Билеты (Билеты. (Первый семестр))

БИЛЕТ 1. Точные грани числовых множеств. Теорема существования (без доказательства)

Точной верхней гранью числового множества ( ) называется число , такое что:

1) S- верхняя граница ( ).

2) Для любого положительного числа в множестве M можно найти число , такое что

> - . ( > - )

Точной нижней гранью числового множества ( ) называется число , такое что:

1) S- нижняя граница ( ).

2) Для любого положительного числа в множестве M можно найти число , такое что

+ . ( + )

Теорема существования: Пусть , , ограниченное сверху (снизу), тогда существует точная верхняя (нижняя) грань.

БИЛЕТ 2. Бесконечно малые и ограниченные последовательности. Арифметика бес­конечно малых последовательностей.

Определение: Последовательность будем называть бесконечно малой последовательностью, если , то есть .

Теорема: бесконечно

малая последовательность.

(I)-

(II)-

(I) (II) =

(II) (I) =

Замечание: Фактически мы дали эквивалентность определений сходящейся последовательности.

Определение: Последовательность будем называть ограниченной последовательностью, если .

Замечание: Ранее мы доказали, что всякая сходящаяся, в том числе и бесконечно малая последовательность ограничена.

Арифметика бес­конечно малых последовательностей.

Теорема: сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Пусть . Возьмем произвольный .

Аналогично

.

Обозначим .

Тогда .

То есть

Теорема: произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

, - ограниченная, то есть .

Возьмем произвольный .

- бесконечно малая.

.

Обозначим . Тогда

.

То есть

Замечание: сходимость ограниченной последовательности здесь не требуется.

БИЛЕТ 3. Бесконечно большие последовательности. Теорема о связи между бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей.

Определение: Последовательность   называется бесконечно большой, если для любого  существует номер   такой, что для любого    выполняется неравенство: 

Формально:

Теорема: Если - б.б. и все её члены отличны от нуля то последовательность

бесконечно малая, и, обратно, если - б.м. последовательность и все её члены отличны от

нуля, то - б.б.

Док-во: Пусть - б.б. Возьмем произвольное и положим .

С огласно определению для этого существует такой номер N, что при будет . Отсюда получаем, что:

для всех . А это значит, что последовательность - б.м.

БИЛЕТ 4. Предел числовой последовательности. Теорема об арифметике пределов последовательностей (док-во для суммы и произведения).

Определение: функцию называют числовой последовательностью.

- члены числовой последовательности.

- номер члена числовой последовательности.

или ,

= , -общий член.

Определение: Число называется пределом последовательности (пишут ), если для любого положительного числа ( >0) можно указать такое число , зависящее от , что для всех .

Арифметика:

Пусть , . Тогда:

1) существует

2) существует

3) если то существует .

Доказательства:

где и - бесконечно малые последовательности.

1)

бесконечно малые.

бесконечно малые.

2) =

бесконечно малая бесконечно малая

бесконечно малая

Дополнительно:

3) где

- бесконечно малая последовательность.

По условию

-ограниченная.

бесконечно малая.

БИЛЕТ 5. Единственность предела. Ограни­ченность сходящейся последовательности.

Теорема: (о единственности предела): Если -сходящаяся, то предел единственный.

Доказательство:

Пусть , , .

Для определенности имеем:

.

< <

< . < .

Противоречие.

Теорема: (об ограниченности сходящейся последовательности): Если -сходится, то она ограничена.

- сходящаяся : .

Возьмем =1 .

Обозначим , тогда

, тогда

Отсюда для обоих случаев

Замечание: обратное не верно.

БИЛЕТ 6. Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами.

Теорема: (о предельном переходе в неравенство):

Пусть , . . Тогда .

Доказательство (от противного):

Пусть .

Возьмем .

Обозначим

.

- противоречие.

Замечание: Если для элементов последовательности выполняется , то отсюда не следует, что . .

= , = , .

Теорема (о промежуточной последовательности).

Пусть , и . Тогда существует .

Доказательство:

Возьмем произвольный .

. Тогда . . ( ).

.

Теорема: (об отделимости от нуля).

Пусть и . Тогда .

Замечание: - ограниченная.

( ).

. .

БИЛЕТ 7. Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последо­вательности.

Определение: -монотонно возрастающая (монотонно убывающая), если ( ). Если неравенства строгие, то последовательности строго возрастающие (убывающие).

Теорема (о пределе монотонной последо­вательности). Пусть -монотонно возрастает и ограничена сверху. Тогда она сходится, причем .

Доказательство:

ограничена сверху =>по теореме существования точной верхней грани . Докажем, что .

: 1)

2) .

Возьмем произвольный , обозначим из 2).

1)=>

2)=> (монот. возр).

Из этого следует, что , => .

Мы доказали достаточное условие числовой сходимости последовательности (монот. и огр.)

(огр. на б.м.).

БИЛЕТ 8 Подпоследовательности. Частичные пределы. Теорема о частичных пределах сходящейся подпоследовательности.

Определение: Пусть дана некая последовательность . Из элементов этой последовательности извлечем другую последовательность , где последовательность -номера элементов исходной последовательности, причем Тогда последовательность -подпоследовательность последовательности .

Замечание: Элементы подпоследовательности выбираются в порядке их следования в исходной последовательности. .

Определение: Если , то -частичный предел последовательности .

Теорема (о частичных пределах сходящейся подпоследовательности): Пусть , тогда .

Доказательство:

Возьмем произвольный , тогда .

Возьмем произвольную . Обозначим . Тогда имеем:

. Таким образом:

.

Замечание: Понятие частичных пределов для сходящихся последовательностей не нужно.

БИЛЕТ 9. Лемма о вложенных отрезках.

Пусть = , =1,2,…, причем …, то есть ,

. Тогда , то есть .

Доказательство.

Рассмотрим , , ограничено сверху, так как любое является верхней границей множества в силу вложенности отрезков. . Тогда:

а) - верхняя граница , то есть .

б) - наименьшая из всех границ, то есть .

.

Замечание: Если в условиях леммы хотя бы один из концов исключить, то аналогичная лемма будет не верна.

.

( ] ] ] ]

0 1/3 1/2 1

БИЛЕТ 10. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Теорема: Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство: (метод деления пополам).

I). Проведем построение системы отрезков.

ограниченная .

Рассмотрим точку - середину отрезка .

1) В отрезке содержится бесконечное число элементов .

Тогда , .

2) В противном случае , , -содержит бесконечное число элементов .

Рассмотрим точку - середину и так далее.

1.

2. в содержится бесконечное число элементов .

3. .

II). Выбор подпоследовательности

По лемме о вложенных отрезках:

1) произвольный элемент из

2) элемент из :

………………………………………………….

k) элемент из :

Докажем, что .

0 ( ).

.

БИЛЕТ 11. Критерий Коши сходимости последовательности.

Теорема (критерий Коши): Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Замечание: Условие необходимости (=>), условие достаточности (<=), критерий- условие необходимости и достаточности (<=>).

1) Необходимость: (=>).

Пусть . Возьмем произвольный Тогда .

. Обозначим , тогда

.

фундаментальна.

2) Достаточность: (<=).

1. фундаментальна => ограниченная .

Возьмем , , тогда .

Обозначим . .

ограничена.

2. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

ограниченная => - сходящаяся. Обозначим

3. Докажем, что

Возьмем произвольный . фундаментальная => .