Контрольные задания и методические указания, страница 2

Найти решение смешанной краевой задачи для волнового уравнения с заданными начальными условиями∂ 2u2=∂ 2u2+ f ( x, t ), 0 < x < l , u ( x,0) = φ( x), ut ( x,0) = ψ( x)∂t∂xи нулевыми краевыми условиями на концах отрезка x=0, x= l . Втаблице введено обозначение x,0 ≤ x ≤ l / 2,f( x )= l − x, l / 2 ≤ x ≤ l.n12345678910111213141516171819lϕ (x )π /2f (x )0sin π x/2005sin5x/20f (x )111π /2πππππ1111112l1cos3x0cos π x/200sin5 π x/20sin π x/2cos7 π x0ψ (x )0f(x,t)x=0sin4tsin2x u(0,t)=0exp3tcosπxu x (0, t ) = 00sin7 π x/2 u(0,t)=0cos3 π x/2 cos5 π x/2 u x (0, t ) = 0f ( x)cos3tsin4x u(0,t)=00cosxsin2t u x (0, t ) = 00cos5tsinx/2u(0,t)=0cos5x/2 exptcosx/2 u x (0, t ) = 00costsin2x u(0,t)=005exptu x (0, t ) = 0sin π x/2 sin5 π x/2 u(0,t)=00cos5 π x/2 u x (0, t ) = 0sin π xx(x-1)u(0,t)=05cos3 π xu x (0, t ) = 00sin π x/2 u(0,t)=0x(x-1)costsin π x u(0,t)=00f(x)exp3t u(0,t)=00cos5tu x (0, t ) = 0sin π x/20 sin5 π x/2 u(0,t)=0x= lu(l,t)=0u x (l , t ) = 0u x (l , t ) = 0u(l,t)=0u(l,t)=0u x (l , t ) = 0u x (l , t ) = 0u(l,t)=0u(l,t)=0u x (l , t ) = 0u x (l , t ) = 0u(l,t)=0u(l,t)=0u x (l , t ) = 0u x (l , t ) = 0u(l,t)=0u(l,t)=0u x (l , t ) = 0u x (l , t ) = 011cos5 π x/2 020 1cos π x/2u x (0, t ) = 0u(l,t)=0Задача 6.

Найти решение смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности заданными начальными условиями2∂u2∂ u=a+ f ( x, t ), 0 < x < l , u ( x,0) = ϕ ( x),∂t∂x 2и нулевыми краевыми условиями на концах отрезка x=0, x= l .В таблице введено обозначение x,0 ≤ x ≤ l / 2,f( x )= l − x, l / 2 ≤ x ≤ l.n123456789101112131415161718aπ /2 211/2132ππ /2 45π11167ππ 82911/811/411/311/21122l3lϕ ( x)f(x,t)sintsin2xcos3tsintsin π x/2exptcosx/2cos4tsin4xcosxsin2tx=0f ( x)u(0,t)=0cosπxu x (0, t ) = 0sin7 π x/2u(0,t)=0cos3x/2u x (0, t ) = 0f ( x)u(0,t)=0cos4xu x (0, t ) = 0sin5 π x/2 et sin π x/2 u(0,t)=0cos5 π x/2 et cos π x/2 u x (0, t ) = 0f ( x)costsin2x u(0,t)=0cos5x5exptu x (0, t ) = 0sin7 π x/2 sin π x/2u(0,t)=0cos3 π x/2 e5t cos π x/2 u x (0, t ) = 0sin7 π xx(x-1)u(0,t)=0cos3 π xcostcos π x u x (0, t ) = 0sin5 π x/2 et sin π x/2 u(0,t)=0x(x-1)cos2t sin π x u(0,t)=0sin4 π xf(x)cos2t u(0,t)=0cos2 π xcos4tu x (0, t ) = 0x= lu(l,t)=0u x (l , t ) = 0u x (l , t ) = 0u(l,t)=0u(l,t)=0u x (l , t ) = 0u x (l , t ) = 0u(l,t)=0u(l,t)=0u x (l , t ) = 0u x (l , t ) = 0u(l,t)=0u(l,t)=0u x (l , t ) = 0u x (l , t ) = 0u(l,t)=0u(l,t)=0u x (l , t ) = 01219201145sin5 π x/2cos5 π x/2sin π x/2u(0,t)=0et cos π x/2 u x (0, t ) = 0u x (l , t ) = 0u(l,t)=0Основные определения и теоремы, а также разбор решенийзадач по основным темам приведены в .следующих разделах.1.

Линейные уравнения в частных производных первого порядкаВ курсе обыкновенных дифференциальных уравнений(ОДУ) изучаются так называемые автономные дифференциальные уравнения. Напомним некоторые понятия, необходимые намв дальнейшем. Пусть t - независимая переменная, t ∈ E ⊂ R1 ;x(t) = (x1, x2 ,..,xn ) - неизвестная вектор-функция; система автономных ОДУ первого порядка имеет вид:dx= f ( x ), f = ( f1, f 2 ,..., f n ).(1)dtили в развернутом виде dx1 dt = f1 ( x ) dx2 = f ( x )2 dt......................... dxn = f ( x )n dtОтметим, что f ( x ) в (1) не содержит в явном виде t .Определение 1.

