Аникин А.Ю.Теория поля.МГТУ 2013г (Теория поля - методические указания к решению задач А. Ю. Аникин, Н. И. Сидняев, С. К. Соболев.), страница 2

е. в видевыражений каких-то двух переменных через третью, например, ввиде y = g ( x), z = h( x), причем эти функции должны содержатьдве произвольные константы ( C1 и C2 ), т. е. на самом делеy = g ( x, C1 , C2 ), z = z ( x, C1 , C2 ) , тогда векторные линии задаютсяz=параметрическими уравнениями x = t , y = g (t , C1 , C2 ),= h(t , C1 , C2 ), t ∈ R при всевозможных C1 и C2 .8Если явные решения системы (1.1) получить не удается, тогдаих надо найти в неявной форме. Для этого следует определить дванезависимых первых интеграла1 Φ1 ( x, y, z ) = C1 и Φ 2 ( x, y, z ) = C2системы (1.1), тогда каждая векторная линия — это пересечениедвух поверхностей, заданных соответствующими уравнениями⎧Φ1 ( x, y , z ) = C1 ,⎨⎩ Φ 2 ( x, y , z ) = C2при произвольном выборе констант C1 и C2 .Для нахождения первых интегралов часто используется односвойство обобщенной пропорции.a1 a2an== ... =.Предложение 1.2. Пусть верна пропорцияb1 b2bnТогда, если для некоторых λ1 , λ 2 , ..., λ n справедливо равенствоλ1b1 + λ 2b2 + ...

+ λ n bn = 0, то будет верно и λ1a1 + λ 2 a2 + ... + λ n an == 0 (здесь члены пропорции ai , bi и коэффициенты λi могут бытькак числовыми, так и функциями от одной или нескольких переменных).Пример 1.2. Найти и изобразить на плоскости векторные линии поля F = y ⋅ i + 4 x ⋅ j .Решение. Запишем дифференциальное уравнение векторныхлинийdx dy=⇒ 4∫ xdx = ∫ ydy ⇔ 2 x 2 − 12 y 2 = Cy 4xи решим (проинтегрируем) его.При C = 0 это будут две пересекающиеся прямые⎡ y = 2 x,y 2 = 4 x2 ⇔ ⎢При C > 0 — это семейство гипербол, для⎣ y = −2 x.которых OX — действительная ось, а OY — мнимая, а приC < 0 — семейство гипербол, для которых, наоборот, OY — дей-—————1Напомним, что функция F ( x, y, z ) называется первым интегралом системы дифференциальных уравнений (1.1), если F ( x, y ( x), z ( x)) = const для любыхрешений y ( x) и z ( x) этой системы.9ствительная ось, а ОХ — мнимая.Асимптотами всех описываемых гипербол являются прямые y = ± 2 x.

.Для определения направления навекторных линиях возьмем несколькоточек, например, M 1 (1; 0), M 2 (0; 2),M 3 ( −2; 3), M 4 ( −1; −2), и вычислимвекторы поля в них F ( M 1 ) = 4 j ,F ( M 2 ) = 2i , F ( M 3 ) = 3i − 8 j , F ( M 4 ) == −2i − 4 j. Эти векторы задаютнаправления на векторных линиях,проходящих через соответствующиеточки (рис. 1.5). „Рис. 1.5Пример 1.3. Найти векторные линии векторного поля G в пространстве:G = (2 y − z )i + (−2 x + 3 z ) j + ( x − 3 y )k .Решение. Запишем дифференциальные уравнения векторныхлиний, представляющие собой пропорциюdxdydz==.2 y − z −2 x + 3 z x − 3 y(1.2)Заметим, что 3(2 y − z ) + (−2 x + 3z ) + 2( x − 3 y ) ≡ 0 .

Согласносвойству пропорции,3dx + dy + 2dz ≡ 0 ⇒ d (3 x + y + 2 z ) = 0 ⇒⇒ 3 x + y + 2 z = C1.Иначе говоря, мы получили первый интеграл этой системыдифференциальных уравнений. Чтобы найти другой первый интеграл, умножим знаменатели в (1.2) на х, у и z соответственно и,сложив, получим x(2 y − z ) + y ( −2 x + 3z ) + z ( x − 3 y ) = 0 . Следовательно,xdx + ydy + zdz = 0 ⇒ 1 d ( x 2 + y 2 + z 2 ) = 0 ⇒ x 2 + y 2 + z 2 = C2 .2Последнее равенство есть искомый другой первый интеграл.Таким образом, векторные линии рассматриваемого векторного поля представляют собой пересечения двух поверхностей10⎧3x + y + 2 z = C1 ,⎨ 222⎩ x + y + z = C2 ,из которых первая поверхность — плоскость, проходящая перпендикулярно вектору n{2;1; 3}, а вторая (при C2 > 0 ) — сфера радиусом R = C2 с центром в начале координат.

