Кратные и криволинейные интегралы, страница 3

Тогда, если средний палец направлен в глаз, товращение от большого пальца к указательному будет по часовой стрелке, то78есть пара направлений XY имеет правую ориентацию. Рассуждая поаналогии, если смотреть на левую четвёрку XYZT так, чтобы ОТ былонаправлено в глаз, следует ожидать , что тройка XYZ будет иметь правуюориентацию. Поскольку так оно и есть (большой палец правой рукинаправлен вправо, указательный палец – от нас, а средний палец - вверх), точетвёрка XYZT, а вместе с ней и четырёхмерный куб имеют левуюориентацию.Заметим, что условие согласования трёхмерных ориентацийчетырёхмерного куба состоит в том, что для общей двумерной грани двухсмежных трёхмерных граней их одинаковые трёхмерные ориентации(например, левые) индуцируют (порождают) две противоположныеориентации для этой общей двумерной грани.

Читателю рекомендуетсянарисовать четырёхмерный куб на большом листе бумаги и проверить этотфакт.§2Ориентированная площадь и ориентированный объём.Определение. Множество концов векторов вида O1 + x ⋅ a + y ⋅ b , где (0 ≤ x ≤ 1) и(0 ≤ y ≤ 1) при условии, что начала векторовa и b совпадают с концом вектора O1 ,называется параллелограммом, натянутым на вектора a и b .Аналогично, множество концов векторов вида O1 + x ⋅ a + y ⋅ b + z ⋅ c , где (0 ≤ x ≤ 1) ,(0 ≤ y ≤ 1) и (0 ≤ z ≤ 1) при условии, что начала векторов a, b и c совпадают с концомвектора O1 , называется параллелепипедом, натянутым на вектора a , b и c .Определение. Ориентированная площадь параллелограмма, натянутого на вектора a иb есть число (как положительное так и отрицательное), причём модуль (абсолютнаявеличина этого числа) есть обычная площадь параллелограмма.

Знак этого числаопределяется сравнением ориентации пары векторов a и b с ориентацией парыбазисных векторов i и j плоскости векторов a и b (для простоты можно считать, чтоi и j образуют декартов базис, то есть эти вектора имеют единичную длину и взаимноортогональны (перпендикулярны)). Если ориентация пары a и b совпадает сориентацией пары i и j , то ориентированная площадь положительна, если несовпадают, то ориентированная площадь отрицательна.Аналогично определяется ориентированный объём параллелепипеда, натянутого натройку векторов a , b и c : это есть число, модуль которого – обычный объём этогопараллелепипеда, а знак числа определяется по совпадению ориентаций тройкивекторов a , b и c с ориентацией тройки базисных векторов пространства i , j и k .89Определение.

Грассманово произведение a ∧ b двух векторов есть операция,обладающая следующими свойствами.Эта операция линейна относительно своих сомножителей:1.k a + lb ∧ c = k a ∧ c + l b ∧ c .2.Эта операция антикоммутативна относительно своих сомножителей:a ∧ b = −b ∧ a . Следствие антикоммутативности: a ∧ a = 0 .Нетрудно видеть, что ориентированная площадь обладает свойствами грассмановапроизведения. Свойство 1 может быть проиллюстрировано рисунком.()( ) ( )Далее, a ∧ b = −b ∧ a , поскольку ориентация пары a, b противоположна ориентациипары b, a .Рассмотрим грассманово произведение двух векторов, разложенных по векторамi и j декартова базиса: a = a x i + a y j и b = bx i + b y j .Видно, что:a ∧ b = a x i + a y j ∧ bx i + b y j = a x bx i ∧ i + a x b j i ∧ j + a y b x j ∧ i + a y b y j ∧ j =() ( ) ( )= 0 + a b (i ∧ j )+ a b (− (i ∧ j ))+ 0 = (a b − a b )(i ∧ j ).x y) (y xx y( )()y xВ данном случае использованы свойства линейности и антикоммутативностиграссманова произведения и его следствие: x ≡ i ∧ i = − i ∧ i = − x; 2 x = 0; x = 0; j ∧ j = 0.ax a y- определитель второгоОтсюда видно, что a ∧ b = det a, b ⋅ i ∧ j , где det a, b =bx b y( )( )( )( )порядка.

