Контрольные задания и методические указания
Описание файла
PDF-файл из архива "Контрольные задания и методические указания", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "методы математической физики (ммф)" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "методы математической физики" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ“МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТРАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ”МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙФИЗИКИКОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ИМЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯДля студентов вечернего и заочного отделенияМОСКВА 20142Составитель: В.Ю. ПриходькоРедактор Н.С. ЧекалкинКонтрольные задания являются типовыми расчетами по методам математической физики, предназначенными для студентоввечернего отделения.
Типовые расчеты выполняются студентамив письменном виде и сдаются преподавателю до начала зачетнойсессии. Вопросы к зачетам и экзаменам могут быть уточнены идополнены лектором. В пособии излагаются краткая теория исправочный материал.Печатаются по решению редакционно-издательского советауниверситета.Рецензенты: Т.Н.Бобылева, В.П.Барашев МИРЭА, 2014Контрольные задания напечатаны в авторской редакцииФедеральное государственное бюджетное образовательноеучреждение высшего профессионального образования“Московский государственный технический университетрадиотехники, электроники и автоматики ”119454, Москва, пр.Вернадского, 783ВведениеОсновные темы по курсуметоды математической физики(дневное отделение)1. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка. Характеристическая система уравнений и первые интегралы.
Постановка и решение задач Коши.2. Классификация уравнений в частных производных второгопорядка. Характеристики и канонический вид уравнений.Общее решение уравнений гиперболического и параболического типов.3. Постановка и решение задач Коши для волнового уравненияи уравнения теплопроводности.4. Задачи Штурма-Лиувилля для дифференциальных уравнений второго порядка.5. Уравнения Лапласа и Пуассона. Постановка основных краевых задач и решения в канонических областях методом Фурье.6. Волновое уравнение Постановка и решение методом Фурьеосновных смешанных краевых задач для волнового уравнения.7.
Уравнение теплопроводности. Постановка и решение методом Фурье основных смешанных краевых задач для уравнения теплопроводности.Данный материал излагается студентам на лекциях и практических занятиях. От студента требуется успешное овладениематериалом по указанным темам, т.е. необходимо знать определения понятий, формулировки и доказательства основных теоремкурса. Студент также должен продемонстрировать умение решать задачи данного курса.В течение семестра по курсу методы математической физики проводится коллоквиум и выполняется типовой расчет.4КоллоквиумТема. «Уравнения в частных производных первого и второго порядка».Цель.
Проверить усвоение основных понятий и методов решенияуравнений в частных производных и задач Коши для этих уравнений.Содержание. На коллоквиуме даются теоретические вопросы потемам 1-4 данного пособия и задачи, аналогичные задачам 1,2типового расчета.Контрольная работаТема. «Смешанные краевые задачи».Цель. Проверить усвоение метода Фурье и метода собственныхфункций для решения уравнений параболического и гиперболического типов.Содержание. В контрольную работу входят задачи, идентичныезадачам 3-7 из типового расчета.По итогам обучения проводится экзамен (зачет).
Примерный вариант экзаменационного билета: билет состоит из 2-х частей. Первая часть соответствует содержанию коллоквиума, вторая часть охватывает задачи типового расчета 5- 7 .Теоретические вопросы к экзамену (зачету)1. Линейные уравнения в частных производных первого порядка:фазовые траектории, характеристическая система уравнений,первые интегралы, общее решение.2. Задача Коши для линейных уравнений в частных производныхпервого порядка: постановка задачи, теорема существования иединственности, алгоритм решения.53. Квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка: сведение к линейному однородному уравнению. Уравнение Хопфа.4.
Классификация уравнений в частных производных второго порядка: дискриминант, характеристики, каноническая форма.5. Вывод уравнения электрических колебаний в проводниках.Оператор Лорентца. Уравнение колебаний струны и мембраны.6. Вывод уравнения теплопроводности. Стационарное тепловоеполе. Уравнения Пуассона .7.
