Билеты (Билеты. (Первый семестр)), страница 3

Определение 1: Функция непрерывна в точке , если .

Определение 2: Функция непрерывна в точке , если , .

Определение 3: Функция непрерывна в точке , если

.

Свойства непрерывных функций:

Теорема 1 (локальная огр.): Пусть функция непрерывна в точке , тогда .

Теорема 2 (отделимость от 0): Пусть функция непрерывна в точке и , тогда

. .

Теорема 3 (арифметика непрерывных функций): Пусть , непрерывны в точке , тогда:

1). непрерывна в точке .

2). непрерывно в точке .

3). Если , то непрерывно в точке .

БИЛЕТ 20. Непрерывность сложной функции.

Теорема: если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке то сложная функция непрерывна в точке .

Доказательство:

Возьмем число >0. Так как функция непрерывна в точке то можно подобрать такое число , что

для любого , такого, что . (1)

А так как функция непрерывна в точке , то для положительного числа можно подобрать такое число , что

для любого , такого, что . (2)

Возьмем любое число такое, что . Тогда в силу (2) число удовлетворяет неравенству , и поэтому в силу (1) . Так как все эти вычисления проведены для любого >0, то непрерывность функции в точке доказана.

БИЛЕТ 21. Классификация разрывов. Примеры.

Определение: -точка разрыва функции , если в точке функция не является непрерывной.

Определение: точка -точка устранимого разрыва функции , если существует , но не определена в точке , либо .

Замечание: Если в точке устранимого разрыва доопределить (переопределить) функцию:

- непрерывна в точке .

Пример: .

, - точка устранимого разрыва .

Если не существует, то -точка неустранимого

разрыва .

Определение: Пусть точка -точка неустранимого разрыва функции , тогда:

1. если существует , то .

2. если , то -точка разрыва функции 1-го рода.

3. если , то -точка разрыва функции 2-го рода.

П римеры:

1). .

,

- точка разрыва 1-го рода.

2 ). .

,

- точка разрыва 2-го рода.

3 ).

,

- точка разрыва 2-го рода.

4 ).

не существует точка - точка разрыва 2-го рода.

, . Точка - точка разрыва 2-го рода.

БИЛЕТ 22. Теорема о нуле непрерывной функции.

Определение: непрерывна на , если непрерывна в точке ,

непрерывна на , если непрерывна в точке , и

Существует , .

Теорема: Пусть определена на и , причем . Тогда

.

Пусть , . Используем метод деления отрезка пополам.

Обозначим: , .

Определим

1) =0 .

2) < 0 , .

3) > 0 , и так далее.

.

.

По лемме о вложенных отрезках: , то есть .

непрерывна в точке

.

.

0 ( )

.

.

0 ( )

БИЛЕТ 23. Первая теорема Вейерштрасса.

Пусть . Тогда ограничена на .

Доказательство:

Докажем, что .

Предположим противное, то есть . Возьмем =1,2,3…

Получим :

1)

2)

Из этих определений получаем .

=> -подпоследовательность последовательности :

.

-непрерывна в точке => .

-подпоследовательность последовательности : => . Противоречие.

Замечание: Замкнутость по существу. , , но

Не является ограниченной на .

БИЛЕТ 24. Обратная функция. Примеры. Теоремы о существовании и непрерывности обратной функции (без доказательства).

Определение:  Пусть на множестве D определена функция у = f(x) и E –множество ее значений. Определим новую функцию, х = h(y), которая определена на множестве Е и каждому значению у ставит в соответствие то самое значение х из множества D, для которого у = f(x). Эта новая функция х = h(y) называется функцией, обратной к функции у = f(x).
Таким образом, для нахождения функции, обратной к функции у = f(x), надо решить уравнение у = f(x) относительно х.

Примеры:

1. Найти функцию обратную для  :

1. Область определения функции: D(f) =(-∞;+∞), область значений функции: E(f)=(-∞;+∞)

1. В ыразим x через y - . (По сути это и есть обратная функция, но следует записывать так:)

1. – это обратная функция функции и наоборот.

1. Найти функцию обратную для . :

1. Область определения функции: D(f)=ℝ, область значений функции: E(f)=(0;+∞)

1. Выразим x через y - . (По сути это и есть обратная функция, но следует записывать так:)

1. – это обратная функция функции и наоборот.

Теорема: Пусть функция f(x) определена, непрерывна и строго монотонно возрастает (убывает) на отрезке [a,b]. Тогда на отрезке [f(a),f(b)] определена обратная функция f(-1)(x), которая также непрерывна и строго монотонно возрастает (убывает).

БИЛЕТ 26. Производная функции. Дифференцируемость функции. Дифференциал. Геометрический смысл производной.

Производной   от функции   в точке   называется предел отношения

приращения функции   к приращению аргумента   :    при  , если он

существует, то есть:

или

Определение: Пусть функция f(x) определена в окрестности точки .Если ее приращение можно представить в виде ,то говорят ,что f(x) дифференцируема в точке (иногда пишут -величина более высокого порядка, чем а это означает, что )

-линейная функция от .Она называется дифференциалом функции f(x) и обозначается

Пример:

Критерий дифференцируемости:

Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке необходимо и достаточно, чтобы существовала производная в этой точке.

Доказательство:

1.Необходимость. f(x) дифференцируема в точке это означает . Разделим это равенство на и перейдем к пределу ,т.е. существует , т.е. производная существует.

2.Достаточность. Пусть существует или

, т.е. f(x) дифференцируема в точке .

Итак, , т.е. .Отсюда следует новое обозначение производной и эту величину можно рассматривать как один символ, так и как частное дифференциалов.

Геометрический смысл производной.  

Рассмотрим график функции  y = f ( x ): 

Из рис.1  видно, что для любых двух точек A и B графика функции:  

где    - угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то    неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

БИЛЕТ 27. Дифференцирование сложной функции.

Производная сложной функции.

Пусть функция y=f(x) имеет производную в точке ,а функция z=F(y) имеет производную в точке , тогда сложная функция Ф(x)=F(f(x)) имеет производную в точке .

Доказательство: Функция f(x) непрерывна в окрестности точки , функция F(y) непрерывна в окрестности точки , поэтому в окрестности точки существует сложная функция Ф(x).Функция F(y) имеет производную в точке , поэтому она дифференцируема в этой точке.

(\/)

-бесконечно малая более высокого порядка, чем , но может быть неопределенна в точке =0, поэтому мы доопределяем ее по непрерывности в точке 0 : .Разделим равенство (\/) на :

F(y)=F(y(x))=Ф(x) и тогда равенство запишем в виде . Перейдем к пределу

. окажем, что , то y=f(x) непрерывна в окрестности точки , т.е. ( и стремятся к 0 одновременно), т.е. (т.к. бесконечно малая более высокого порядка, чем ), а , т.о. получим формулу .

БИЛЕТ 28. Дифференцирование обратной функции.

Теорема: Пусть функция   имеет в точке   производную  . Тогда обратная

функция имеет в соответствующей точке    производную   , которую можно

отыскать по формуле.

Доказательство: Дадим аргументу   приращение  , такое что  , и

р ассмотрим соответствующее приращение  , определяемое

р авенством   . Тогда, очевидно,  ; при

этом  , а из монотонности функции   следует, что  . Поскольку