Аникин А.Ю.Теория поля.МГТУ 2013г (Теория поля - методические указания к решению задач А. Ю. Аникин, Н. И. Сидняев, С. К. Соболев.), страница 13

Проверить, что векторное поле F соленоидально в своейобласти определения, найти какой-нибудь его векторный потенциал H и вычислить поток поля F через указанную ориентированнуюповерхность σ с помощью свойства (5.15):а) F = (2 x − y )i + ( z − 3 y ) j + (3 x + z )k , σ: x 2 + z 2 + y = 5, y ≥ 1, нормаль направлена наружу;б) F = ( 3x − y 2 ) i + ( z 2 − 2 y ) j + ( y 2 − z ) k , σ: x 2 + y 2 + z 2 = 2 z , z ≤ 1,нормаль направлена внутрь.5.19. Доказать, что если функции f ( x), g ( y ) и h( z ) непрерывны при x ∈ (a1 ; a2 ), y ∈ (b1 ; b2 ), z ∈ (c1 ; c2 ) соответственно, то векторное поле F = f ( x) i + g ( y ) j + h( z )k потенциально в областиΩ = (a1 ; a2 ) × (b1 ; b2 ) × (c1 ; c2 ), и найти его потенциал U.5.20.

Найти лапласиан произвольного центрального скалярногополя U = f (r ) в R 2 r = x 2 + y 2 .5.21. Найти все гармонические центральные скалярные поля наплоскости.5.22. Доказать, что для любых дифференцируемых скалярныхполей U и V и произвольного ненулевого вектора s∂∂V∂U(U ⋅ V ) = U ⋅ + V ⋅ .∂s∂s∂s5.23. Доказать, что для любых скалярных полей W1 и W2, векторных полей F1 и F2 и постоянных λ1, λ2:а) grad (λ1W1 + λ2W2 ) = λ1 grad W1+ λ2 grad W2;б) div (λ1F1 + λ2F2 ) = λ1 div F1 + λ2 div F2;в) rot (λ1F1 + λ2F2 ) = λ1 rot F1 + λ2 rot F2;г) Δ (λ1W1 + λ2W2 ) = λ1 Δ W1+ λ2 Δ W2.975.24. Пусть U и V — произвольные дифференцируемые скалярные поля, а F и G — произвольные векторные поля (с дифференцируемыми компонентами).

Доказать, что:а) grad (U ⋅V ) = U ⋅ grad V + V ⋅ grad U ;б) div (U⋅ F ) = U ⋅ div F + ( F ⋅grad U ) ;в) div [ F × G ] = ( G ⋅ rot F ) − ( F ⋅ rot G ) ;г) rot (U ⋅ F ) = U ⋅ rot F − [ F × grad U ] ;д) Δ (U ⋅ V ) = U ⋅ ΔV + V ⋅ ΔU + 2 ( grad U ⋅ grad V ) .5.25. Лапласианом векторного поля F ( x, y, z ) = P ( x, y, z )i ++ Q( x, y , z ) j + R( x, y , z )k называется векторное поле Δ F == i ⋅Δ P ( x, y , z ) + j ⋅Δ Q( x, y, z ) + k ⋅Δ R ( x, y , z ). Доказать, что для произвольного векторного поля F с дважды дифференцируемымикомпонентами справедлива формулаrot ( rot F ) = grad(div F ) − ΔF .5.26.