Рассматривая a ∧ b как именованную ориентированную площадь, а величинуi ∧ j как некоторую единицу измерения этой площади, видим, что определитель как( ) ((ai ∧∧ bj )) .отвлечённое число есть отношение именованных площадей: det a, b =Задача. Проверить формулу вычисления определителя второго порядканепосредственно на декартовой плоскости.Решение вытекает из рисунка.910( )11Именно: det a, b = (a x + bx )(a y + b y ) − 2bx a y − 2 ⋅ ⋅ (a x a y ) − 2 ⋅ ⋅ (bx b y ) = a x b y − a y bx .22Из изложенного выше вытекает, что разница между определителем и грассмановымпроизведением примерно такая же, как между отвлечённым и именованным числом.

Вданном случае грассманово произведение играет роль единицы измерения. Само посебе грассманово произведение не число и не вектор, а некий объект, называемый влитературе бивектором.В пространстве (аналогично случаю плоскости) можно также ввести грассмановопроизведение трёх векторов (тривектор), обладающее свойствами линейности иантикоммутативности по каждой паре сомножителей. Аналогично случаю плоскости,можно показать, что: a ∧ b ∧ c = det a, b, c, i ∧ j ∧ k . Иначе говоря, определительтретьего порядка как отвлечённое число есть отношение пропорциональных междусобой тривекторов a ∧ b ∧ c и i ∧ j ∧ k .()()§ 3 Двукратный интеграл как ориентированный объём кривоповерхностного цилиндра.bПо аналогии с обычным определённым интегралом∫ f (x ) dx ≡ [ ∫ ]f (x ) dx дляaa ,bзнакоопределённой подинтегральной функции f ( x ) ≥ 0 или f ( x ) ≤ 0 можно ввестипонятие двукратного интеграла для знакоопределённой подинтегральной функции двухпеременных f ( x, y ) ≥ 0 или f ( x, y ) ≤ 0 как ориентированный объёмкривоповерхностного цилиндра, ограничивающего объём вида:V : (( x, y ) ∈ S ; z ∈ [0, f ( x, y )]) .

Здесь ∈ означает символ принадлежности точки области,то есть множеству точек. В обоих случаях (плоскости и пространства) интеграл отпроизвольной (знакопеременной) функции можно определить как алгебраическуюсумму интегралов по областям, составляющим всю область интегрирования, в каждойиз которых знак подинтегральной функции определён.Алгоритм вычисления двукратного интеграла следующий.

Определим его дляобластей специального вида: S : (a ≤ x ≤ b ), (ϕ1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x )) .1.Выбираем точки разбиения [x1 , x2 ,… xk , xk +1 ,… xm−1 ] и [ y1 , y 2 ,… yl , yl +1 ,… y n−1 ]прямоугольной области(a = x0 = min(x ), b = xm = max(x )), ⎛⎜ c = y0 = min(ϕ1 (x )), d = max(ϕ 2 (x ))⎞⎟ . При( a ≤ x ≤b )( a ≤ x ≤b )⎝⎠это точки разбиения упорядочены по возрастания их индексов, то есть:(a = x1 < x2 < … < xk < xk +1 < … < xm−1 < xm = b ) и(c = y1 < y2 < … < yl < yl +1 < … < y n−1 < xn = d ) .2.На каждом элементе разбиения [Δxk = [xk , xk +1 ], Δyl = [ yl , yl +1 ]] выбираем точку(~xk , ~yl ) такую, чтобы она лежала внутри этого элемента разбиения, то есть,чтобы выполнялись неравенства: (xk ≤ ~xk ≤ xk +1 ) и ( yl ≤ ~yl ≤ xl +1 ) .10113.Вычисляем интегральную сумму:k = m −1 l = n −1~∑ ∑ f (~x , ~y )Δx Δyk =0l =0klkl.