Их непустые пересечения — семейство окружностей произвольных радиусов сцентрами на прямой, проходящей через начало координат параллельно вектору n{2;1; 3} , плоскости окружностей перпендикулярны этой прямой (рис. 1.6). Чтобы определить направления наРис. 1.6окружностях, возьмем произвольную точку М, напримерM (1; 0; 0), вычислим в ней вектор поля G ( M ) = −2 j + k , затемнайдем смешанное произведение трех векторов: п, OM (радиусвектора точки М) и G = G ( M ):2( n OM G ) = 1130 0 = −7 < 0.0 −2 111Следовательно, тройка векторов п, OM и G ( M ) — левая, этозначит, что направления на векторных линиях (окружностях) —против часовой стрелки, если смотреть в направлении вектора п.

„1.4. Задачи для самостоятельного решения1.1. Построить линии уровня скалярного поля U ( x, y ) на плоскости:y−2; в) U = xy; г) U = ( x − 3)( y + 2);а) U = 3x − 2 y; б) U =x +1д) U = x 2 + 3 y − 4 x; е) U = y 2 − 2 x + 6 y; ж) U = x 2 + y 2 − 4;з) U = x 2 + y 2 − 4 x + 6 y; и) U = x 2 + 4 y 2 ;к) U = x 2 + 2 x − y 2 + 4 y; л) U = y +x2x2 + y 2; м) U =;y4x − 2 yн) U = e − x ( y + 2); о) U = ( x − 1)2 y ; п) U = 2 x + y ;р) U = x − 3 y + 2 x + y ; с) U = max{x; y}; т) U = min{x; y};x−2x2.; ф) U =y+3sin y1.2.

Найти поверхности уровня скалярного поля W ( x, y , z )в пространстве:3y − z + 2; в) W = x + y + z ;а) W = 2 x − y + 3 z; б) W =x1; д) W = x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 z;г) W = 2x + y2 + z2у) U =x2 + y 2; ж) W = x 2 + 4 z 2 ; з) W = x 2 − y 2 + 2 z 2 ;zи) W = 2 y 2 + z 2 − x; к) W = x 2 − y 2 + z; л) W = z ( x 2 + y 2 + 1);е) W = z +м) W = ( x + y ) 2 − z 2 .1.3.

Изобразить векторы векторного поля F на плоскостив точках M 1 , M 2 , M 3 :а) F ( x, y ) = ( x − 2 y )i − ( y 2 + 1) j , M 1 (0; 0), M 2 (1;1), M 3 (−1; 2);б) F ( x, y ) = ( x 2 − 1)i − ( yx + 2 x) j , M 1 (1;1), M 2 (0; 4), M 3 (2; −1).121.4. Найти и нарисовать векторные линии векторного поляF ( x, y ) на плоскости:а) F = 3i − 2 j; б) F = xi + 4 yj; в) F = 2 yi + xj; г) F = yi − 3 xj;д) F = e x i + j; е) F = i − e y j; ж) F = x 2 i + yj; з) F = i + cos x j;и) F = (2 x − 3 y )i + j.1.5.

Найти и описать векторные линии векторного поляF ( x, y, z ) в пространстве:а) F = 3i + 2 j − k ; б) F = xi + yj + zk ; в) F = −2 xi + yj + 3 zk ;г) F = (3 y + 2 z )i + (−3x + z ) j − (2 x + y ) k ;д) F = zx i + zy j − ( x 2 + y 2 )k .13Глава 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫВ теории поля широко используют интегралы от скалярнойили векторной функции, вычисленные вдоль некоторой линии илипо некоторой поверхности в пространстве. Интегралы, вычисленные вдоль плоской или пространственной линии, называют криволинейными интегралами (или просто линейными интегралами,поскольку линия интегрирования может быть отрезком прямой), аинтегралы от скалярной или векторной функции по некоторойпространственной поверхности — поверхностными интегралами. В этой главе мы напомним некоторые сведения о криволинейных интегралах.2.1.

Криволинейные интегралы первого родаНекоторые свойства криволинейного интеграла первого рода. Будем считать известным определение криволинейного интеграла первого рода, т. е. интеграла ∫ f ( x, y, z )dl от скалярной функцииLf ( x, y, z ) (скалярного поля) вдоль неориентированной кусочногладкой линии L в пространстве, или интеграла∫ f ( x, y)dlот функ-Lции двух переменных f ( x, y ) по произвольной (кусочно-гладкой)линии L, расположенной в плоскости XOY. Напомним два его важнейших свойства и формулы для вычисления.Аддитивность.

