ( x, y, z ) = P ( x, y, z )i + Q( x, y , z ) j + R ( x, y, z )k впространстве называется потенциальным в области Ω ⊆ R 3 , еслионо в этой области является градиентом некоторого скалярного∂U∂U, Q=,поля U = U ( x, y, z ) : F = gradU .

Это значит, что P =∂x∂y∂UR=во всех точках области Ω. При этом скалярное поле U∂zназывается потенциалом векторного поля F.Векторное поле F ( x, y, z ) = P ( x, y, z )i + Q( x, y , z ) j + R( x, y, z )k(компоненты которого — дифференцируемые функции) называется безвихревым в области Ω ⊆ R 3 , если в каждой точке этой области его ротор (вихрь) равен нулю: rot F = 0, что равносильно выполнению следующих равенств в каждой точке области Ω:∂R ∂Q;=∂y ∂z∂P ∂R=;∂z ∂x∂Q ∂P=.∂x ∂y(5.11)Свойства потенциального поля в пространстве.

Пусть векторное поле F ( x, y, z ) = P( x, y, z ) i + Q( x, y, z ) j + R( x, y, z ) k потенциально в произвольной связной области Ω ⊆ R 3 и U ( x, y, z ) —его потенциал. Тогда:а) поле F является безвихревым, т. е. rot F = 0;б) циркуляция поля F по любому замкнутому контуру С, целиком лежащему в области Ω, равна нулю: v∫ ( F ⋅ dl ) = 0;C75в) работа поля F по любому пути L, ведущему из данной точкиА в другую данную точку В, не зависит от формы пути L, целикомлежащего в области Ω, и равна разности потенциалов:∫( F ⋅ dl ) =ALB= ∫ P( x, y, z )dx + Q( x, y, z )dy + R ( x, y, z ) dz = U ( B) − U ( A)(5.12)L(формула Ньютона — Лейбница).В этом случае подынтегральное выражение в криволинейноминтеграле является полным дифференциалом потенциала U ( x, y , z ).Если векторное поле F потенциально и U ( x, y, z ) — его потенциал, то поверхности уровня скалярного поля U называются поверхностями равного потенциала.Свойства безвихревого векторного поля в пространстве.Пусть векторное поле F ( x, y, z ) = P ( x, y, z ) i + Q( x, y , z ) j ++ R( x, y, z )k является безвихревым в некоторой области Ω ⊆ R 3 .Тогда:а) циркуляция векторного поля F по любому замкнутому контуру С, стягиваемому в точку в области Ω, равна нулю: С ~ 0 ⇒Ω⇒ v∫ ( F ⋅ dl ) = 0;Cб) работа векторного поля по любым двум эквивалентным относительно области Ω путям (замкнутым или незамкнутым) одинакова, т.

е.L1 ~ L 2 ⇒Ω∫ (F ⋅ dl ) = ∫ (F ⋅ dl );L1L2в) если область Ω поверхностно односвязна, то векторное полеF потенциально в области Ω .Нахождение потенциала безвихревого векторного поля вповерхностно односвязной области. Если поле F ( x, y, z ) == P( x, y , z )i + Q ( x, y, z ) j + R ( x, y, z )k является безвихревым в некоторой поверхностно односвязной области, то его потенциалU ( x, y, z ) может быть найден, как и в двумерном случае, двумяспособами.76Первый способ — с помощью условий:а)∂U∂U∂U= P ( x, y, z ); б)= Q ( x, y, z ); в)= R( x, y , z ).

(5.13)∂x∂y∂zСначала из (5.13а) находимU ( x, y , z ) = ∫ P( x, y , z )dxy , z = const= Φ ( x, y , z ) + C ( y, z ).Интегрирование ведется по переменной х в предположении постоянства переменных y и z, первое слагаемое Φ ( x, y , z ) — этопервообразная функции P( x, y, z ) , а второе — «константа», зависящая от у и z. Функцию C ( y, z ) находим из условий (5.13б) и(5.13в).Второй способ — с помощью криволинейного интеграла.Возьмем произвольную точку отсчета M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) (в этой точкепотенциал будет равен нулю), и тогда в любой другой точкеM ( x, y, z ) потенциал равен работе векторного поля F от точки M 0до точки М по пути L (лежащему в области Ω) любой формы.Проще всего взять ломаную L = M 0 NKM , звенья которой M 0 N ,NK и KM параллельны координатным осям ОХ, OY и OZ соответственно, т.

