Контрольные задания и методические указания, страница 3

Леммадоказана.Разделим на dx уравнение (13):2dy dy a  − 2b + c = 0dx dx 20Найдем корни этого квадратного уравнения относительно производнойdy b + ∆ dy b − ∆,(14)=,=dxadxaгде ∆ = b 2 − ac − дискриминант.Возможны три типа уравнений, определяемые знаком дискриминанта.I. ∆ > 0 - гиперболический тип.Общие интегралы φ ( x, y ) = c и ψ( x, y ) = c определяют действительныесемействахарактеристик.Полагаяξ= φ ( x, y ), η= ψ( x, y ) ,приводимуравнение(11),гдеa1 ≡ 0, c1 ≡ 0 , к виду~(15)vξη = F1 (ξ ,η , v, ∇v ) .Это и есть каноническая форма гиперболического уравнения.II. ∆ = 0 - параболический тип.Координату ξ = ϕ ( x, y ) − определяем из (7).

В качестве второго интеграла можно взять произвольную, но дважды дифференцируюмую функциюη = ψ ( x, y ) , удовлетворяющую условиюξx ξy≠ 0.ηx ηyТогда a1 = aξ x2 + 2bξ xξ y + cξ y2 = 0 =(()2cξ y )(aξ x + cξ y , т.к. b = a c .)b1 = aξ xη x + b(ξ xη y + η xξ y ) + cξ yη y = aξ x +aη x + cη y = 0и уравнение будет иметь канонический вид~vηη = F1 (ξ ,η , v, ∇v ).III. ∆ < 0 - эллиптический тип.В этом случае вещественных характеристик нет и существуют комплексные ξ = ϕ ( x, y ), η = ϕ * ( x, y ) , из которых можно21построить вещественные координаты α =ϕ +ϕ *ϕ −ϕ *и22iполучить в этих координатах каноническое уравнение в виде~∆W = Φ (α , β , W , ∇W ) ,где Δ- оператор Лапласа.Пример 3.

Найти общее решение уравнения4u xx + 8u xy + 3u yy + u y + 2u x = 0 .Алгоритм нахождения общего решения можно разбить натри этапа.1) Находим дискриминант ∆ = b 2 − ac и по его знаку определяем тип уравненияΔ= 16 − 12 = 4 > 0- гиперболический тип. Далее записываем уравнения характеристик и находим общие интегралы: dy b ± Δ y1 = y1 ( x )  φ( x, y ) = c1⇒⇒ =y=y(x)dxaψ( x, y ) = c22233 dy 1 =y=x+cc=y−x=ξ111dy 4 ± 2  dx 2 22=,.11dx4  dy 3 . dx = 2  y2 = 2 x + c2 c2 = y − 2 x = η, β=Затем вводим новые переменные: ξ= φ( x, y ), η= ψ( x, y ) .2) Записываем уравнение в новых переменных и подставляем эти выражения в исходное уравнение3ξx = − , ξ = 1, ξ = ξ = ξ = 0yyxxxy2 y.1 ηy = 1, ηyy = ηxx = ηxy = 0ηx = − ,231   3  3  1  9 1 4uξξ + 2uξη + uηη  + 8uξξ  −  −  + uηη −  + uξη −  +44   2  4 2  2  2   3 1 + 3 uξξ+ 2uξη+ uηη+ uξ+ uη + 2uξ −  + uη −  = 0 2   2[] []22Далее приводим подобные[9 − 12 + 3]uξξ+ [6 − 16 + 6]uξη+ [1 − 4 + 3]uηη+ [1 − 3]uξ+ [1 − 1]uη= 0;− 4uξη− 2uξ= 0 .В итоге получаем уравнение в каноническом виде1uξη= − uξ.23) Решаем полученное каноническое уравнение.

Для решения уравнения понизим его порядок1dWdη1uξ= W ; Wη= − W ,= − , ln W = − η+ f1 (ξ).2W22Здесь f1 (ξ) - произвольная гладкая функция.1− η+ f1 (ξ)=e 2=1− ηξe 2 =1− ηduWf2 ( ), du = f 2 (ξ)e 2 dξ.dξТаким образом получаем искомое общее решение уравнения ввидеu=1− ηe 2∫ f 2 (ξ)dξ+ g (η) =где f (ξ) = ∫ f 2 (ξ)dξ ицируемые функции.1− ηe 2 f(ξ) + g (η) ,g ( η) произвольные, дважды дифферен-4. Задача Штурма-ЛиувилляРассмотримЛиувиллядифференциальныйоператорШтурма-d  d (1) p + q,dx  dx и порождаемое им обыкновенное дифференциальное уравнениеLy ( x ) = λρ ( x ) y ( x )(2)или в развернутом видеd  dy (3)−  p  + qy = λρ ( x ) y ( x ) ,dx  dx L=−23где p( x ) ∈ C1 , p(x)>0, q( x) ≥ 0, ρ( x) > 0, λ∈ R1 - параметр.Пусть x ∈ [ a, b] и на концах отрезка рассмотрим одно изследующих четырех типов краевых условийА) условия Дирихлеy (a ) = y (b ) = 0 ,В) условия Нейманаdy(a ) dy(b )== 0,dxdxС) смешанное условиеy (a ) = y′(b ) = 0 ,D) смешанное условиеy′(a ) = y (b ) = 0 .Задача Штурма – Лиувилля ставится так: найти такие значения параметра λ , при которых существует нетривиальное решение уравнения (3), удовлетворяющее краевым условиям.Такие значения параметра λ называются собственнымичислами (значениями) задачи Штурма – Лиувилля, а соответствующие им решения y ( x ) − собственными функциями.Теорема 1.

