Контрольные задания и методические указания (1024191)
Текст из файла
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ“МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТРАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ”МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙФИЗИКИКОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ИМЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯДля студентов вечернего и заочного отделенияМОСКВА 20142Составитель: В.Ю. ПриходькоРедактор Н.С. ЧекалкинКонтрольные задания являются типовыми расчетами по методам математической физики, предназначенными для студентоввечернего отделения.
Типовые расчеты выполняются студентамив письменном виде и сдаются преподавателю до начала зачетнойсессии. Вопросы к зачетам и экзаменам могут быть уточнены идополнены лектором. В пособии излагаются краткая теория исправочный материал.Печатаются по решению редакционно-издательского советауниверситета.Рецензенты: Т.Н.Бобылева, В.П.Барашев МИРЭА, 2014Контрольные задания напечатаны в авторской редакцииФедеральное государственное бюджетное образовательноеучреждение высшего профессионального образования“Московский государственный технический университетрадиотехники, электроники и автоматики ”119454, Москва, пр.Вернадского, 783ВведениеОсновные темы по курсуметоды математической физики(дневное отделение)1. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка. Характеристическая система уравнений и первые интегралы.
Постановка и решение задач Коши.2. Классификация уравнений в частных производных второгопорядка. Характеристики и канонический вид уравнений.Общее решение уравнений гиперболического и параболического типов.3. Постановка и решение задач Коши для волнового уравненияи уравнения теплопроводности.4. Задачи Штурма-Лиувилля для дифференциальных уравнений второго порядка.5. Уравнения Лапласа и Пуассона. Постановка основных краевых задач и решения в канонических областях методом Фурье.6. Волновое уравнение Постановка и решение методом Фурьеосновных смешанных краевых задач для волнового уравнения.7.
Уравнение теплопроводности. Постановка и решение методом Фурье основных смешанных краевых задач для уравнения теплопроводности.Данный материал излагается студентам на лекциях и практических занятиях. От студента требуется успешное овладениематериалом по указанным темам, т.е. необходимо знать определения понятий, формулировки и доказательства основных теоремкурса. Студент также должен продемонстрировать умение решать задачи данного курса.В течение семестра по курсу методы математической физики проводится коллоквиум и выполняется типовой расчет.4КоллоквиумТема. «Уравнения в частных производных первого и второго порядка».Цель.
Проверить усвоение основных понятий и методов решенияуравнений в частных производных и задач Коши для этих уравнений.Содержание. На коллоквиуме даются теоретические вопросы потемам 1-4 данного пособия и задачи, аналогичные задачам 1,2типового расчета.Контрольная работаТема. «Смешанные краевые задачи».Цель. Проверить усвоение метода Фурье и метода собственныхфункций для решения уравнений параболического и гиперболического типов.Содержание. В контрольную работу входят задачи, идентичныезадачам 3-7 из типового расчета.По итогам обучения проводится экзамен (зачет).
Примерный вариант экзаменационного билета: билет состоит из 2-х частей. Первая часть соответствует содержанию коллоквиума, вторая часть охватывает задачи типового расчета 5- 7 .Теоретические вопросы к экзамену (зачету)1. Линейные уравнения в частных производных первого порядка:фазовые траектории, характеристическая система уравнений,первые интегралы, общее решение.2. Задача Коши для линейных уравнений в частных производныхпервого порядка: постановка задачи, теорема существования иединственности, алгоритм решения.53. Квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка: сведение к линейному однородному уравнению. Уравнение Хопфа.4.
Классификация уравнений в частных производных второго порядка: дискриминант, характеристики, каноническая форма.5. Вывод уравнения электрических колебаний в проводниках.Оператор Лорентца. Уравнение колебаний струны и мембраны.6. Вывод уравнения теплопроводности. Стационарное тепловоеполе. Уравнения Пуассона .7.