Здесь~~ ~f ( x k , y l ) = f (~xk , ~yl ) , если элемент разбиения имеет с областью~интегрирования S непустое пересечение и f (~x ,~y ) = 0 в противном случае.klКроме того, Δxk = xk +1 − xk и Δyl = yl +1 − yl . На самом деле в данном случаеинтересующий нас цилиндр, объём которого мы ищем, заменяется нанекоторую ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольных столбиков –прямоугольных призм.

При этом основание каждого столбика есть элемент~разбиения [Δxk , Δyl ], а высота столбика – есть f (~xk , ~yl ) , то есть, грубоговоря, расстояние от плоскости XOY до графика подинтегральной функцииz = f (x, y ) вдоль прямой, параметрическое уравнение которой имеетxk⎧x = ~⎪вид: ⎨ y = ~y k . Интегральная сумма есть объём этой ступенчатой фигуры,⎪ z =t⎩4.который при достаточно мелком разбиении области интегрирования можносчитать приближённо равным ориентированному объёму .Определим мелкость разбиения ρ как максимальную длину сторонэлементов разбиения Δxk , Δyl по всем точкам разбиения, то есть по всем kи l .

Тогда, очевидно, двойной интегралf ( x, y ) ⋅ dx ⋅ dy∫∫( )какSориентированный объём кривоповерхностного цилиндра следует определитькак предел интегральных сумм при мелкости разбиения, стремящейся кнулю. Для того, чтобы указанное определение было корректным, этот пределне должен зависеть (а) от выбора точек разбиения и (б) от выбора точек(аргументов) вычисления подинтегральной функции (~xk , ~yl ) внутри элементаразбиения [Δxk , Δyl ].1112§4Достаточные условия существования двойного интеграла.Эти условия следующие: (1) непрерывность подинтегральной функции наобласти интегрирования, (2) компактность области интегрирования, то есть еёограниченность и замкнутость относительно операции предела и (3) измеримостьобласти интегрирования, то есть возможность покрытия границы этой областимногоугольником сколь угодно малой площади.

При выполнении этих условий пределинтегральных сумм существует и не зависит от выбора точек (сетки) разбиения областиинтегрирования и выбора течек – аргументов подинтегральной функции внутриэлементов разбиения. Рассмотрим эти условия более подробно.1.Непрерывность функции есть коммутативность (перестановочность)оператора предела и оператора функции. Иначе говоря, непрерывностьозначает, что предел от функции равен функции от пределов. Попросту:lim f ( x, y ) = f ⎛⎜ lim x, lim y ⎞⎟ .x → x0⎝ x→ x0 y → y0 ⎠y → y02.Ограниченность области интегрирования означает, что вся она может бытьпомещена внутрь круга достаточно большого радиуса. Замкнутость областиинтегрирования означает, что коль скоро все элементы сходящейся (то естьимеющей предел) последовательности точек принадлежат областиинтегрирования, предел этой последовательности также долженпринадлежать области интегрирования.Измеримость области интегрирования, грубо говоря, означает, что площадьграницы этой области равна нулю или, точнее говоря, имеет меру нуль.

Здесьследует уточнить, что допускается покрытие границы областиинтегрирования многоугольником сколь угодно малой площади с конечнымчислом сторон (мера Жордана). В противном случае нам придётся признать,что двумерная функция Дирихле, равная нулю в точках, обе координатыкоторых иррациональны и равная единице в противном случае, имеетдвойной интеграл (например, по области единичного квадрата) равный нулю(интеграл Лебега или интеграл по мере Лебега).