Существует счетное множество неотрицательных собственных чисел {λn }, n = 0,1,2,..., и каждому собственному числу соответствует его собственная функция {λn }. Причемсистема собственных функций {λn } линейно независима.Теорема 2. Собственные функции задачи Штурма – Лиувилля ортогональны с весом ρ ( x ) .b∫ ρ ( x ) yn ( x ) ym ( x )dx = 0, m ≠ n .aДоказательство. Рассмотрим соотношения для m − й иn − й собственных функций Lyn = λn ρyn Lym = λm ρymДомножим первое уравнение на ym , второе на yn и вычтем изпервого второе и левую часть проинтегрируем по частям:24bb∫ Lyn ym dx − ∫ Lym yn dx =aa[] [= ∫ [− ( py′ )′ y ]dx − ∫ [− ( py ′ )′ y ]dx =bbaba]′ )′ yn + qym yn dx == ∫ − ( pyn′ )′ ym + qyn ym dx − ∫ − ( pymbnmmnaabb bb′′′′′ yn′ dx == − pyn ym a − ∫ pyn ym dx +  pym yn a − ∫ pym aabb= ∫ pyn′ y′m dx − ∫ py′m yn′ dx = 0 .aaЗдесь использованы краевые условия A-D, которые обеспечивают равенство нулю всех внеинтегральных подстановок. Теперь рассмотрим правую частьbbaaλn ∫ ρ( x ) yn ( x ) ym ( x )dx − λm ∫ ρ( x ) ym ( x ) yn ( x )dx =b.(λn − λm )∫ ρ( x ) yn ( x ) ym ( x )dx = 0aОтсюда получаем, что при m ≠ n и λm ≠ λnb∫ ρ( x ) ym ( x ) yn ( x )dx = 0 ,aчто и требовалось доказать.Теорема 3.

Оператор Штурма_Лиувилля- самосопряженный, то есть для любых y ( x ), z ( x ) ∈ C 2 [a, b] ,при соблюдениикраевых условий A-D, выполняется равенство(Ly, z ) = ( y, Lz ) .25Теорема Фурье-Стеклова. Любую функцию f ( x ) класса Cможно, при соблюдении краевых условий задачи Штурма – Лиувилля, представит в виде ряда Фурье – Стекловаf ( x ) = ∑ Ck y k ( x ) ,kгде yk ( x ) − собственные функции краевой задачи,( f ( x ), yk (x )) ,Ck =( yk ( x ), yk ( x ))( yk ( x ), yk ( x )) =2byk ( x ) = ∫ ρ ( x ) yk2 ( x )dx .aРяд сходится абсолютно и равномерно на отрезке [a, b].Пример 1. Рассмотрим следующие значения коэффициентовв уравнении (3): p ≡ 1, q ≡ 1, ρ ≡ 1 , а=0, b=l.

Тогда краевую задачу с условиями Дирихле можно записать в виде y′′ + λy = 0, x ∈ (0, l ),y(0) = y(l ) = 0.Общее решение дифференциального равнения, учитываячто λ ≥ 0(4)y ( x ) = C1 sin λ x + C 2 cos λ x .Для определения неизвестных используем краевые условияy (0 ) = 0 = C2 ,y (l ) = 0 = C1 sin λ l . Отсюда следует λ l = πn ,n=1,2,….2 πn Собственные значения: λn =   , собственные функции: l πnxyn = C1 sin.lПример 2.

Рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля с условием периодичности y′′ + λy = 0, x ∈ (0,2π), y( x ) = y( x + 2π) = 0.26Тогда общее решение уравнения задается выражением (4), идля существования единственного периодического решениядолжно выполняться λ= n . Собственные функцииyn ( x ) = C1 sin nx + C2 cos nx .5. Уравнение Лапласа и ПуассонаУравнение Пуассона и его частный случай уравнение Лапласа применяются при расчете электрических полей. Известно,что напряженность электрического поля связана с его потенциаломE = − grad φ ( x, y , z ).По теореме Гаусса∑ qii∫∫ EdS = εε.0ГОтсюда следует, что ρ( x, y , z ),divE =εε0где ρ( x, y, z ) − плотность зарядов. Следовательно, для потенциала получаем уравнениеρ( x, y , z ).div (− gradφ ) =ε0εТак как div(− grad ) = −Δ, гдеΔ=∂2∂2∂2++∂x 2 ∂y 2 ∂z 2- оператор Лапласа, то для потенциала получаем уравнение Пуассона1Δφ = −ρ( x, y, z ) .εε027При отсутствии в рассматриваемой области свободных зарядов ρ( x, y , z ) = 0 уравнение Пуассона принимает вид уравненияЛапласа∆ϕ = 0 .Определение 1.

Функция u ( x ) класса C 2 (Q) , удовлетворяющая на области Q уравнению Лапласа ∆u = 0 называетсягармонической функцией.Рассмотрим ограниченную область Q ⊂ R3 с кусочногладкой границей Г. Для таких областей можно поставить следующие три основных краевых задачи для уравнения Пуассона.Определение 2. Первой краевой задачей (или задачей Дирихле) для уравнения Пуассона называется задача нахождениярешения уравнения Пуассона, удовлетворяющего условию Дирихле на границеΔu = f ( x ), x = ( x1, x2 , x3 ) ∈ Q,(1)u x∈Γ= φ( x ).Классическим решением задачи ( 1 ) называется функцияu ( x ) ∈ C (Q ) ∩ C 2 (Q) ,удовлетворяющая внутри Q уравнению Пуассона, а на границекраевому условию Дирихле.Замечание.

Последняя формула читается так: функция непрерывна в области Q, включая ее границу, и дважды дифференцируема в области Q.Отметим, что понятие классического решения необходимодля нахождения единственного решения задачи Дирихле. Это иллюстрирует следующий пример.Пример 1. Пусть правая часть f ( x ) ≡ 0 . Тогда решении задачи Дирихле можно взять в виде кусочно заданной функцииC = const, x ∉ Γ,u( x ) = φ( x ), x ∈ Γ.Следовательно, будет существовать бесконечно много решенийзадачи.28Определение 3. Второй краевой задачей (или задачей Неймана) для уравнения Пуассона называется задача нахождениярешения этого уравнения, удовлетворяющего условию Нейманана границеΔu = f ( x ), x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ Q,(2) ∂uφ(x).= ∂n x∈Γ∂u− производная по направлению внешней нормали к поЗдесь∂nверхности Γ .Классическим решением задачи ( 2 ) называется функцияu ( x ) ∈ C1 (Q ) ∩ C 2 (Q) ,удовлетворяющая внутри Q уравнению Пуассона, а на границе краевому условию Неймана.Определение 4.

Третьей краевой задачей для уравненияПуассона называется задача нахождения решения этого уравнения, удовлетворяющего смешанному краевому условиюΔu = f ( x ), x = ( x1, x2 , x3 ) ∈ Q,(3) ∂u+=φ+≠0,≥0,≥0.(αβu)(x).αβαβ ∂nx∈ΓКлассическим решением задачи ( 3 ) называется функцияu ( x ) ∈ C1 (Q ) ∩ C 2 (Q) ,удовлетворяющая внутри Q уравнению Пуассона, а на границе –смешанному краевому условию.Сформулируем теоремы единственности классических решений поставленных задач.Теорема 1.

Если решение краевой задачи Дирихле существует, то оно единственно.Теорема 2. Решение краевой задачи Неймана определяетсяс точностью до константы.29Теорема 3. Необходимое условие существования решениязадачи Неймана. Для существования решения второй краевой задачи должно выполняться условие∫∫∫ fdx = ∫∫ φds .QΓТеорема 4. Третья краевая задача не может иметь более одного решения, если выполняется условияβ( x)∈ C (Γ) ,α( x)β( x)β( x)≥0 , ине равна тождественно нуα( x)α( x)лю.Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в кругеПусть область Q- круг радиуса r=l. Решение задачи будемискать в полярных координатах ( r , φ)Δu = 0, 0 ≤ r < l , φ∈ [0,2π],u Γ= f (φ).Уравнение Лапласа в полярных координатах имеет вид11urr + ur + 2 uφ= 0 .rrРешение этого уравнения будем искать методом Фурье (методомразделения переменных).Алгоритм метода Фурье, применимого в случае канонических областей для всех основных уравнений математической физики, можно описать тремя основными этапами.I.Первый этап состоит в нахождении частных решенийуравнения в частных производных.Частные решения ищутся в виде произведения функций от однойпеременной.