Электричество и магнетизм, страница 9

далее).61Закон Ампера позволяет определить единицу магнитнойиндукции В − тесла (Тл): 1 Тл − магнитная индукция такого однородного магнитного поля, которое действует с силой в 1 Н накаждый метр длины прямолинейного проводника, расположенного перпендикулярно направлению поля, если по этому проводнику течет ток в 1А (1 Тл = 1 Н/(А⋅м)).5.8. Контур с током в магнитном поле5.8.1. Момент сил, действующих на контурbа)rBF2rnrF1аОrαrF2IrnrF1αIrF1О′rBб)Рис.5.9IrF1Возьмем прямоугольный контур, покоторому течет ток I,находящийся в однородном магнитном поле с индукцией В(рис.5.9а).

Пусть контур может вращатьсяотносительно неподвижной оси ОО′. Длина сторон контура a иb.Согласно (5.19), силы F1, действующие на вертикальныеучастки, равныF1 = IBa .bПлечо каждой из этих сил l = sin α , здесь α − угол между нор2rrмалью к плоскости контура n и вектором B , ориентация вектораrn связана с направлением тока в контуре правилом правого винта (см. рис.5.9б − вид на контур вдоль оси ОО′).Очевидно, что силы F2, действующие на горизонтальныеучастки контура, ориентированы вдоль оси ОО′ и они пытаютсядеформировать контур. Если контур достаточно жесткий, то этисилы в дальнейшем можно не учитывать.Следовательно, результирующий вращающий момент М,действующий на контур относительно оси ОО′, равен62M = 2 F1l = IabB sin α = ISB sin α ,(5.21)где S=ab − площадь контура.Учитывая, что момент сил − величина векторная, (5.21)можно записать в виде rr rr rM = IS n , B = ISn , B ,rrВеличина Pm = ISn называется магнитным моментом контура стоком.На контур с током, помещенный в магнитное поле, действует вращающий момент силvv rM = Pm , B .(5.22)Можно доказать, что полученное соотношение выполняетсядля произвольного контура и произвольного поля.[ ] [[]]5.8.2.

Энергия контура с током в магнитном полеrrДля того, чтобы увеличить угол α между векторами Pm и Bна dα нужно совершить работу против сил, действующих на контур. Ее величина, очевидно, равнаδA = M dα = Pm B sin α dα .Эта работа идет на увеличение потенциальной энергии Епот контура, т.е.dEпот = Pm B sin α dα ,откудаEпот = ∫ dEпот = − Pm B cos α + const .В данном случае логично взять значение const=0, т.к.

приcosα=0 мы имеем минимум потенциальной энергии, что соответствует положению устойчивого равновесия. Окончательно, энергия контура с током, находящегосяr r в магнитном поле, равнаЕпот = −(Pm , B ).(5.23)rrОриентация контура, при которой Pm ↑↑ B , отвечает минимуму потенциальной энергии (Епот<0), что соответствует положению устойчивого равновесия.Используя полученное соотношение, можно легко показать,что в случае неоднородного поля на контур действует отличная63от нуля сила. Действительно, пусть индукциямагнитного поляrизменяется только вдоль оси х. Так как F = − gradEпот , то в этомслучае вдоль оси х на контур будет действовать сила∂E∂BFx = − пот = Pmcos α(5.24)∂x∂x5.9.

Теорема Гаусса для магнитного поля в вакууме5.9.1. Магнитный потокПотоком вектора магнитной индукции (магнитным потофизическая величина, равнаяком) через площадку dS называетсяr rdФm = BdS = Bn dS = BdS cos α ,rгде Bn = B cos α − проекция вектора B на направление нормали кrrrплощадкеdS(вектора),α−уголмеждувекторамииB,nnrrdS = dSn − вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадаетrс направлением нормали к площадке. Обычно поток вектора B связывают с определенным контуром с током. В этомrслучае направление вектора n связано с направлением тока вконтуре правилом правого винта..Магнитный поток черезr произвольнуюповерхность S равенrФm = ∫ BdS = ∫ Bn dS .(5.25)SSВ СИ магнитный поток измеряется в веберах: 1 вебер (Вб) −магнитный поток сквозь плоскую поверхность единичной площади, расположенную перпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого равна 1 Тл (1 Вб=1 Тл⋅м2).Магнитный поток через поверхность, ограниченную замкнутым контуром, называется потокосцеплением Ψ этого контура.Например, потокосцепление рамки, состоящей из N витков будетравно Ψ=NФm, где Фm − поток через один виток.5.9.2.

Теорема Гаусса для магнитного поляВ теории электромагнетизма доказывается, что поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхностьравен нулю:64r r∫ BdS = ∫ Bn dS =0S(5.25)Sили в дифференциальной формеrdivB = 0(5.26)Формулы (5.25) и (5.26) показывают, что отсутствуют магнитные заряды и что линии магнитной индукции замкнуты. Следует ожидать, что эти соотношения выполняются не только дляпостоянных магнитных полей, но что они справедливы для любого магнитного поля. Все опытные факты подтверждают это заключение.5.10.