Решение уравнения (1) x = ϕ (t ) называетсяфазовой траекторией в фазовом пространстве Rxn . Интегральной13кривой уравнения (1) называется линия в (n + 1) -мерном пространстве Rxn,+t 1 с координатами (t , x1, x2 ,..., xn ) .Фазовая траектория есть проекция интегральной кривой на Rxnпараллельно оси t . Этот факт, в двумерном пространстве, иллюстрирует рис.1.Рис.1Определение 2. Первым интегралом уравнения (1) называется функция u ( x ) постоянная вдоль каждой траектории уравнения (1), то есть еслиx = ϕ (t ) - решение (1), тоu (ϕ (t )) ≡ const ∀t ∈ E .Первые интегралы в физических задачах выражают законысохранения.Теорема 1. Для того, чтобы u ( x ) была первым интегралом(1) необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла линейному однородному уравнению в частных производных первого порядкаn ∂u ( x )(2)∑ ∂x fi ( x ) = 0 .i =1i14Теорема 2.

Пусть f (a ) ≠ 0 (точка a - не положение равновесия (1)). Тогда ∃U (a ) где существует (n − 1) независимых первых интегралов (u1 ( x ), u2 ( x ),..., un −1 ( x )) .Определение 3. Любая функция φ ( x ) ∈ C1 обращающаяуравнение (2) в тождество называется его решением, а поверхность u = ϕ ( x ) называется интегральной поверхностью уравнения(2).Определение 4. Система уравнений (1) называется характеристической для уравнения (2).Теорема 3. Пусть U (a ) − окрестность точки x = a , где a неявляется положением равновесия. Тогда в U (a ) общее решениеуравнения (2) имеет вид:u ( x ) = F (u1 ( x ), u2 ( x ),..., un−1 ( x )),где ui ( x ) независимые первые интегралы (1); F − произвольнаягладкая функция от (n − 1) переменных.Пример1. Найти общее решение уравнения∂u∂u+V= 0, V > 0, V = const .∂x1∂x 2Решение.

Характеристическая система имеет вид: dx1 x1 = t + c1 dt = 1⇔,dxx=Vt+c2 2 =V 2 dtt = x1 − c1 , x2 = V ( x1 − c1 ) + c2 = Vx1 − Vc1 + c2 , u1 ( x ) = x2 − Vx1 = const-первый интеграл характеристической системы. Общее решение:u ( x1, x2 ) = F ( x2 − Vx1 ) , где F- произвольная гладкая функция.Замечание. Если x1 = t − время, x2 = x − ось x декартовой системы координат, то решение F ( x − Vt ) называется бегущей слеванаправо волной; V − скорость распространения волны.15Рассмотрим наиболее простой случай для n = 2, x1 = x, x2 = y,u ( x1, x2 ) = z ( x, y ) .

В этом случае функция z(x,y) описывает уравнение поверхности в трехмерном пространстве. Задача Коши ставится так: для уравнения∂z∂za( x, y ) + b( x, y ) + c( x, y )z = f ( x, t ),(3)∂x∂yнайти интегральную поверхность, проходящую через заданную впространстве R3 кривую Г .

Если кривую Г задать в параметрическом виде: Г = {( x, y.z ) x = ϕ (S ), y = ψ (S ), z = h(S ), S ∈ [S1, S 2 ]}, тоz ( x, y ) ( x, y )∈γ = h(S ),(4)где γ − проекция кривой Г на плоскость ( x, y ) . Условие (4) естьначальные данные для задачи Коши.Имеет место теорема существования и единственности задачи Коши (3), (4):Теорема 4. Пусть выполняются следующие три условия:10.

Функции a, b, c и f ∈ C1 (D ), D ⊂ R 2 ;20. a ≠ 0, b ≠ 0, ∀( x, y ) ∈ D .30. γ не касается характеристик однородного уравнения (3).Тогда задача Коши (3), (4) однозначно разрешима в некоторойокрестности кривой γ .2. Квазилинейные уравнения в частных производных первогопорядкаВ квазилинейных уравнениях, в отличие от линейных уравнений, коэффициенты при производных могут быть функцияминеизвестной, но производные всегда линейныn∂u(5)∑ ai ( x , u ) ∂x = b( x , u ) .i =1iЛемма 1.

Пусть в уравнении (5)16a1 ( x , u ), a2 ( x , u ),.., an ( x , u ), b( x , u ) ∈ C1 (D ) ⊂ Rxn,+u1, ai ≠ 0 в D . Тогдауравнение (5) можно свести к линейному однородному уравнению в частных производных первого порядка.Доказательство. Будем искать функцию W ( x1, x2 ,..., xn , u ) такую, что если u ( x ) решение (5), тоW ( x1, x2 ,..., xn , u ( x1, x2 ,..., xn )) ≡ 0.Напомним, что уравнение W ( x , u ) = 0 определяет неявную функцию u = u ( x ) . По правилу дифференцирования неявной функцииимеем:∂W∂x∂W ∂W ∂u∂u+=0⇔=− i .∂W∂xi ∂u ∂xi∂xi∂uПодставляя эту производную в (5) получаем:∂Wn ∂xi∑ − ai ( x , u ) ∂W − b( x , u ) = 0 ⇔1 ∂un∂W∂W+ b( x, u )=0(6)∂x∂u1iУравнение (6) – линейное однородное уравнение от (n + 1) переменных ( x , u ) типа уравнения (2) раздела 1.