Постановка задачи Коши для волнового уравнения в безграничном пространстве. Формула Даламбера.8. Принцип Дюамеля .Запаздывающие потенциалы и решение неоднородных задач.9. Постановка задачи Коши и ее решение для уравнения теплопроводности в безграничном пространстве.10.Задачи Штурма-Лиувилля для уравнения второго порядка:постановка основных краевых условий, собственные числа исобственные функции, ряды Фурье-Стеклова по собственнымфункциям.11.Метод Фурье для одномерного волнового уравнения с условием Дирихле (однородная задача).12.Метод собственных функций для одномерного волновогоуравнения с условием Дирихле (неоднородная задача).13.Постановка смешанных краевых задач для уравнения теплопроводности.14.Принцип максимума и теорема единственности для уравнения теплопроводности15.Первая и вторая формулы Грина.16.Гармонические функции и их свойства.17.Доказать единственность решения задачи Дирихле и неединственность решения задачи Неймана для уравнения Лапласа.18.Решение задачи Дирихле для круга.19.Корректность постановки задач математической физики.Пример Адамара.6Основные типы задач по курсу методы математической физикиЧасть I.
Линейные и квазилинейные уравнения в частныхпроизводных первого и второго порядка. Задачи КошиЗадачи Части I составляют основу коллоквиума.Часть II. Краевые и смешанные краевые задачи математической физикиЗадачи Части II составляют содержание типового расчета. Типовой расчет выполняется каждым студентом в отдельной тетради в соответствии с назначенным ему номером варианта.Типовой расчетТема.
«Краевые задачи и смешанные краевые задачи для основных уравнений математической физики».Цель. Проверить умение применять различные математическиеметоды для решения физических задач.Типовой расчет выполняется каждым студентом в отдельной тетради в соответствии с назначенным ему номером варианта. Студент объясняет решения задач преподавателю, отвечает навопросы.
Типовой расчет также предъявляется в начале экзамена(зачета).Задача 1. Найти общее решение уравнения1. 3u xx + 8u xy + 4u yy = 0.2. u xx + 4u xy + 4u yy − u x − 2u y = 0.3. . u xx + 2u xy + u yy + u x + u y = 0.5. 3u xx + 4u xy + u yy = 0.4. 4u xx + 8u xy + 3u yy = 0.6. u xx − 2u xy + u yy + 2u x − 2u y = 0.7. u xx + 6u xy + 9u yy + u x + 3u y = 0.8. u xx + 4u xy + 3u yy = 0.9.
u xx − 6u xy + 9u yy − 2u x + 6u y = 0. 10. 3u xx + 16u xy + 16u yy = 0.711. 25u xx + 20u xy + 3u yy = 0. 12. u xx + 2u xy + u yy − 3u x − 3u y = 0.13. u xx + 8u xy + 12u yy = 0. 14. u xx − 4u xy + 4u yy + 3u x − 6u y = 0.15. 12u xx + 8u xy + u yy = 0. 16. 9u xx + 6u xy + u yy − 9u x − 3u y = 0.17. u xx + 8u xy + 16u yy − u x − 4u y = 0.
18. 3u xx + 20u xy + 25u yy = 0.19. 4u xx + 4u xy + u yy + 8u x + 4u y = 0. 2 0. u xx + 12u xy + 27u yy = 0.Задача 2. Найти собственные значения и собственные функциикраевых задач1. y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,0), y (−1) = y ′(0) = 0.2. y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,1), y ′(−1) = y ′(1) = 0.3.
y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,1), y ′(−1) = y (1) = 0.2y ′ + λy = 0, x ∈ (0,2), | y(0) |< ∞, y(2) = 0.x5. y ′′ + λy = 0, x ∈ (1 / 4,1 / 2), y (1 / 4) = y ′(1 / 2) = 0.6. y ′′ + λy = 0, x ∈ (0,2π ), y ( x) = y ( x + 2π ).7. y ′′ + λy = 0, x ∈ (1 / 4,1 / 2), y ′(1 / 4) = y ′(1 / 2) = 0.8. y ′′ + λy = 0, x ∈ (1 / 4,1 / 2), y (1 / 4) = y (1 / 2) = 0.29. y ′′ + y ′ + λy = 0, x ∈ (0,1), | y (0) |< ∞, y ′(1) = 0.x10. y ′′ + λy = 0, x ∈ (1,2), y (1) = y ′(2) = 0.11.
