Билеты (Билеты. (Первый семестр)), страница 4

как функция  , так и функция   непрерывны, то условия  и   эквивалентны.

Составим теперь разностное отношение для функции  и запишем для него очевидное равенство:

Теперь перейдём в этом равенстве к пределу при и учтём, что при этом   тоже стремится к 0:

что мы и хотели доказать.      

Заметим, что, очевидно, из формулы (4.14) следует, что

е сли   -- функция, обратная к  .

БИЛЕТ 29. Производные высших порядков.

Рассмотрим дифференцируемую функцию  . Найдем её производную  . Рассматривая   как новую функцию, продифференцируем её:

Полученную новую производную называют второй производной от функции  . Вторую производную обозначают так:

 или  .

Аналогично находится производная третьего, четвертого, и т.д. n-го порядка. Третья производная обозначается так:

Четвертая:

.

Производной n – го порядка от функции   называется производная от производной  -го порядка:

.

Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.

БИЛЕТ 30. Теорема Ферма.

Теорема Ферма (необходимое условие extr):

Пусть определена на интервале (a,b) и точка если в точке функция f(x) достигает max или min значения и в точке существует производная, то f’( )=0.

Доказательство.

Пусть для определенности в точке принимает max значение, т.е . В точке существует производная , тогда (правая и левая производная).Распишем отношение

переходя в этих интервалах к пределу, получим

Замечание.

Теорема носит локальный характер, т.е. точка является локальным экстремумом.

Геометрический смысл теоремы.

В предположение теоремы всегда существует точка, в которой касательная к графику функции параллельная OX.

БИЛЕТ 31. Теорема Ролля.

Теорема Ролля:

Пусть функция y= :

1) непрерывна на отрезке [a,b];

2) дифференцируема (a,b);

3) f(a)=f(b), тогда

Доказательство.

Функция f(x), непрерывна на [a,b] достигает на нем max M и min m значения, т.е . Возможны два случая.

1) и

2) ,тогда либо максимальное значение f(x) либо минимальное значения f(x) достигается внутри интервала (a,b) (не на конце отрезка [a,b]).(f(a)=f(b)). , тогда достигает максимального или минимального значения во внутренней точке интервала (a,b) и по теореме Ферма

Все условия теоремы Ролля существенные. Если выполняется, только 2 из 3(см. картинку), то не существует точка причем (касательная параллельная оси ОХ).

БИЛЕТ 32. Теорема Лагранжа (формула конечных приращений).

Теорема Лагранжа.

Пусть функция f(x)

-непрерывна на отрезке [a,b];

-дифференцируема на интервале (a,b);

Тогда (формула конечных приращений)

Доказательство.

Рассмотрим функцию .Параметр выберем из условия F(a)=F(b)

Функция F(x) удовлетворяет всем условием т.Ролля (она непрерывна и дифференцируема, как сумма непрерывных и дифференцируемых функций )

Геометрический смысл.

В предположение теоремы существует точка :касательная к графику функции параллельна секущей(хорде).

Следствие.

Пусть f(x) определена, непрерывна и дифференцируема на (a,b). И в каждой точке интервала (a,b) , тогда f(x)=const.

Доказательство.

Пусть x1 и x2 две произвольные точки интервала(a,b),тогда , точка лежит между этими точками x1 и x2, по условию , т.е f(x)=const(в силу произвольности выбора x1 и x2).

БИЛЕТ 33. Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений).

Теорема Коши.

Пусть функции и g(x) определены на интервале (a,b)

1) и g(x) непрерывны на [a,b];

2) и g(x) дифференцируемы на (a,b) причем , тогда

Доказательство.

Рассмотрим функцию параметр выбрали из условия

.

Для функции F(x) выполнены условия теоремы Ролля. Формулировка теоремы Ролля Сравнивания формулы для , получим утверждение теоремы.

Следствие.

Теорема Лагранжа. Если ,то .

БИЛЕТ 34. Условие постоянства функции. Условие монотонности функции.

