Кратные и криволинейные интегралы

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯМосковский государственный университетприборостроения и информатикикафедра высшей математикиКРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫучебное пособие для студентов.Москва 20062УДК 517.Кратные и криволинейные интегралы. Учебное пособие для студентов. Сост.:к.ф-м.н., доц.. Загинайко В.А. ./МГУПИ. М.

2006.Излагаются теория и применение криволинейных и кратныхинтегралов. Приведены примеры решения задач.Пособие предназначено для студентов, обучающихся по дневнойформе обучения. Библиогр: 3.Рецензент: д.ф.-м.н., проф. Соколов В.В.1Введение.Предлагаемое пособие состоит из двух частей. Первая часть содержитэлементарную теорию кратных и криволинейных интегралов с примерами вычислений.Объём материала здесь примерно соответствует программе соответствующих разделовкурса высшей математики технических вузов. Во второй части более углублённорассматривается понятие измеримости площади и объёма по Риману и по Лебегу, а такжедаётся понятие площади двумерной поверхности по Лебегу как нижнего пределаплощадей триангуляций графика функции двух переменных, непрерывных вместе сосвоими частными производными.В первой части последовательно рассматривается ориентация простейших фигур(треугольника, тетраэдра) в одномерном, двумерном, трёхмерном и многомерном случаях.Ориентация составной фигуры определяется как согласованная ориентация её частей.При вычислении площади и объёма этих фигур используется геометрическоепонятие определителя как ориентированной площади или объёма, натянутого на пару илитройку векторов.

Геометрически двукратный интеграл определяется как ориентированныйобъём кривоповерхностного цилиндра по аналогии с классическим определениемопределённого интеграла как ориентированной площади криволинейной трапеции.Площадь или объём рассматриваются классическим способом как предел ступенчатыхфигур, приближающих эту площадь или объём.

Разбираются решения типичныхконтрольных заданий на соответствующую тему. Даётся пример взятия кратногоинтеграла машинным (компьютерным) способом.Особенностью первой части данного пособия является попытка «осовременить»изложение поверхностных интегралов второго рода. Известные теоремы Лейбница –Ньютона, Грина, Стокса и Остроградского – Гаусса рассматриваются как частные случаиобщего утверждения Пуанкаре о связи интеграла по объёму с интегралом по поверхностикак топологической границы этого объёма. Указанное утверждение можно рассматривать(как минимум) в качестве мнемонического правила для запоминания упомянутой сериитеорем.Отмечается (на примерах), что при вычислении, в частности, поверхностныхинтегралов необходимо внимательно следить за ориентацией фигуры для правильнойрасстановки пределов при замене кратного интеграла на повторный.Во второй части пособия рассматриваются классические понятия измеримости поРиману и по Лебегу.

Даётся схема доказательства интегрируемости непрерывной функциипо Риману. Рассматривается критерий интегрируемости по Риману как нулевое значениемеры Лебега для множества точек разрыва подынтегральной функции.Проводится схема доказательства существования площади поверхности по Лебегудля гладкой (то есть непрерывной вместе со своими частными производными) функциидвух переменных, и доказывается, что эта площадь равна кратному интегралуопределённого вида.

При этом площадь поверхности по Лебегу рассматривается какпредел нижних граней площадей триангуляций для поверхности графикаподынтегральной функции, мелкость разбиения которых не превосходит заданнуювеличину.Автор надеется, что данное пособие будет способствовать повышениютеоретического понимания понятий ориентации, площади и объёма как фундаментальныхматематических понятий. Кроме того, это пособие может рассматриваться кактеоретическое приложение к руководствам по решению задач по теме: «криволинейные икратные интегралы» тем более, что оно содержит методические указания по решениюконтрольных заданий по соответствующей теме.13Кратные и криволинейные интегралы.Введение.Предлагаемое пособие состоит из двух частей.

Первая часть содержитэлементарную теорию кратных и криволинейных интегралов с примерами вычислений.Объём материала здесь примерно соответствует программе соответствующих разделовкурса высшей математики технических вузов. Во второй части более углублённорассматривается понятие измеримости площади и объёма по Риману и по Лебегу, атакже даётся понятие площади двумерной поверхности по Лебегу как нижнего пределаплощадей триангуляций графика функции двух переменных, непрерывных вместе сосвоими частными производными.В первой части последовательно рассматривается ориентация простейших фигур(треугольника, тетраэдра) в одномерном, двумерном, трёхмерном и многомерномслучаях.