Лемма доказана.Следствие 1. Характеристическая система для уравнения (6)имеет вид:∑ ai ( x , u )17 dx1 dt = a1 ( x , u ) dx2 = a ( x , u )2 dt(7)......................... dx n = an ( x , u ) dt du = b( x , u ) dtСледствие 2. Пусть V1 ( x , u ),V2 ( x , u ),...,Vn ( x , u ) − первые интегралы (7). Тогда всякое решение уравнения (5) находится изуравненияF (V1 ( x , u ),V2 ( x , u ),...,Vn ( x , u )) = 0,где F ∈ C1- любая гладкая функция.Пример 2.

Найти общее решение уравнения Хопфа∂u∂u+u= 0.∂x1∂x2Решение. Характеристическая система имеет вид: dx1 dt = 1 x1 = t + c1t = x1 − c1 dx2= u ⇔  x2 = c3t + c2 ⇔  x2 = u ( x1 − c1 ) + c2 . dtu = c x − ux = const 213 du dt = 0Первые интегралы V1 = u; V2 = x2 − ux1 . Любое решение находимиз уравненияF (u, x2 − x1u ) = 0.3.

Классификация квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.18Пусть независимые переменные ( x, y ) ∈ D ⊂ R 2 ; u ( x, y ) - неизвестная функция. Квазилинейным дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка называется линейное относительно всех производных второго порядка уравнениеa( x, y )u xx + 2b( x, y )u xy + c( x, y )u yy + F ( x, y, u , u x , u y ) = 0 .(8)Основная идея поиска общего решения уравнения (1) состоит в том , что в некоторой системе координат уравнение приметболее простой вид. В качестве таких координат можно взять такназываемые характеристики уравнения, определение которых дадим ниже. Прежде всего приведем формулы, по которым преобразуются коэффициенты a, b, c при произвольной, неособенной,дважды дифференцируемой замене переменных( x, y ), η= η(x, y ).(9)ξ= ξПоложим: u ( x(ξ, η), y (ξ, η)) = v(ξ, η) и сделаем заменуu x = vξξx + vηηx ,u y = vξξy + vηηy ,u xx = vξξξ2x + 2vξηξx ηx + vηηη2x + vξξxx + vηηxx((10))u xy = vξξξx ξy + vξηξx ηy + ξy ηx + vηηηx ηy + vξξxy + vηηxyu yy = vξξξ2y + 2vξηξy ηy + vηηη2y + vξξyy + vηηyyВ новых переменных получим новое уравнение, которое будет иметь вид(11)a1vξξ+ 2b1vξη+ c1vηη+ F1 ξ,η, v, v x , v y = 0 ,()a1 = aξ2x + 2bξx ξy + cξ2y()b1 = aξx ηx + b ξx ηy + ηx ξy + cξx ηyc1 = aη2x + 2bηx ηy + cη2yВыберем (ξ, η) так, чтобы a1 = 0 .Пусть ξ= ( x, y ) − какое-нибудь частное решение уравнения вчастных производных первого порядка:19az x2 + 2bz x z y + cz 2y = 0(12)Обыкновенное дифференциальное уравнениеady 2 − 2bdxdy + cdx2 = 0(13)называется характеристическим, а его интегралы – характеристиками уравнения (8).Лемма.

А) Если z = φ ( x, y ) − решение (12), то φ( x, y ) = c −есть интеграл (13). В) Обратно, если φ ( x, y ) = c − интеграл (13),то z = φ ( x, y ) удовлетворяет (12).Доказательство. А) Соотношение φ ( x, y ) = c задает функциюφ( x , y )dyy = f ( x, c ) для которой.=− xdxφy ( x, y )y = f ( x ,c )Подставим это выражение в уравнение (13)2 2φφdydy xx + 2ba  − 2b + c = a+ c = 0 φ y φy dx dx ⇒ φ( x, y ) = c − есть интеграл (13).В) Пусть ϕ ( x, y ) = c − интеграл (13). ∀( x0 , y0 ) проведем интегральную кривую (13): ϕ ( x0 , y0 ) = c0 и y = f ( x, c0 ) ⇒ y0 = f ( x0 , c ) .Для всех точек кривой имеем:2 2φφdy dy xx + 2ba  − 2b + c = a+ c = 0 .dxdxφφ y  yПолагая здесь x = x0 получим:aφ 2x ( x0 , y0 ) + 2b φx ( x0 , y0 ) φy ( x0 , y0 ) + cφ 2y ( x0 , y0 ) = 0.