Контрольные задания и методические указания, страница 4

В данном случаеu (r, φ ) = R(r )Φ(φ ) .Это выражение подставляем в уравнение Лапласа3011R′′Φ+ R′Φ+ 2 RΦ′′ = 0rrи делим получившееся уравнение на RΦR′′ 1 R′ 1 Φ′′++= 0.R r R r2 ΦЗатем умножаем получившееся уравнение на r 2 , оставляем в левой части функции, зависящие от r, а функции, зависящие от угловой координаты переносим в правую часть. Оказывается, чтолевая и правая части уравнения зависят от разных переменных.Следовательно, они равны константеR′′R′ Φ′′r2+r == сonst = λ2 .RR ΦОтсюда получаем два уравненияR′′R′r2+ r − λ2 = 0 ,(4)RRΦ′′ + λ2Φ= 0 .(5)Для существования однозначного решения задачи должновыполняться условиеΦ (ϕ ) = Φ (ϕ + 2π ) .(6)Уравнение (5 ) и условие (6 ) составляют задачу ШтурмаЛиувилля, изученную ранее (пример 2, раздел 2.3 ).

Отметим,что появление задачи Штурма-Лиувилля в первом действии метода Фурье характерно для всех других уравнений, решаемыхэтим методом.II. Второй этап состоит в решении полученных на первомэтапе обыкновенных дифференциальных уравнений, задач Штурма-Лиувилля и построении общего решенияуравнения в частных производных.Из условий периодичности ( 6 ) получаем λn = n , n=0,1,2,...,Φn (φ ) = An cos nφ + Bn sin nφ .Решения уравнения (4), при заданных λn = n1n2R′′(r ) + R′(r ) − 2 R(r ) = 0rr31будем искать в видеR(r ) = r k ,где k – неизвестная константа. Произведя дифференцирование иподставляя в уравнение получимk (k − 1)r k − 2 + kr k − 2 − λ2 r k − 2 = 0 , k = ±λ .Таким образом, радиальная часть решения имеет видRn (r ) = Cn r k + Dn r − k .Если поставить условие ограниченности решения в нуле, тоостается только первое слагаемое Rn (r ) = Cn r n , т.к. Dn = 0 .Общее решение уравнения в частных производных есть суперпозиция всех найденных частных решенийu (r, φ ) =∞∑ r n [An cos nφ]+ Bn sin nφ .n=0III.

Третий этап состоит в нахождении неизвестных An и Bn .Для этого применяется теория рядов Фурье ( в общем случае теория рядов Фурье-Стеклова).Разложим функцию, задающую краевое условие , в рядФурьеa0 ∞f (φ) =+ ∑ [an cos nφ + bn sin nφ ],2 n =11 πan = ∫ cos nπf (φ)dφ,π− πииспользуемu (l , φ) = A0 +∞1 πbn = ∫ sin n f (φ)dφ,π− πкраевоеусловиеu (l , φ ) = f (φ),∑ l n [ An cos nφгде+ Bn sin nφ ] , для нахождения неиз-n =1вестных констант. Из равенства двух рядов следует2 A0 = a0 , an = l n An , bn = l n Bn .Эти соотношения полностью определяют неизвестные константыи решение поставленной задачи32na0 ∞  r u (r, φ ) = + ∑   (an cos nφ + bn sin nφ ) .2 n =1 l Замечание 1.

Если функция f является частичной суммойряда Фурье, то решение всегда представляется в виде конечногоряда.Пример 2. Пусть краевое условие задачи Дирихле содержит конечное число синусов и косинусов, например1 + cos 2ϕ a0f (ϕ ) = cos2 ϕ == + a2 cos 2ϕ .22Тогда и решение должно иметь такую же структуру, какую имеет краевое условие u (l , φ) = A0 + l 2 A2 cos 2φ.

Отсюда находимрешение задачи21  r  cos 2φu (r, φ ) = +  .2 l 2Замечание 2. Если начало координат не входит в область Q,то общее решение уравнения Лапласа содержит логарифм и отрицательные степени r∞BDu (r, φ ) = C0 + D0 ln r + ∑ ( An r n + nn ) cos nφ + (Cn r n + nn ) sin nφ rrn =1.Пример 3.