Пусть в произвольной точке М ориентированной поверх∂U( M ) обозначает производную скалярного поля U поности∂nнаправлению нормали п к этой поверхности. Доказать следующиеформулы Грина в пространстве:∂Vа) w∫∫ U ∂n ds = ∫∫∫ ⎡⎣U ⋅ΔV + ( gradU ⋅ gradV )⎤⎦ dxdydz (первая фор∂ (T )Tмула Грина);б)∂V∫∫∫ U ⋅ ΔV dxdydz = w∫∫ U ∂n ds − ∫∫∫ ( gradU ⋅ gradV ) dxdydzT∂ (T )T(формула трехмерного интегрирования по частям);∂U ⎞⎛ ∂Vв) w∫∫ ⎜⎝U ∂n − V ∂n ⎟⎠ ds = ∫∫∫ (U ⋅ΔV − V ⋅ΔU ) dxdydz (вторая∂ (T )Tформула Грина).5.27. Доказать, что:а) если скалярное поле V является гармоническим в области Т, то∂Vw∫∫ U ∂n ds = ∫∫∫ ( gradU ⋅ gradV ) dxdydz (первая формула Грина∂ (T )Tдля гармонических полей);98б) если оба скалярных поля U и V гармонические в области Т, то:∂U ⎞⎛ ∂V1) w∫∫ ⎜⎝U ∂n − V ∂n ⎟⎠ ds = 0 (вторая формула Грина для гармони∂ (T )ческих полей);∂ (UV )2) w∫∫ ∂n ds = 2∫∫∫ ( gradU ⋅ gradV ) dxdydz (третья формула∂ (T )TГрина для гармонических полей).5.28.

Доказать, что для любого скалярного поля U ( x, y , z ):∂Uа) w∫∫ U ⋅ n ds = ∫∫∫ gradU dxdydz; б) w∫∫ ∂n ds = ∫∫∫ ΔU dxdydz.∂ (T )T∂ (T )T5.29. Доказать закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вверх иравная по величине весу вытесненной жидкости.5.30. Найти: а) дивергенцию произвольного центрального векторного поля F = f (r ) ⋅ r в пространстве R n ; б) градиент и лапласиан произвольного центрального скалярного поля U = f (r ) в R n ,где r = ( x1 ; x2 ; ...; xn ), r = r = x12 + x22 + ... + xn2 .5.31.

Найти все центральные гармонические скалярные поля впространстве R n ( n > 2 ).99Ответы1.1: а) параллельные друг другу прямые с угловым коэффици3ентом k = ; б) прямые проходящие через «выколотую» точку2M 0 (−1; 2); в) гиперболы с асимптотами — осями координат и самиэти оси; г) гиперболы с асимптотами — прямыми x = 3 и y = −2 исами эти прямые; д) параболы с осью x = 2; е) параболы с осьюy = −3; ж) окружности с центром в начале координат радиусомR ≥ 2; з) окружности с центром в точке Q(2; −3); и) эллипсы с центром в начале координат; к) гиперболы с асимптотами y = x + 3,y = 1 − x и сами эти прямые; л) окружности с центрами на оси OY,проходящие через «выколотую» точку O(0; 0); м) окружностис центрами на прямой x + 2 y = 0, проходящие через «выколотую» точку O(0; 0); н) графики вида y = −2 + Ce x ; о) графикиx = 1 + C ⋅ 2− y ; п) ромбы, симметричные относительно осей координат; р) параллелограммы с диагоналями на прямых x − 3 y = 0,y + 2 x = 0; с) квадраты с центром в начале координат и сторонами,параллельными координатным осям; т) продолжения сторон квадратов из с); у) параболы, симметричные относительно оси ОХ свершиной в точке Q (0; −3); ф) «вертикальные» синусоиды.1.2: а) параллельные друг другу плоскости; б) плоскости,проходящие через «выколотую» прямую z = 3 y + 2 в плоскостиYOZ ; в) октаэдры; г) сферы с центром в начале координат;д) сферы с центром в точке Q (1; 0; −2); е) сферы с центрами наоси OZ, проходящие через «выколотую» точку O (0; 0; 0);ж) эллиптические цилиндры с осью x = z = 0; з) конус и гиперболоиды с осью OY ; и) эллиптические параболоиды с осью100y = z = 0;к) гиперболическиепараболоиды;л) «шляпы»22z = C / ( x + y + 1); м) гиперболические цилиндры и их асимптотические плоскости x + y = ± z;1.4.