На рисунке нарисован график функции , всюду имеющей производную. В точке касательная к и ось образуют острый угол , поэтому ее угловой коэффициент, равный , положителен. Но . Следовательно, . И так будет в любой точке интервала , где функция монотонно возрастает. Напрашивается вывод: если на интервале , то на этом интервале функция монотонно возрастает. Далее, в точке касательная к образует с осью тупой угол , поэтому ее угловой коэффициент, равный отрицателен. А так как , то . Вывод: если на интервале , то на этом интервале функция монотонно убывает. В точке функция имеет максимум. На чертеже ясно, что в этой точке касательная к параллельна оси , и поэтому ее угловой коэффициент равен нулю, так что . При этом слева от этой точки , а справа .

Теорема (достаточный признак монотонности).

1). Если на отрезке , то монотонно возрастает на .

2). Если на отрезке , то монотонно убывает на .

Доказательство:

Возьмем любые числа и , причем < , из интервала . По формуле Лагранжа получаем: , , и поэтому принадлежит интервалу . Так как , то в первом случае , то есть , а во втором , то есть , что и требовалось доказать.

БИЛЕТ 35. Экстремумы функции. Достаточные условия экстремума.

Теорема 1. Необходимое условие экстремума.

Пусть точка х0 является точка экстремума для функции f(x). Тогда, если существует f’(x0), то f’(x0)=0, либо f’(x0) не существует.

В точке х1 – min; в точке х2 – max.

Теорема 2. Достаточное условие строгого extr в терминах первой производной.

Пусть f(x) дифференцируема в некой окрестности точки х0, и в точке х0 f(x) непрерывна. Если f’(x) при переходе через точку х0 меняет знак, то точка х0 является точкой строгого экстремума, при этом 1)если при , а при

то в точке х0 – минимум. 2)если при , а при то в точке х0 максимум.

Доказательство.

Докажем 1) .Теорема Лагранжа . а) Если х-х0>0 и . б) если х-х0<0 и , т.е при переходе через точку х0 не меняет свой знак: >0, т.е точка х0-точка минимума.

2)Доказательство аналогично.

Достаточное условие строгого экстремума в терминах старшей производной.

Пусть в точке х0 у функции f(x) существует n производных, причём Тогда, если n=2k, то в точке х0 экстремум, и если Если n=2k+1 в точке х0 нет экстремума и точка х0 точка возрастания. Если и точка убывания, если .

Следствие. Если в точке х0 у функции f(x) существует , то, если >0, то в точке х0 минимум, <0,то в точке х0 максимум (k=1).

Доказательство.

Разложим функцию f(x) в ряд Тейлора.

или знак определяется первым слагаемым, если n – четное, то знак зависит от знака . По этому, если то >0 – минимум. то <0 – максимум. Если n – нечетное, то знак зависит от и , т.е. при переходе через точку х0 знак меняется, следовательно в точке х0 экстремума нет.

Следствие.

. f’’(x0)>0, >0 – минимум; f’’(x0)<0, <0 – максимум.

БИЛЕТ 36. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба. Необходимое ус­ловие перегиба.

Выпуклости функции. Точка перегиба.

Опр. Функция f(x) на интервале (a,b) называется выпуклой вверх (выпуклой вниз), если

( )

Геометрически это означает что кривая y=f(x) лежит выше(ниже) прямой.

Достаточное условие строго выпуклости.

Теорема. Если на интервале (a,b) f’’(x)>0, то f(x) выпукло вниз, если f’’(x)<0, то f(x) выпукло вверх.

Доказательство

Рассмотрим разность х2-х1>0

а)Если выпукла вниз.

б) Если выпукла вверх.

Опр. Точка х0 для функции f(x) называется точкой перегиба, если она является концом интервала выпуклота вверх(вниз) и началом интервала выпуклота вниз(вверх)

Необходимое условие точек перегиба.

Если функция дважды непрерывна, дифференцируема в точке х0 и если точка х0 является точкой перегиба, то f’’(x0) = 0

Доказательство. Если бы f’’(x0)>0 то в некоторой окрестности точке х0 f(x) была выпукла вниз. Если бы f’’(x0)<0 то в некоторой окрестности точке х0 f(x) была выпукла вверх. Но это противоречит определению точке перегиба: точка перегиба не принадлежит ни какому интервалу выпуклости.

БИЛЕТ 37. Достаточные условия перегиба графика функции.

Достаточное условие точки перегиба.

Если функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точке х0 кроме, быть может, самой точки х0, но f(x) непрерывна в точке х0 и ее производная меняет знак при переходе через точку х0, то в точке х0 – точка перегиба.

Доказательство.