Найти значения параметра B , при которых существует решение задачи Неймана в кольцеΔu = 0, 1 ≤ r < 3, φ∈ [0,2 π], ∂u∂u=−2,= B. ∂n∂n r =1r =3Т.к. краевые условия не зависят от угла ϕ , то и решение от ϕ зависеть не будет. Тогда уравнение Лапласа будет иметь более простой вид1 d  du Δu =r  = 0.r dr  dr Отсюда следует33du C1= , u = C1 ln r + C2 .dr rНеизвестные константы находим из краевых условий. На внутренней границеC∂u∂u=− , − 1= −2, C1 = 2. .∂n∂rr r =1На внешней границе∂u 22= , B= .∂r r3Решение задачи определяется, в соответствии с теоремой 2 ,с точностью до произвольной константы C2u = 2 ln r + C2 .Ограничение на параметр B следует из теоремы 3 о необходимомусловии разрешимости задачи Неймана .6. Смешанные краевые задачи для волнового уравненияВведем обозначения: D - ограниченная замкнутая область сгладкой границей Г, x = ( x1, x2 ...xn ) ∈ D ⊂ R n , t ∈ [0, T ] .Многие колебательные и волновые процессы в физике (колебания струн, стержней , мембран , электромагнитные волны) описываются уравнением видаutt = a 2Δu + f ( x , t ), x ∈ D, t > 0 ,(1)которое называется волновым уравнением.Значения функции и ее производной в начальный моментвремени называются начальными данными задачи(2)u ( x ,0) = φ( x ), ut ( x ,0) = ψ( x )На границе области ставится одно из трех типов краевыхусловийА) u ( x , t ) |Γ= 0 -условие Дирихле,34∂u ( x , t ) |Γ= 0 - условие Неймана,∂n∂С) (αu ( x , t ) + β u ( x , t )) |Γ= 0 - смешанное условие (здесь∂nα+ β> 0 , α, β-неотрицательны на поверхности Г.Уравнение (1), начальные условия (2), и одно из краевыхусловий А-С образуют смешанную краевую задачу.В)Определение 1.

Дважды дифференцируемая в области D инепрерывная в замкнутой области D функция u ( x , t ) , удовлетворяющая уравнению (1), начальным условиям (2) и краевому условию А) называется классическим решением первой смешанной краевой задачи для волнового уравнения.Рассмотрим упругую струну, длины l . Величину отклонения струны от положения равновесия в точке х в моментвремени t , обозначим через u(x,t).

Малые колебания струныописываются одномерным волновым уравнениемutt = a 2u xx + f ( x, t ), x ∈ (0, l ), t > 0 ,(3)где a = T / ρ- скорость упругих волн в бесконечно длиннойструне, T- постоянное натяжение струны, ρ-постоянна линейнаяплотность струны, ρf ( x, t ) -плотность внешних сил, действующихна струну в точке х в момент времени t и направленных перпендикулярно оси х в плоскости (х,u).Начальные условия означают задание смещений струны искоростей в плоскости (х,u)u ( x,0) = φ( x), ut ( x,0) = ψ( x)(4)Пусть концы струны жестко закреплены, что соответствуеткраевым условиям Дирихле(5)u (0, t ) = u (l , t ) = 0 .Для решения задачи (3) - (5) используем метод Фурье (метод разделения переменных).

Рассмотрим случай свободных ко-35лебаний, когда вынуждающая сила f ( x, t ) ≡ 0 . Алгоритм решенияможно разбить на три этапа1) Разделяем переменные:u = y( x )T (t )и подставляем это выражение в волновое уравнениеyT ′′ = a 2 y′′T .Делим полученное уравнение на a 2 yT и приравниваем полученные дроби константе, так как слева и справа получились функцииот разных аргументовT ′′y′′== − λ= const .ya 2TОтсюда следует два уравнения(6)y′′ + λy = 0; y(0) = y(l ) = 0 ,T+λa 2T = 0 .(7)Уравнение (6) -это задача Штурма-Лиувилля с краевыми условиями Дирихле, изученная в разделе 2.3, пример 1 , где найденысобственные числа и собственные функцииnπnπλy(x)=sinx.=,nnllРешение уравнения (7) имеет видπnaπnaTn = An cost + Bn sintll2) Находим неизвестные постоянные An и Bn .Общее решение представляется как суперпозиция всех частных решенийu ( x, t ) =∞∑ Tn yn ( x ) .n =1Воспользуемся начальными условиями:36∞πnxAn = φ( x ) ,ln =1∞πn  πnaπna πnaπna ut = ∑ sin x −An sint+Bn cost ,llllln =1∞πn πna б ) ut ( x,0) = ∑ sin x Bn  = ψ( x ) .lln =1Теперь функции ϕ ( x ) и ψ ( x ) раскладываем в ряд ФурьеСтеклова по системе собственных функций {yn (x)}a) t = 0, u ( x,0) =∑ sin∞φ( x ) = ∑ φn yn ( x ), φn =1∞ψ( x) = ∑ ψn yn ( x), ψn =1(φ, yn )y2(ψ, yn )y2,приравниваем коэффициенты в соответствующих рядах и получаемψAn = φn, Bn = naλnИтак, общее решение задачи можно записать в виде∞ψu ( x, t ) = ∑ yn ( x) φn cos λn at + n sin λn at  .(8)aλn =1nЗамечание 1.