y ′′ + λy = 0, x ∈ (1,2), y ′(1) = y ′(2) = 0.12. y ′′ + λy = 0, x ∈ (1,2), y ′(1) = y (2) = 0.13. y ′′ + λy = 0, x ∈ (1,2), y (1) = y (2) = 0.14. y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,1), y (−1) = y (1) = 0.15. y ′′ + λy = 0, x ∈ (1 / 4,1 / 2), y ′(1 / 4) = y ′(1 / 2) = 0.16. y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,5), y (−1) = y ′(5) = 0.17. y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,5), y ′(−1) = y ′(5) = 0.18.
y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,5), y ′(−1) = y (5) = 0.19. y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,1), y (−1) = y (5) = 0.4. y ′′ +820. y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,1), y (−1) = y ′(1) = 0.Задача 3. Методом Фурье найти решение u(x,y) задачи Дирихледля уравнения Лапласа ∆u = 0 , внутри прямоугольника 0≤ x ≤a,0≤ y ≤bn1234567891011121314151617181920a11b12u(x,0)0π /2π /2π /2π /2π /2π /211112211123/213/22211111122113/23/213/22000x(x-1)000f(x)00000x(x-3/2)000sinπxsin 4πx x,0 ≤ x ≤ 1,f(x)= 2 − x,1 ≤ x ≤ 2..u(x,b)0000sin2x0x(x-1)000f(x)00sin 3πx000x(x-3/2)00u(0,y)000sin2y000y(y-1)000f(y)0000y(y-3/2)000u(a,y)sin πy0sin4y00000y(y-1)010f(y)0sin 2πy000y(y-3/2)09Задача4.Решить задачу Дирихле для уравнения ЛапласаΔU = 0 , внутри круга 0≤ρ ≤ l , U 0 -константа..4.U | ρ =l = U 0 (8 + 5 cos 2ϕ − sin 3ϕ ). .1U |ρ =3 = 27 sin 3ϕ + sin 2ϕ .91U |ρ = 4 = 1 − 16 cos 2ϕ + cos 3ϕ .64U |ρ =l = U 0 (5 + 2 cos ϕ − sin ϕ ) .5.U |ρ =l = U 0 cos2 2ϕ .6.U |ρ =l = U 0 sin 2 2ϕ .11U |ρ = 2 = 3 + cos 2ϕ + sin 3ϕ .24U | ρ =l = U 0ϕ (ϕ − 2π ) , 0≤ϕ ≤ 2π.1.2.3.7.8.9.10.11.12.13.14.ϕ,πϕ2U |ρ =l = U 0 2 ,πU |ρ =l = U 00≤ ϕ ≤ 2π.0≤ ϕ ≤ 2π.1U | ρ =4 = 1 + 8 cos ϕ + sin ϕ .2U |ρ = 6 = 1 + 6 cos ϕ + 36 sin 2ϕ .1U |ρ =l = U 0 2 + cos ϕ .lU |ρ =3 = 1 + 3 cos ϕ + 3 sin ϕ + 9 cos 2ϕ .16.U |ρ =5 = 1 + 5 cos ϕ + 25 cos 2ϕ + 125 cos 3ϕ .U |ρ =10 = 1 − 10 cos ϕ + 100 sin 2ϕ .17.U |ρ =3 = 1 − 9 cos 2ϕ + 81sin 4ϕ .18.U |ρ=l = U 0 (1 + φ ) ,15.0≤ϕ ≤ 2π.1019.U |ρ= l = U 0 (2π− φ )φ,0≤ϕ≤ 2π.20.U |ρ =l = U 0 (9 + 4 cosϕ − sin 3ϕ ).Задача 5.