Билеты (Билеты. (Первый семестр)), страница 2

Обозначим и выберем

1. k>K

Тогда .

. То есть

БИЛЕТ 12. Два определения предела функции. Эквивалентность определений.

Пусть определена в некоторой выколотой окрестности т.

Определение 1 (Гейне): , если , ,

Замечание:

Определение 2 (Коши): , если .

.

Замечание: , то есть .

Теорема: Определение 1 <=> Определение 2.

Имеем . .

Возьмем произвольную = => .

Обозначим . Тогда 0< .

Т.обр.

., то есть

БИЛЕТ 13. Свойства пределов функций, связанные с неравенствами.

Теорема: Пусть и , тогда .

Теорема: (Локальн. Огр.): Пусть , тогда , :

.

.

Возьмем Тогда .

Теорема: Пусть , и . Тогда

Возьмем произвольный , , , причем .

(по теореме о предельном переходе в неравенство) .

Теорема: Пусть , и

. Тогда существует . Возьмем произв. ,

, , причем

сущ. .

Теорема (об отделимости от нуля): Пусть , : .

Доказательство:

.

Возьмем , тогда

, , .

БИЛЕТ 14. Свойства пределов функций, связанные с неравенствами. Теорема об арифметике пределов функций.

Теорема: (Локальн. Огр.): Пусть , тогда , :

.

.

Возьмем Тогда .

Теорема: Если существуют и , то:

1). .

2). = ( - постоянная).

3). * .

4). , если .

Доказательства:

Доопределив по непрерывности функции и в точке , положив = и = (это изменение функций не влияет на их пределы). В точке будут непрерывны функции , , , (так как = . Поэтому в силу равенства = получим:

1). = .

2). = =

3). = * .

4). = .

БИЛЕТ 15. Разные виды пределов функции: бесконечно большие функции, пределы функции на бесконечности, односторонний предел. Теорема о связи односторонних пределов с пределом функции.

Определение 1: Функция   называется бесконечно большой в точке  , если для любого   существует такое , что для любого  , удовлетворяющего неравенству  , выполняется неравенство:  . В этом случае пишут: 

Определение 2: Число   называется пределом функции   на бесконечности или при  , если для любого  существует число   такое, что для всех   из того, что  , выполняется неравенство  .

Определение 3: Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.

Число   называется правым пределом функции   в точке  , если для     такое, что для любого   и  , выполняется неравенство   (рис. 1). Правый предел обозначается 

Число   называется левым пределом функции   в точке  , если для     такое, что для любого   и  , выполняется неравенство   (рис. 2). Левый предел обозначается 

Теорема: Чтобы функция  имела предел в точке  , необходимо и достаточно чтобы она имела в этой точке оба односторонних предела и чтобы они были равны.

Функция  называется непрерывной в точке  , если  .

Если в этом определении раскрыть определение предела на языке « », то получим определение: функция  называется непрерывной в точке  , если  .

Если же раскрыть определение предела на языке последовательностей, то приходим к определению: функция  называется непрерывной в точке  , если для любой последовательности  , сходящейся к  , соответственная последовательность значений функции  сходится к  .

Иногда удобно формулировать определение непрерывности функции на языке приращений. Разность  называют приращением аргумента в точке  , а разность  называют приращением функции  в точке  .

Функция  называется непрерывной в точке  , если приращение функции в точке  стремится к нулю при стремлении к нулю приращения аргумента, т.е.  .

Б ИЛЕТ 16. Первый замечательный предел (с доказательством). Второй замечательный предел (без доказательства).

Первый замечательный предел:

Для доказательства возьмем вектор окружности радиуса 1 с центральным углом, равным (радиан), и проведем . Тогда пл. < пл. сект. < пл. или . Разделив все части этого неравенства на > 0, получим

или . Это неравенство, доказанное для любых из интервала (0; ), верно для любого из интервала (- ; ) в силу четности функций, входящих в это неравенство.

Докажем, что

( ) при

А раз и , то .

Кроме того: = 1

Второй замечательный предел:

.

На первый взгляд кажется, что при имеет пределом единицу (так как 1+ при имеет пределом единицу, а единица в любой степени есть единица). Но в степень возводится 1+ , а не единица. И вот из-за этой бесконечно малой добавки предел не равен единице. Чтобы приблизительно представить себе поведение функции при малых приведем таблицу значений этой функции:

Из этой таблицы видно, что с уменьшением функция увеличивается. Оказывается, что это имеет место для всех >0, а из этого следует, что функция имеет предел.

БИЛЕТ 17. Бесконечно малые функции. Определение и свойства (без док-ва). Сравнение бесконечно малых функций. Примеры.

Определение: Функция   называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при   (или в

точке   ), если .

Основные свойства бесконечно малых функций:

1. Сумма конечного числа б.м функций является функцией б.м.

2. Произведение б.м функции на ограниченную есть функция б.м.

3. Произведение двух б.м функций есть функция б.м.

4. Произведение б.м функции на константу является б.м функцией.

5. Ч астное от деления б.м функции на функцию, предел которой не равен нулю, есть функция б.м.

6. Функция , обратная к б.м функции  , есть функция бесконечно большая.

Верно и обратное.

Бесконечно малые функции одного порядка:

П усть   и   - две б.м. функции при  .

Е сли  , то   является б.м. более высокого порядка при  , чем ,

а   - б.м. более низкого порядка по сравнению с  :  при  .

Пример:

 и  . Предел отношений: 2 => одного порядка

Бесконечно малые функции более низкого и высокого порядков:

Определение 1:

Если  , то   является б.м. более высокого порядка при  , чем  ,

а  - б.м. более низкого порядка по сравнению с  :   при  .

Пример: и , Предел отношений равен 0

Определение 2:

Е сли  , то  - б.м. низшего порядка малости при   по сравнению с 

Пример: и , Предел отношений равен бесконечности

Определение 3:

Если  , то   называется б.м. порядка   по сравнению

с   при .

Пример: и , k=2, предел отношений равен: 1. А 1 не равен 0. Что и требовалось доказать.

Эквивалентные (равносильные) бесконечно малые функции:

Если , то б.м.

функции  и   называются эквивалентными или равносильными б.м. одного порядка при  :   при  .

Пример:  и   являются эквивалентными б.м. в точке  т.к. предел отношений при x->1 равен 1, также предел a(x) при x->1 равен 1 и предел b(x) при x->1 тоже равен 1.

БИЛЕТ 18. Эквивалентные бесконечно малые функции. Критерий эквивалентности. Теорема о замене на эквива­лентные.

Определение: функция называется бесконечно малой при , если =0.

Теорема (критерий эквивалентности):

Пусть , -бесконечно малые функции при .

- . Тогда ~ при .

Доказательства:

( ). Пусть ~ , , то есть .

=0,

то есть .

( ). ., .

=1.

Теорема (о замене на эквивалентные):

Пусть функция ~ , ~ при и существует , тогда существует и = . То есть выражение или функцию можно заменять на эквивалентное.

= * * = .

1 1

БИЛЕТ 19. Определения непрерывности функции в точке. Простейшие свойства не­прерывных функций.