Аникин А.Ю.Теория поля.МГТУ 2013г (Теория поля - методические указания к решению задач А. Ю. Аникин, Н. И. Сидняев, С. К. Соболев.)

Московский государственный технический университетим. Н.Э. БауманаА.Ю. Аникин, Н.И. Сидняев, С.К. СоболевТЕОРИЯ ПОЛЯМетодические указания к решению задачпо курсу «Кратные интегралы и ряды»МоскваИздательство МГТУ им. Н. Э. Баумана20131УДК 517.2 + 517.3ББК 22.16А67Рецензент Ю.И. ДимитриенкоА67Аникин А. Ю.Теория поля : методические указания к решению задачпо курсу «Кратные интегралы и ряды» / А. Ю. Аникин,Н.

И. Сидняев, С. К. Соболев. — М.: Изд-во МГТУим. Н.Э. Баумана, 2013. — 106, [2] с.ISBN 978-5-7038-3763-4Изложены основы векторного анализа — скалярные и векторные поля на плоскости и в пространстве, операции над этими полями и связи между ними, а также наиболее важные интегральныетеоремы теории поля (Грина, Гаусса—Остроградского и Стокса).Разобраны примеры разной степени сложности, в частности, все задания типового расчета по теории поля.

Приведены задачи для самостоятельного решения с ответами и указаниями.Для студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана, изучающих и применяющих векторный анализ.Рекомендовано Учебно-методической комиссией Научно-учебного комплекса «Фундаментальные науки» МГТУ им. Н.Э. Баумана.УДК 517.2 + 517.3ББК 22.16ISBN 978-5-7038-3763-42© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013ВведениеТеория поля, или векторный анализ, — это раздел математики,где методы математического анализа применяются к скалярным ивекторным полям, т. е. к скалярным и векторным функциям нескольких переменных.

При этом как для дифференциальных, так идля интегральных операций существуют компактные, независимые от систем координат обозначения. Кроме того, эти операцииимеют ясный физический смысл. Теория поля широко применяется в физике и технике, в науках, изучающих движение жидкостейи газов, т. е.

в гидродинамике и газодинамике. Для понимания теории поля надо хорошо знать кратные интегралы, а также криволинейные и поверхностные.В начале каждой главы даны определения, сформулированныесвойства и теоремы, приведены все необходимые формулы. Затемподробно разобраны примеры, в том числе из физики и гидродинамики.

Окончание каждого примера помечено квадратиком „.В конце каждой главы имеются задачи для самостоятельного решения с ответами.3Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ1.1. Скалярные и векторные поляСкалярным полем в п-мерном пространстве R n называетсяфункция, которая каждой точке M ( x1 ; x2 ; ...; xn ) некоторой областиΩ ⊆ R n ставит в соответствие некоторое число (скаляр) U ( M ) == U ( x1 , x2 , ..., xn ) ∈R.

Таким образом, скалярное поле — это простофункция нескольких переменных. В частности, скалярное поле наплоскости (в пространстве R 2 ) — это функция двух переменныхU ( x, y ) , а скалярное поле в трехмерном пространстве – функциятрех переменных U ( x, y, z ).Примеры скалярных полей в трехмерном пространстве —температура, давление (жидкости или газа), плотность массы илизаряда.

Скалярное поле может быть задано формулой, например,на плоскости: U ( x, y ) = x 2 + 4 y 2 .Векторным полем в п-мерном пространстве R n называетсяфункция, которая каждой точке M ( x1 ; x2 ; ...; xn ) некоторой областиΩ ⊆ R n ставит в соответствие некоторый п-мерный векторF ( M ) = {P1 ( M ); P2 ( M ); ...; Pn ( M )} , где Pi ( M ) = Pi ( x1 , x2 , ..., xn ) —скалярное поле (i-я скалярная компонента векторного поля F ,i = 1, ..., n).

В частности, на плоскости (в R 2 ) векторное поле каждой точке M ( x; y ) сопоставляет вектор F ( M ) = {P ( x, y ); Q( x, y )} == P( x, y )i + Q ( x, y ) j , где P( x, y ) иQ( x, y ) — скалярные компоненты(рис. 1.1), а в трехмерном пространстве векторное поле определяетсясвоими тремя скалярными компонентами:F (M ) == {P ( x, y, z ); Q ( x, y , z ); R( x, y, z )} =Рис.

1.14= P ( x, y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x, y , z ) k .Напомним, что i, j, k — взаимно перпендикулярные единичныевекторы, образующие ортонормированный базис.Примеры векторных полей в трехмерном пространстве: полескоростей движущейся жидкости в определенный момент времени; гравитационное поле (поле силы тяжести, производимое массой); электрическое поле (вызываемое электрическими зарядами);магнитное поле (производимое движущимися зарядами, т.