Векторные линии: а) 3 y + 2 x = C ; б) y = Cx 4 , x = 0;д) y + e − x = C ; е) e − y − x = C ;3y 3ж) y = Ce −1/ x ; з) y = sin x + C ; и) x = Ce −2 y ++ .2 41.5. Векторные линии: а) 2 x + 3 y = C1 , − y + 2 z = C2 ; б) всеCCпрямые, проходящие через начало координат; в) y 4 = 2 , z 3 = 2 ;xxx = 0, y = Cz 3 ; x = z = 0; г) x 2 + y 2 + z 2 = C1 , x − 2 y + 3 z = C2 ;в) x 2 + 2 y 2 = C ;г) y 2 + 3 x 2 = C ;д) x 2 + y 2 + z 2 = C1 , y = C2 x или x = 0.πe2 91.+ ; б); в)168 86 22.2. Сила направлена по биссектрисе угла ACB, ее модуль раkQq sin α sin β.венα+βh 2 sin2⎛ π π2 ⎞2.3: а) 5 ⎜ 1 + − ⎟ ; б) 19.⎝ 2 2 ⎠1031; б) e 2 − .2.4: а)3222.5: а) 0; б) 6; в) 2; г) –6.2.6.

–2.3 17e4252.7: а) − + − 5e + ; б).e 221211− 2 ; б) 1.2.8: а) 1 +ln 2 ln 232.9: а) 1; б) − ; в) 36π; г) 4π.22π2.10: а) –4; б).32.1: а)1015 2π64; б); в) (2 − 2).3912MM; б).3.2: а)dRγmM3.3: а); б) 0.d2π2π3.4: а) –1; б) − ; в) .234.1. Градиент: а) 2 xi + 2 yj; б) 8 xi + 2 yj; в) 2 xi − 2 yj; г) yi + xj;д) 2 xyi + x 2 j; е) i + 2 yj. Векторные линии: а) y = Cx, C ∈ R иCx = 0; б) x = Cy 4 , C ∈ R и y = 0; в) y = , C ∈ R и x = 0;x22222г) x + y = C ∈ R; д) x + 2 y = C ∈ R; е) x = Ce x , C ∈ R.4.2. Дивергенция: а) 2 x + 3 y 2 ; б) 2 x − 2 y; в) 0; г) 0; д) y + 1.Ротор: а) 5; б) 0; в) 0; г) −1 − 2 y; д) 1 − x.4.3: а) ΔU = 2(1 − 6 x + x 2 + y 2 ); б) ΔU = 12( x + y ) + 4; в) ΔU =3.1: а)= −U ; г) ΔU = 4(1 + x 2 + y 2 )e x307224.4: а) −; б) .1534.5. 1.84; в).4.6: а) πab; б)15152 + y2.4.7: а) U = x 2 − y 2 , W = 6; б) U = x 2 y, W = −13; в) U =x,y10; г) U = ye x , W = 5; д) U = x 2 cos y , W = 5; е) U ( x, y ) =3x2 y235x4= x − y ln y , W = 2e − e ; ж), W =−.