е. промежуточные точки имеют координатыN ( x; y0 ; z0 ), K ( x; y; z0 ). ТогдаU ( x, y , z ) =MNKMM0M0NK∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫ ( ) + ∫ ( ) + ∫ ( ) =xyzx0y0z0= ∫ P (t , y0 ; z0 )dt + ∫ Q ( x; t , z0 )dt + ∫ R ( x, y , t )dt.(5.14)Пример 5.7. Проверить потенциальность векторного поляF ( x, y , z ) =()y2i + 4 y x + 3 y 2 z j + ( y 3 + 2 z )kxв области Ω = { x > 0} и найти его потенциал.Решение. Поле F имеет такие скалярные компоненты:y2P=, Q = 4 y x + 3 y 2 z , R = y 3 + 2 z . Проверим условия (5.11):x77∂R∂Q ∂P∂R ∂Q 2 y ∂P= 3y2 ==0===;;.∂y∂z∂z∂x∂xx ∂yСледовательно, поле F является безвихревым, и поскольку область Ω, очевидно, поверхностно односвязна, то оно и потенциально в этой области. Найдем его потенциал первым способом.

Из∂Uy2условия=P=следует, что∂xxU =∫y2dx= 2 y 2 x + C ( y, z ).xy , z = constДля нахождения функции C ( y, z ) сначала воспользуемся вторым условием∂U∂C= 4y x += Q = 4 y x + 3 y 2 z,∂y∂yоткуда∂C= 3 y 2 z ⇒ C ( y , z ) = ∫ 3 y 2 zdy=∂yz = const= y 3 z + D( z ) ⇒ U = 2 y 2 x + y 3 z + D ( z ).Наконец, функцию D( z ) находим из последнего условия∂U= y 3 + Dz′ = R = y 3 + 2 z ⇒ Dz′ = 2 z ⇒ D( z ) = z 2 + C ,∂zгде C = C — обычная (настоящая) постоянная. Следовательно,U ( x, y , z ) = 2 y 2 x + y 3 z + z 2 + C .Теперь найдем потенциал вторым способом. Возьмем за точкуотсчета (с нулевым потенциалом), например, точку M 0 (1; 0; 2) ∈Ω.Тогда по формуле (5.14)xyz102U ( x, y , z ) = ∫ P(t ,0, 2)dt + ∫ Q( x, t , 2)dt + ∫ R ( x, y, t )dt =xy10()z= ∫ 0 ⋅ dt + ∫ 4t x + 6t 2 dt + ∫ ( y 3 + 2t ) dt =782= 0 + 2 y 2 x + 2 y 3 + y 3 z + z 2 − 2 y 3 − 4 = 2 y 2 x + y 3 z + z 2 − 4.Это совпадет с ответом, полученным первым способом, в котором константа C = −4 .Ответ: U ( x, y, z ) = 2 y 2 x + y 3 z + z 2 + C.

„Пример 5.8. Проверить независимость криволинейного интегралаB (4; 3; −1)∫J=A (1; 2; 3)()y2dx + 4 y x + 3 y 2 z dy + ( y 3 + 2 z )dzxот формы пути, ведущего от точки А к точке В, и вычислить его.y2Решение. В предыдущем примере мы проверили, что P =,xQ = 4 y x + 3 y 2 z , R = y 3 + 2 z являются компонентами потенциального поля. Если потенциал U этого поля уже известен:U = 2 y 2 x + y 3 z + z 2 , то интеграл J вычисляем по формуле Ньютона — Лейбница (5.12):J = U ( B) − U ( A) = U (4; 3; − 1) − U (1; 2;3) == (36 − 27 + 1) − (8 + 24 + 9) = −31.Если же потенциал U еще не найден, то интеграл J можно вычислить, выбрав путь из А в В в наиболее удобной форме, например, в виде ломаной AMNB со звеньями AM, MN и NB, параллельными координатным осям ОХ, OY и OZ соответственно; в нашемслучае промежуточные вершины имеют координаты M (4; 2; 3),N (4; 3;3).

ТогдаBMNBAAMNJ = ∫ ( F ⋅ dl ) =4∫ ( F ⋅ dl ) +∫ ( F ⋅ dl ) + ∫ ( F ⋅ dl ) =−13= ∫ P ( x, 2;3)dx + ∫ Q(4; y;3)dy + ∫ R (4; 3; z )dz =14=∫1233−14dt + ∫ ( 8t + 9t 2 ) dt + ∫ (27 + 2t )dt = 8 + 77 − 116 = −31.t23Ответ: J = −31. „795.6. Соленоидальные и свободные от источниковвекторные поляВекторное поле G называется векторным потенциалом другого векторного поля F в области Ω, если rotG = F во всех точкахобласти Ω.

Векторное поле F называется соленоидальным в области Ω, если оно имеет в этой области векторный потенциал. Векторный потенциал соленоидального поля определен с точностьюдо произвольного безвихревого векторного поля.Векторное поле (с дифференцируемыми компонентами) называется полем без источников или свободным от источников вобласти Ω, если в каждой точке этой области дивергенция поляравна нулю: div F = 0.Пример 5.9. Показать, что если компоненты соленоидальноговекторного поля F имеют непрерывные частные производные, тоэто поле свободно от источников.Решение. Пусть поле G = Pi + Qj + Rk — векторный потенциал поля F, т. е.