Ориентация составной фигуры определяется как согласованная ориентация еёчастей.При вычислении площади и объёма этих фигур используется геометрическоепонятие определителя как ориентированной площади или объёма, натянутого на паруили тройку векторов. Геометрически двукратный интеграл определяется какориентированный объём кривоповерхностного цилиндра по аналогии с классическимопределением определённого интеграла как ориентированной площади криволинейнойтрапеции. Площадь или объём рассматриваются классическим способом как пределступенчатых фигур, приближающих эту площадь или объём. Разбираются решениятипичных контрольных заданий на соответствующую тему.

Даётся пример взятиякратного интеграла машинным (компьютерным) способом.Особенностью первой части данного пособия является попытка «осовременить»изложение поверхностных интегралов второго рода. Известные теоремы Лейбница –Ньютона, Грина, Стокса и Остроградского – Гаусса рассматриваются как частныеслучаи общего утверждения Пуанкаре о связи интеграла по объёму с интегралом поповерхности как топологической границы этого объёма.

Указанное утверждение можнорассматривать (как минимум) в качестве мнемонического правила для запоминанияупомянутой серии теорем.Отмечается (на примерах), что при вычислении, в частности, поверхностныхинтегралов необходимо внимательно следить за ориентацией фигуры для правильнойрасстановки пределов при замене кратного интеграла на повторный.Во второй части пособия рассматриваются классические понятия измеримостипо Риману и по Лебегу. Даётся схема доказательства интегрируемости непрерывнойфункции по Риману. Рассматривается критерий интегрируемости по Риману какнулевое значение меры Лебега для множества точек разрыва подынтегральнойфункции.Проводится схема доказательства существования площади поверхности поЛебегу для гладкой (то есть непрерывной вместе со своими частными производными)функции двух переменных, и доказывается, что эта площадь равна кратному интегралуопределённого вида.

При этом площадь поверхности по Лебегу рассматривается какпредел нижних граней площадей триангуляций для поверхности графикаподынтегральной функции, мелкость разбиения которых не превосходит заданнуювеличину.Автор надеется, что данное пособие будет способствовать повышениютеоретического понимания понятий ориентации, площади и объёма как34фундаментальных математических понятий. Кроме того, это пособие можетрассматриваться как теоретическое приложение к руководствам по решению задач потеме: «криволинейные и кратные интегралы» тем более, что оно содержитметодические указания по решению контрольных заданий по соответствующей теме.§1Ориентация.Прежде чем рассматривать кратные и криволинейные интегралы необходиморассмотреть лежащее в их основе понятие ориентации.Ориентация является одним из важнейших понятий топологии.

Рассмотримпоследовательно это понятие в одномерном, двумерном, трёхмерном и многомерномслучаях.1.Ориентация в одномерном случае ( n = 1 , где n - размерность пространства).Ориентация на заданной прямой определяет направление движения по прямой (влево –вправо, если прямая горизонтальна, вверх – вниз, если прямая вертикальна или отправого нижнего к правому верхнему углу квадрата, если прямая параллельнадиагонали квадрата, расположенного под углом в 450 к его горизонтальной стороне).Использование этого понятия.Определим с помощью этого понятия геометрический (свободный) вектор.Определение. Геометрический вектор определяется тремя параметрами: модулем,направлением и ориентацией.Модуль вектора есть его длина.

Если геометрический вектор представить в видестрелки, то его длина есть расстояние между началом стрелки и её концом.Направление вектора определяется множеством прямых, параллельных вектору.Таким образом (согласно данному определению) два вектора имеют одинаковоенаправление, если стрелки, геометрически представляющие эти вектора, параллельны,хотя, конечно, трудно назвать в обыденном смысле этого слова стрелки, лежащие наодной прямой и направленные в разные стороны однонаправленными. И, тем не менее,будем придерживаться этого определения.

Может быть, вместо термина «направлениевектора» в нашем смысле лучше было бы использовать термин «параллельностьвектора».Ориентация вектора. Будем считать, что два вектора имеют одинаковуюориентацию, если они имеют одинаковое направление (то есть, параллельны междусобой) и направлены в одну и ту же сторону.