Век+ 2 y2 −422Cторные линии: а) y = , x = 0; б) x 2 − 2 y 2 = C ; в) x 2 + y 2 = C ;xy2г) x =+ C.274.8: а) − ; б) 1.2W=1022 xy 33x 2 y 2x2 y3i+j − 2 k;zzz−2 x 3−2 x 2−2 x 3в) −2e y sin zi + 3e y sin zj + e y cos zk ;5.3: а) 2 xi + 3 y 2 j − 4 z 3 k ; б)2zk.z +15.4. Векторные линии: а) y = C1 x 2 , z = C2 x3 ; x = 0, y 3 = C3 z 2 ;г) 4cos(4 x)i − 3e3 y j +x = z = 0; б) y =2C1C3, z = C2 x 2 ; x = 0, z = 2 ; x = y = 0; в) x = C1 y,xyx = C2 e − z ; y = 0, x = C3e − z ; г) x =C1, x = C2 e z ; y = 0, x = C3e z .y5.5. Дивергенция: а) 2 x + 3 y 2 + 4 z 3 ; б) 3 x 2 − 2sin 2 y − e − z ; в) 0;г) a1 + b2 + c3 .Ротор:а) −3i + 5 j + k ;б) 0;в) ( x 4 + 2 zx)i ++ ( y 3 − 4 x3 y ) j − (3 y 2 z + z 2 )k ; г) (b3 − c2 )i + (c1 − a3 ) j + (a2 − b1 ) k .5.6: а) div F = 2 y + 6( z + 1) 2 = 0; б) div F = 2 x − 2 y + 4 z = 0.5.7. Лапласиана)ΔU = div grad UскалярногополяU:2 z3 2 x2 z3 6 x2 z++; б) ( 2 xz 3 + 6 xy 2 z + y 4 z 6 + 4 x 2 y 2 z 6 + 9 x 2 y 4 z 4 ) ×3yyy× e xy2 z3;в) 2a + 2b + 2c;г) 0;д) −e − x (8cos3 y + 3sin 2 z );е) −3sin( y 2 − z ) − 4 y 2 cos( y 2 − z ).2f ′(r ).r5.9: а) 2i + 6 yj + 12 z 2 k ;г) f ′′( x)i + g ′′( y ) j + h′′( z )k ;5.8.

f ′′(r ) +е) Ax i + Ay j + Az k ,б) 6 xi + 12 y 2 j − 20 z 3 k ;в) 0;д) − y cos xi − (sin x + z sin y ) j + cos yk ;Ax = − cos θ3e z − 2sin θ2 e y − 2sin θ1e x ,= −2cos θ3e z + cos θ2 e y − 4cos θ1e x ,Ay =Az = − sin θ3e z − sin θ2 e y −− 4cos θ1e x , где θ1 = y + 2 z , θ2 = z + 2 x, θ3 = x + 2 y.⎛4⎞5.10. ⎜ f ′(r ) + f ′′(r ) ⎟ ⋅ r .⎝r⎠1035.11: а) −(r + 1)e − r + C ;б)r3+ C;4в) C1 +C2 r 5+ ;r 30г) C1 +C2 e − r 2−(r + 2r + 2).rr⎛ C r3 ⎞C2 r 2⎛C 1 ⎞5.12: а) ⎜ 3 + ⎟ r ; б) ⎜ 3 + ⎟ r ; в) C1 + 3 + .r86⎠2r ⎠⎝r⎝r5325.13: а) 12; б)π.1514585.14: а) 38π; б)π.5151J max =;б) J = 12;5.16: а) J = − ;J max = 12 5;22π135в) J = − ; J max =; J max = π 2; д) J = 4π;10; г) J = −222J max = 2π 14.5.17:а) U = x3 − y 2 + z 4 + x 2 yz ,W = −24;б) e3 x sin y +π3+ x cos (2 z ) + z 3 ,W=− 1;в) U ( x, y , z ) = e x + y cos( y − z ),64sin ( x + 2 y )1W = −e π − e 2 ; г) U ( x, y, z ) =, W= .2z2⎛z⎞ ⎛3⎞5.18: а) G = ⎜ − 3 yz ⎟ i + ⎜ x 2 + yz − 2 xz ⎟ j , Φ = 12π; б) G =⎝ 2⎠ ⎝2⎠⎛ z3y3 ⎞19π= ⎜ − 2 yz − ⎟ i + ( y 2 z − 3xz ) j , Φ =.3 ⎠4⎝ 35.19.

а) U = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( y )dy + ∫ h( z )dz.+1f ′(r ).r5.21. C1 + C2 ln r.5.20. f ′′(r ) +5.30: а) div F = r ⋅ f ′(r ) + nf (r ); б) grad f (r ) =n −1f ′( r ).rC25.31. C1 + n − 2 .r= f ′′(r ) +104f ′(r )r , Δf (r ) =rЛитератураГаврилов В.Р., Иванова Е.Е., Морозова В.Д. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля / Под ред. В.С. Зарубина, А.П.