е. электрическим током).В частности, если тело массой m находится в точке, в которойгравитационное поле (вызванное другими массами) есть вектор G,то на него действует сила притяжения, равная mG. Аналогично,если заряд q находится (в вакууме) в точке, где электрическое полеравно Е, то сила, действующая на этот заряд, равна qE .Приведем пример векторного поля в пространстве (трехмерном), заданного формулойF = {( y − 2 x); xz 2 ; ( x + 2 y − z )} = ( y − 2 x)i + xz 2 j + ( x + 2 y − z )k .Его скалярные компоненты P = y − 2 x, Q = xz 2 , R = x + 2 y − z.Рассмотрим важнейшие характеристики скалярных и векторных полей.1.2. Множество уровня скалярного поляМножеством уровня скалярного поля U ( M ) в п-мерном пространстве называется множество всех точек M ( x1 ; x2 ; ...; xn ) ∈ R n ,для которых поле принимает одно и то же постоянное значение:U ( x1 , x2 , ..., xn ) = C = const.

В частности, на плоскости множествоуровня скалярного поля U ( x, y ) есть некоторая линия, заданнаяуравнением U ( x, y ) = C = const, она называется линией уровня,а в пространстве множество уровня скалярного поля U ( x, y, z ) —это некоторая поверхность уровня, заданная уравнениемU ( x, y, z ) = C = const.Совокупность линий (поверхностей) уровня скалярного поля,соответствующих разным значениям константы С, дает наглядноепредставление о характере этого скалярного поля на плоскости (впространстве). Например, на географических картах средние температуры января изображают изотермами — линиями уровня скалярного поля средних температур января (рис. 1.2).5Рис.

1.2Предложение 1.1. Через каждую точку области Ω, в которойопределено скалярное поле, проходит ровно одна линия (поверхность) уровня этого поля.Пример 1.1. Найти семейство:y2(нарисовать их);а) линий уровня скалярного поля U = x +xб) поверхностей уровня скалярного поля W = 2 x − y + 3z.y2определено во всехxточках, где x ≠ 0 , т. е. во всех точках плоскости, кроме оси OY.Линии уровня этого скалярного поля задаются уравнениемРешение. а. Скалярное поле U = x +x+(y2= C ⇔ x 2 + y 2 = Cx ⇔ x − 1 C2x) +y22= 1 C 2 ( x ≠ 0).4Последнее уравнение задает семейство окружностей радиусомR = 1 C с центром в точке Q 1 C ; 0 . Все эти окружности прохо22(6)Рис.

1.3дят через начало координат, но это не противоречит предложению 1.1, так как эта точка «выколота» ( x ≠ 0 ) вместе со всей осьюOY. На рис. 1.3 изображены линии уровня поля U ( x, y ) = C , соответствующие значениям константы: C = 2; C = 4; C = −3;C = 6.б. Поверхностиуровняполя задаются уравнением2 x − y + 3 z = C , эти поверхности — параллельные однадругой плоскости, посколькуперпендикулярны одному итому же вектору n{2; − 1; 3} .На рис. 1.4 изображены поверхности (плоскости) уровняполя W = 2 x − y + 3 z , соответствующие значениям C = 3,Рис. 1.4C = 6, C = 12 и C = 15 .„1.3.

Векторные линии векторного поляВажной характеристикой векторного поля являются его векторные линии. Векторной линией векторного поля F называетсяориентированная линия, в каждой точке которой вектор поля Fявляется касательным и направление которого совпадает с направлением на этой линии.7Например, если V ( M ) — стационарное (не зависящее от времени) векторное поле скоростей, то любая траектория движенияпредставляет собой векторную линию этого поля.

Векторные линии дают представление только о направлении векторного поля вкаждой точке, но не дают информации о модуле вектора поля. Совокупность всех векторных линий, проходящих через некоторуюповерхность, называется векторной трубкой.Дифференциальные уравнения векторных линий векторногополя F ( M ) = {P1 ( M ); P2 ( M ); ...; Pn ( M )} в п-мерном пространствеимеют видdx1dx2dxn== ... =.P1 ( x1 , x2 , ..., xn ) P2 ( x1 , x2 , ..., xn )Pn ( x1 , x2 , ..., xn )(Это система из (n − 1) дифференциальных уравнений, записаннаяв симметричной форме.)В частности, для векторного поля F = P ( x, y )i + Q( x, y ) j наплоскости (в R 2 ) дифференциальное уравнение его векторных линий имеет видdxdydy Q ( x, y )=⇔=.P ( x, y ) Q ( x, y )dx P ( x, y )Его решение в явной форме y = y ( x, C ) или в неявной ϕ( x, y, C ) == 0 содержит одну произвольную константу С.Для векторного поля F = P ( x, y , z )i + Q ( x, y, z ) j + R ( x, y, z )k втрехмерном пространстве векторные линии задаются системойдифференциальных уравнений⎧ dy Q ( x, y, z )⎪ dx = P ( x, y , z ) ,dxdydz⎪==⇔⎨P ( x, y , z ) Q ( x, y , z ) R ( x, y , z )⎪ dz = R ( x, y, z ) .⎪⎩ dx P ( x, y, z )(1.1)Желательно найти решения этой системы явно, т.