Контрольные задания и методические указания, страница 5

Пусть для некоторого фиксирован5πного m имеет место равенство ω= m . В этом случае можно3использовать формулу (18) предыдущего раздела. Имеется и другой метод, основанный на методе подбора частного решения изтеории дифференциальных уравнений. Напомним этот метод.Найдем частное решение (5) методом подбора:Tmчаст (t ) = t (Dm cos ωt + Em sin ωt )′Tmчаст (t ) = Dm cos ωt + Em sin ωt + t (− ωDm cos ωt + ωEm sin ωt )″Tmчаст (t ) = −ωDm cos ωt + ωEm sin ωt + t − ω 2 Dm cos ωt + ω 2 Em sin ωt +()+ ω (Em cos ωt + Dm sin ωt )Подставим эти выражения в ОДУ (5)− ωDm sin ωt + ωEm cos ωt + t − ω 2 Dm cos ωt − ω 2 Em sin ωt +()+ ω (Em cos ωt − Dm sin ωt ) + β m2 t (Dm cos ωt + Em sin ωt ) = Cm sin ωt()2ωEm cos ωt − 2ωDm sin ωt + t − ω 2 Dm cos ωt − ω 2 Em sin ωt ++ β m2 t (Dm cos ωt + Em sin ωt ) = Cm sin ωt2 Emω = 0− 2 Dmω = CmC⇒ Dm = − m ; Em = 0 .2ωСледовательно, частное решение неоднородного ДУ (5) равно:tCTmчаст = − m cos ωt2ωТогда общее решение (5) будет выглядеть следующим образом:5mπ5mπ tCmTm = Tmо + Tmчаст = Am cost + Bm sint−cos ωt332ω∂Tm5mπ5mπ5mπ5mπ tCm=−t sintAm +Bm costω sin ωt −∂t33332ωC− m cos ωt2ω41Используем начальные условия:CmT(0)0A0 = Am==−mm2ωT ′ (0) = 0 = 5mπ B − Cmm m32ω Am = 03CmB= m 10mπωВ итоге найдена резонансная гармоника:5 mπ C mmπx 3Cm(8)um = sint −tcos ωt  sin2ω3 10mπω 3Замечание: в случае резонанса методом подбора мы нашлитолько одну гармонику номера m − это резонансная гармоника.Все остальные гармоники – нерезонансные.

Для них справедливрезультат предыдущего первого пункта. Заметим, что в формуледля общего решения m − ю гармонику ряда (7) следует заменитьна полученную (8) резонансную гармонику.∞Cn3ω  5πn πnxu ( x, t ) = ∑ (1 − δmn )t−tsinωsinsin+25πn33nn =1 5π2 −ω 3 5πmCπmx 3Cm+sint − t m cos ωt  sin2ω310mπω 3Получается, что на резонансной гармонике мы имеем линейнуюзависимость амплитуды от времени, т.е. при t → ∞ амплитудаустремляется в бесконечность.

В реальных физических системахвсегда имеется трение и неограниченный рост по времени неимеет места.Рассмотрим однородное волновое уравнение с неоднородными граничными условиями. Пусть дана смешанная краевая задачаutt = a 2u xx , x ∈ (0, l ), t > 0 ;u ( x,0) = 0, ut ( x,0) = 0 ; u (0, t ) = μ1 (t ), u (l , t ) = μ2 (t ) .42Эту задачу, путем замены неизвестной, можно свести к изученной выше задаче с нулевыми краевыми условиями.Представим искомое решение в видеu = V +W ,где функцию W ( x, t ) выберем таким образом, чтобы дляV = u − W получить задачу с однородными граничными условиями. Легко проверить, что функцияxl−xW = μ2 (t ) +μ1 (t )llудовлетворяет краевым условиям W (l ) = µ 2 , W (0 ) = µ1.Осуществив эту замену получаем смешанную краевую задачу снулевыми краевыми условиямиVtt = a 2Vxx − Wtt ,V ( x,0 ) = −W ( x,0), Vt ( x,0) = −Wt ( x,0 ); V (0, t ) = 0, V (l , t ) = 0.Библиографический список.1.

Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математическойфизики. – М.: Наука, 1972.-735 с.2. Ефимов А.В., Поспелов А.С. и др. Сборник задач по математике для втузов. т.3. М.: Издательство физ.-мат. лит.,2003.-574с.3. Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. –М.: Наука, 1985.-310 с.Содержание:Введение3Типовой расчет61. Линейные уравнения в частных производных первого порядка122. Квазилинейные уравнения в частных производных первогопорядка15433.

Классификация квазилинейных уравнений в частных производных второго порядка. Постановка задачи Коши.174. Задача Штурма-Лиувилля225. Уравнение Лапласа и Пуассона266. Смешанные краевые задачи для волнового уравнения34.