Постановка задачи Коши для волнового уравнения в безграничном пространстве. Формула Даламбера.8. Принцип Дюамеля .Запаздывающие потенциалы и решение неоднородных задач.9. Постановка задачи Коши и ее решение для уравнения теплопроводности в безграничном пространстве.10.Задачи Штурма-Лиувилля для уравнения второго порядка:постановка основных краевых условий, собственные числа исобственные функции, ряды Фурье-Стеклова по собственнымфункциям.11.Метод Фурье для одномерного волнового уравнения с условием Дирихле (однородная задача).12.Метод собственных функций для одномерного волновогоуравнения с условием Дирихле (неоднородная задача).13.Постановка смешанных краевых задач для уравнения теплопроводности.14.Принцип максимума и теорема единственности для уравнения теплопроводности15.Первая и вторая формулы Грина.16.Гармонические функции и их свойства.17.Доказать единственность решения задачи Дирихле и неединственность решения задачи Неймана для уравнения Лапласа.18.Решение задачи Дирихле для круга.19.Корректность постановки задач математической физики.Пример Адамара.6Основные типы задач по курсу методы математической физикиЧасть I.
Линейные и квазилинейные уравнения в частныхпроизводных первого и второго порядка. Задачи КошиЗадачи Части I составляют основу коллоквиума.Часть II. Краевые и смешанные краевые задачи математической физикиЗадачи Части II составляют содержание типового расчета. Типовой расчет выполняется каждым студентом в отдельной тетради в соответствии с назначенным ему номером варианта.Типовой расчетТема.
«Краевые задачи и смешанные краевые задачи для основных уравнений математической физики».Цель. Проверить умение применять различные математическиеметоды для решения физических задач.Типовой расчет выполняется каждым студентом в отдельной тетради в соответствии с назначенным ему номером варианта. Студент объясняет решения задач преподавателю, отвечает навопросы.
Типовой расчет также предъявляется в начале экзамена(зачета).Задача 1. Найти общее решение уравнения1. 3u xx + 8u xy + 4u yy = 0.2. u xx + 4u xy + 4u yy − u x − 2u y = 0.3. . u xx + 2u xy + u yy + u x + u y = 0.5. 3u xx + 4u xy + u yy = 0.4. 4u xx + 8u xy + 3u yy = 0.6. u xx − 2u xy + u yy + 2u x − 2u y = 0.7. u xx + 6u xy + 9u yy + u x + 3u y = 0.8. u xx + 4u xy + 3u yy = 0.9.
u xx − 6u xy + 9u yy − 2u x + 6u y = 0. 10. 3u xx + 16u xy + 16u yy = 0.711. 25u xx + 20u xy + 3u yy = 0. 12. u xx + 2u xy + u yy − 3u x − 3u y = 0.13. u xx + 8u xy + 12u yy = 0. 14. u xx − 4u xy + 4u yy + 3u x − 6u y = 0.15. 12u xx + 8u xy + u yy = 0. 16. 9u xx + 6u xy + u yy − 9u x − 3u y = 0.17. u xx + 8u xy + 16u yy − u x − 4u y = 0.
18. 3u xx + 20u xy + 25u yy = 0.19. 4u xx + 4u xy + u yy + 8u x + 4u y = 0. 2 0. u xx + 12u xy + 27u yy = 0.Задача 2. Найти собственные значения и собственные функциикраевых задач1. y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,0), y (−1) = y ′(0) = 0.2. y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,1), y ′(−1) = y ′(1) = 0.3.
y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,1), y ′(−1) = y (1) = 0.2y ′ + λy = 0, x ∈ (0,2), | y(0) |< ∞, y(2) = 0.x5. y ′′ + λy = 0, x ∈ (1 / 4,1 / 2), y (1 / 4) = y ′(1 / 2) = 0.6. y ′′ + λy = 0, x ∈ (0,2π ), y ( x) = y ( x + 2π ).7. y ′′ + λy = 0, x ∈ (1 / 4,1 / 2), y ′(1 / 4) = y ′(1 / 2) = 0.8. y ′′ + λy = 0, x ∈ (1 / 4,1 / 2), y (1 / 4) = y (1 / 2) = 0.29. y ′′ + y ′ + λy = 0, x ∈ (0,1), | y (0) |< ∞, y ′(1) = 0.x10. y ′′ + λy = 0, x ∈ (1,2), y (1) = y ′(2) = 0.11.