Работа по перемещению проводника и контура стоком в однородном магнитном поле5.10.1. Проводник с токомНа проводник с током в магнитном поле действует силаАмпераr (5.18). Элементарная работа δА, совершаемая силой Амrdrв постоянном магнитномпера dF при малом перемещенииrполе малого элемента dr l проводникаr сrтоком I, равнаrrδA = (dF , dr ) = I dr , dl , B .(5.27)В смешанном произведениициклическую перестаr r rможноr делатьr rновку векторов, т.е. A, B, C = C , A, B . Воспользуемся этим в(5.27), тогдаr r rr vδA = I B, dr , dl = IBdS = IdФm ,rr rгде dS = dr , dl − вектор малой площадки, прочерчиваемой элеrrментом dl проводникаприегомаломперемещенииdr(см.r rрис.5.10), а dФm = BdS − магнитный поток сквозь эту площадку.При малом перемещении в магнитном поле проводника конечной длины l с током I силы Ампера совершают работуδA = I dФm ,(5.28)( [( [[]( [])]) ( [ ])])65где dФm − магнитный поток сквозь поверхность, которую прочерчивает весь проводник при его пеrr rrdS = [dr , dl ]ремещении на dr .Если проводник, сила тока в котором поддерживается постоянной,rdlсовершает конечное перемещение вvdrмагнитном поле из положения 1 в положение 2, то работа сил Ампера наРис.5.10этом перемещения равна2A12 = ∫ I dФm = IФm ,(5.29)1где Фm − магнитный поток сквозь поверхность, прочерчиваемуювсем проводником при рассматриваемом перемещении.5.10.2.

Контур с токомНайдем работу сил Ампера по перемещению произвольногоконтура L с током I в магнитномполе.rrВыберем элемент dl контура. При его перемещении на drсилы Ампера совершают работуδAэл = I dФm эл ,где d Фm эл − магнитныйкоторую проr поток сквозь поверхность,rчерчивает элемент dl при его перемещении на dr . Работа по перемещению всего контура будет равнаδA = ∫ δAэл = ∫ I dФm эл = I dФm ,LLздесь d Фm − изменение магнитного потока через контур L.При конечном перемещении контура из положения 1 в положение 2 работа будет равна22A12 = ∫ δAэл = ∫ I dФm = I (Ф2 − Ф1 ) ,1(5.30)1т.е. работа по перемещению контура с током в магнитном полеравна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, сцепленного с контуром.665.11.

Действие магнитного поля на движущийся заряд5.11.1. Сила ЛоренцаСогласно закону Ампера, на элемент проводника, находящийся в магнитном поле,r r силаr rr действуетdF = I dl , B = Idl , B .Заметим, чтоrr rrI dl = jS dl = j S dl = j dV ,где j − плотность тока в проводнике, S − площадь его поперечновыбранного элемента (здесь также учтено,го сечения, dVr − объемrчто вектора dl и j направлены одинаково).С учетом этого и воспользовавшись (4.4), найдем силу, действующую на единицуr объемаr rпроводникаr dF dV j , Br rr r== j , B = qn 〈 v 〉 , B ,f =dVdVгде q и n − заряд и концентрация носителей тока в проводнике, аr〈v 〉 − средняя скорость их движения.

Мы получили силу, действующую на n частиц. Естественно предположить, что на каждуючастицу действует силаrr rF = q v, B ,rгде v − истинная скорость частицы.Если тока в проводнике нет, то носители тока (электроны)движутся беспорядочно и равнодействующая на них сила (силаАмпера) равна нулю.В общем случае, если наr движущуюся частицу помимо магнитного поля с индукциейB действует и электрическое поле сrнапряженностью E , то результирующая сила (сила Лоренца) равна сумме двух составляющихи магнитнойrr− электрическойr rFЛ = qE + q v , B .(5.31)[] [[ ] [ ]][][ ][ ]5.11.2.

Движение заряженной частицы вмагнитном полеПусть частица с зарядом q и массой m влетает в область, гдесуществует постоянное магнитное поле, под углом α к линиямvиндукции. Представим скорость v частицы как сумму двух со-67ставляющих, − направленную вдоль поля v||=v cos α, и перпендикулярно полю v⊥=v sin α. Тогда силу Лоренца, действующую начастицу, можнопредставитьв видеrrrr rrr rr rFЛ = q vΙΙ + v ⊥ , B = q vΙΙ , B + q v ⊥ , B = q v ⊥ , B ,т.е. составляющая скорости, параллельная полю, не вызывает появление магнитной силы.Направление силы Лоренца перпендикулярно вектору скорости (траектории частицы), следовательно, сила Лоренца можетизменять скорость только по направлению, а не по величине.Следовательно, движение частицы можно представить в виде суперпозиции: 1) равномерного прямолинейного движения частицывдоль поля со скоростью v||=v cos α; 2) равномерного движения соскоростью v⊥=v sin α по окружности в плоскости, перпендикулярной полю.