Физический смысл собственных значений исобственных функций возникающей задачи Штурма-Лиувиллясостоит в том, что они являются собственными частотами исобственными формами, соответственно, стоячих гармонических волн. Остановимся на этом подробнее.Гармоническое колебание имеет видu ( x, t ) = sin ωty ( x) .Подставляя это выражение в волновое уравнение и сокращая навременной множитель получим уравнение37y′′ +ω2y = 0.a2Отсюда следует, что ωn = a λn . Гармоническое колебание снаименьшей частотой ω1 = aπназывается основным тоном,lостальные колебания образуют бесконечный ряд последовательных обертонов более высокой частоты.

Так что легко заметить,что понижение частоты основного тона можно достичь либо засчет увеличения длины струны, либо за счет уменьшения натяжения. Отметим также, что число узлов в собственной форме колебаний на единицу больше ее номера.Замечание 2. Ряд (8) достаточно быстро сходится абсолютно и равномерно для любых t ∈ [0, T ] и любых x ∈ [0, l ].Рассмотрим теперь вынужденные колебания струны с нулевыми начальными условиямиutt = a 2u xx + f ( x, t ), x ∈ (0, l ), t > 0 ,(9)u ( x,0) = 0, ut ( x,0) = 0 ,(10)Пусть на концах струны заданы какие-нибудь нулевые краевые условия, типа условий А)-D) для задачи Штурма-Лиувилляраздела 2.1.

Будем считать собственные числа {λn } и собственныефункции {ψn (x)}этой задачи известными (для всех четырех случаев они легко находятся, аналогично задаче Дирихле). Отметимтакже свойство собственных функцийψ′n′ ( x ) = − λ(11)n ψn ( x )Частное решение волнового уравнения, называемое гармоникой, будем искать в видеun ( x, t ) = ψn ( x )Tn (t ) ,а общее решение -в виде суммы гармоникu ( x, t ) =∞∑ ψn ( x )Tn (t ) .n =1(12)38Разложим функцию f ( x, t ) в ряд Фурье-Стекловаf ( x, t ) =∞∑ Cn (t )ψ n ( x )n =1Подставим разложение u( x, t ) и f ( x, t ) в волновое уравнение иучтем свойство (11 ) второй производной собственной функции∞∞∑ (Tn′′ψn ( x ) + a 2 λnTnψn ( x) ) = ∑ Cn (t )ψn ( x ).n =1(13)n =1Система собственных функций {ψ n ( x )} − является базисом, линейно независима и поэтому из (13 ) и (10 ) следует задача Коши2Tn′′ + a λnTn − Cn = 0.(14)Tn (0) = Tn′ (0) = 0Решение задачи (14 ) выражается в виде интеграла Дюамеля1 t(15)Tn (t ) =∫ Cn ( τ) sin a λn (t − τ)dτ,λn 0и, следовательно, решение смешанной задачи получим подставляя ( 15 ) в (12)∞1 t(16)u ( x, t ) = ∑ ψn ( x )∫ Cn ( τ) sin a λn (t − τ)dτ.n =1λn 0Пример 1.

Решить смешанную краевую задачу для волнового уравненияutt = 25u xx + sin ωt ( x(3 − x )), x ∈ (0,3);u ( x,0) = ut ( x,0 ) = 0; u (0, t ) = u (3, t ) = 0.На концах струны поставлены краевые условия Дирихле. Следовательно, согласно разделу 2.3 , имеемnππn2a = 5, l = 3, λ, ψn = sin xn =33и решение задачи раскладывается по собственным функциям39∞πnx.3n =1Разложим функцию f ( x, t ) в ряд Фурье-Стеклова:∞πnsin ωt [x(3 − x )] = sin ωt ∑ Cn sin x ,3n =1u ( x, t ) =∑ Tn (t )sin3623πnxn−(−)11.Cn = ∫ 3 x − x 2 sindx =3303(πn)Здесь интеграл берется двукратным интегрированием по частям.Подставим разложения в волновое уравнение:∞∞ ′′ 52 +=T(πn)Tψ(x)sinωt∑ n∑ Cn ψn (x ) ,n n3n =1n =1Отсюда следует задача Коши для ОДУ второго порядкаTn′′ + β n2Tn = Cn sin ωt5n π = βn .,3Tn (0) = Tn′ (0) = 0(()(I) Нерезонансный случай: ω ≠ 5πn3)для любого n .Cnω  5πn πnxu ( x, t ) = ∑−sint+sinωtsin.25πn33nn =1 5π2 − ω  3 3 ∞(19)Мы получили сумму гармоник, которая удовлетворяет поставленным граничным и начальным условиям и самому волновомууравнению .5πnCnВидно, что если ω =, то амплитудаустремится23 5πn 2 −ω 3 в бесконечность – наступит резонанс.40(II) Резонансный случай.