y ′′ + λy = 0, x ∈ (1,2), y ′(1) = y ′(2) = 0.12. y ′′ + λy = 0, x ∈ (1,2), y ′(1) = y (2) = 0.13. y ′′ + λy = 0, x ∈ (1,2), y (1) = y (2) = 0.14. y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,1), y (−1) = y (1) = 0.15. y ′′ + λy = 0, x ∈ (1 / 4,1 / 2), y ′(1 / 4) = y ′(1 / 2) = 0.16. y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,5), y (−1) = y ′(5) = 0.17. y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,5), y ′(−1) = y ′(5) = 0.18.
y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,5), y ′(−1) = y (5) = 0.19. y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,1), y (−1) = y (5) = 0.4. y ′′ +820. y ′′ + λy = 0, x ∈ (−1,1), y (−1) = y ′(1) = 0.Задача 3. Методом Фурье найти решение u(x,y) задачи Дирихледля уравнения Лапласа ∆u = 0 , внутри прямоугольника 0≤ x ≤a,0≤ y ≤bn1234567891011121314151617181920a11b12u(x,0)0π /2π /2π /2π /2π /2π /211112211123/213/22211111122113/23/213/22000x(x-1)000f(x)00000x(x-3/2)000sinπxsin 4πx x,0 ≤ x ≤ 1,f(x)= 2 − x,1 ≤ x ≤ 2..u(x,b)0000sin2x0x(x-1)000f(x)00sin 3πx000x(x-3/2)00u(0,y)000sin2y000y(y-1)000f(y)0000y(y-3/2)000u(a,y)sin πy0sin4y00000y(y-1)010f(y)0sin 2πy000y(y-3/2)09Задача4.Решить задачу Дирихле для уравнения ЛапласаΔU = 0 , внутри круга 0≤ρ ≤ l , U 0 -константа..4.U | ρ =l = U 0 (8 + 5 cos 2ϕ − sin 3ϕ ). .1U |ρ =3 = 27 sin 3ϕ + sin 2ϕ .91U |ρ = 4 = 1 − 16 cos 2ϕ + cos 3ϕ .64U |ρ =l = U 0 (5 + 2 cos ϕ − sin ϕ ) .5.U |ρ =l = U 0 cos2 2ϕ .6.U |ρ =l = U 0 sin 2 2ϕ .11U |ρ = 2 = 3 + cos 2ϕ + sin 3ϕ .24U | ρ =l = U 0ϕ (ϕ − 2π ) , 0≤ϕ ≤ 2π.1.2.3.7.8.9.10.11.12.13.14.ϕ,πϕ2U |ρ =l = U 0 2 ,πU |ρ =l = U 00≤ ϕ ≤ 2π.0≤ ϕ ≤ 2π.1U | ρ =4 = 1 + 8 cos ϕ + sin ϕ .2U |ρ = 6 = 1 + 6 cos ϕ + 36 sin 2ϕ .1U |ρ =l = U 0 2 + cos ϕ .lU |ρ =3 = 1 + 3 cos ϕ + 3 sin ϕ + 9 cos 2ϕ .16.U |ρ =5 = 1 + 5 cos ϕ + 25 cos 2ϕ + 125 cos 3ϕ .U |ρ =10 = 1 − 10 cos ϕ + 100 sin 2ϕ .17.U |ρ =3 = 1 − 9 cos 2ϕ + 81sin 4ϕ .18.U |ρ=l = U 0 (1 + φ ) ,15.0≤ϕ ≤ 2π.1019.U |ρ= l = U 0 (2π− φ )φ,0≤ϕ≤ 2π.20.U |ρ =l = U 0 (9 + 4 cosϕ − sin 3ϕ ).Задача 5.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