Если линия L есть объединение двух линий L1и L2 , имеющих конечное число общих точек, L = L1 ∪ L2 , то∫L1 ∪L2f ( x, y, z ) dl =∫ f ( x, y, z ) dl + ∫L1f ( x, y, z ) dl.L2Точнее, если существуют оба интеграла в правой части, то существует и интеграл в левой части и он равен сумме двух первых.14Линейность. Для любых чисел α, β ∈ R и функций f ( x, y, z ) иg ( x, y, z ) справедливо равенство∫ ( α⋅ f ( x, y, z ) + β⋅ g ( x, y, z ) ) dl = α⋅ ∫ f ( x, y, z ) dl + β⋅ ∫ g ( x, y, z ) dl.LLLТочнее, если существуют оба интеграла в правой части, то существует и интеграл в левой части и он равен выражению, стоящему в правой части.Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Формулы для вычисления криволинейного интеграла по линии L зависят от способа задания этой линии.Если линия L задана в пространстве (или на плоскости) параметрическиx = x(t ), ⎫L: y = y (t ) ⎪⎬ t ∈ [α; β] ,z = z (t ) ⎪⎭то∫Lβf ( x, y, z ) dl = ∫ f ( x(t ), y (t ), z (t ) )( x′(t ) )2+ ( y ′(t ) ) + ( z ′(t ) ) ⋅ dt.22αНа плоскости справедлива аналогичная формула:∫Lβf ( x, y ) dl = ∫ f ( x(t ), y (t ) )( x′(t ) )2+ ( y ′(t ) ) ⋅ dt.2αЕсли линия L задана на плоскости XOY явно, т.

е. L: y == y ( x), x ∈ [a; b], то∫Lbf ( x, y ) dl = ∫ f ( x, y ( x) ) 1 + ( yx′ ) ⋅ dx.2aЕсли линия L задана на плоскости в полярных координатахL : r = r (ϕ), α ≤ ϕ ≤ β,то∫Lβf ( x, y ) dl = ∫ f ( r (ϕ) cos ϕ, r (ϕ)sin ϕ ) r 2 + ( rϕ′ ) ⋅ d ϕ.2α15Упражнение 2.1. Напишите формулу для вычисления криволинейного интеграла первого рода по линии, заданной на плоскости XOY явно, L: x = x( y ), y ∈ [c; d ] .Криволинейный интеграл первого рода от векторной функции.

Обычно криволинейный интеграл вычисляется от скалярнойфункции f ( x, y, z ) , т. е. скалярного поля, и значением этого интеграла является число, т. е. тоже скаляр. В принципе криволинейныйинтеграл первого рода можно находить и от векторной функции,т. е. от векторного поля: если в пространстве заданы линия L и векторное поле F ( x, y, z ) = P ( x, y, z )i + Q( x, y , z ) j + R( x, y, z )k , то поопределению∫ F ( x, y, z ) dl def= i ∫ P( x, y, z ) dl + j ∫ Q( x, y, z ) dl + k ∫ R( x, y, z ) dl .LLLLПонятно, что значение такого интеграла есть вектор.Например, если в гравитационном (электрическом) поле G ( M )находится материальная линия L с линейной плотностью массы(зарядов) μ( x, y, z ), то сила, действующая на эту линию со стороны поля, F = ∫ G ( x, y, z )μ( x, y , z )dl.LПример 2.1.

Найти направление и модуль силы взаимодействия между точечным зарядом q, сосредоточенным в вершине Спрямоугольного треугольника АВС с катетом AC = a и острымуглом ∠ACB = β, и зарядом Q, равномерно распределенным накатете АВ.Решение. По закону Кулона вектор силы взаимодействиядвух точечных зарядов q1 и q2 , располоkq1q2женных в точках M 1 и M 2 , F = 3 r ,rгде k — коэффициент пропорциональности;Рис.

2.116r = M 1M 2 ; r = r = M 1M 2 . Линейная плотность заряда на катете АВ постоянна и соQставляет μ = , где b = AB = a tg β. Еслиbначало координат поместить в точку С, аось ОХ направить вдоль катета АС, то вер-шины А и В будут иметь координаты A(a; 0) и B (a; b) (рис. 2.1).Для произвольной точки M (a; y ) катета АВ радиус-векторr = CM = ai + yj , r = CM = a 2 + y 2 , и искомый вектор силы взаимодействияF=kqμkqQ∫ r 3 r dl = bABbai + yj∫ ( a 2 + y 2 )3/ 2 dy.0Сделаем в этом интеграле замену:y = a tg t , 0 ≤ t ≤ β,a2 + y2 =a2a dt, dy =,2cos tcos 2 tполучимβF=kqQkqQ(i cos t + j sin t )dt = 2( i sin β + j (1 − cos β) ) .∫ab 0a tg βМодуль этой силыF =kqQkqQsin 2 β + (1 − cos β) 2 = 22(1 − cos β) =2a tg βa tg β=2kqQ sin (β/2)kqQ cos β,= 22a tg βa cos (β /2)а ее направление образует с осью ОХ угол ϕ , тангенс которого1 − cos βtg ϕ == tg β2 , следовательно, ϕ = 12 β, и сила взаимодейsin βствия направлена по биссектрисе угла АСВ.Выясним, в какой точке Е (вместо всего катета АВ) следуетсосредоточить заряд Q, чтобы сила взаимодействия зарядов qи Q была такой же по значению и направлению.