150237 (Динамічні процеси та теорія хаосу), страница 3

(2.1)

де _ - параметр (наприклад, швидкість рідини, амплітуда сили, що вимушує, або напруга, що вимушує), що управляє __с — критичне значення параметра _, при якому виникає хаотичний рух. Із збільшенням настроєння _ - __с тривалість хаотичного інтервалу збільшується, а тривалість періодичного інтервалу скорочується. Таке явище можна було б назвати повзучим хаосом.

Для експериментального визначення параметра __с необхідно зміряти два середні часи, <@>, і <@>2, при відповідних значеннях параметра, що управляє _₁ і _₂. Це дозволить опреде-шть коефіцієнт пропорційності в співвідношенні (2.1), а також величину __с. Але, встановивши «кандидата» в __с, необхідно потім зміряти інші значення (<@> _), щоб підтвердити закон подібності (2.1).

Випадок перехідного хаосу був досліджений Гребоги і ін. з Університету штату Меріленд в серії робіт по чисельних експериментах з двовимірними відображеннями. У роботах ці автори розгледіли двовимірне узагальнення одновимірного квадратичного різницевого рівняння, що отримало назву «Відображення Енона»:

де J — визначник якобиана, службовець коефіцієнтом стискування майданів при відображенні. У дослідженнях мэрилендской групи коефіцієнт J був вибраний рівним -0,3, а параметр ? варіювався в певних межах. Наприклад, при ? > ?₀ = 1,062371838 спостерігалося народження з траєкторій з періодом 6, дивного аттрактора, що складається з 6 окремих часток, який існує в діапазоні ?₀ < ? < ?_c = 1,080744879

При ? > ? _з траєкторія при ітераціях відображення Енона блукає навколо «примари» дивного аттрактора на плоскості; після чого в системі встановлюється періодичний режим з періодом 4.

Гребоги і ін. виявили, що середня тривалість <@> перехідного хаосу задовольняє закону подібності

(2.2)

Середнє було знайдене шляхом вибору 102 початкових умов при кожному виборі ?. Початкові умови вибиралися в первинній області тяжіння дивного аттрактора, що припинив існування. Тривалість таких перехідних хаотичних режимів може бути дуже велика. Наприклад, в разі відображення Енона Гребоги і його співробітники виявили, що <@> : 104 при і <@> : 103 при .

Та ж група дослідників виявила відображення, що породжують суперперехідний хаос, в якому тривалість перехідного періоду задовольняє закону подібності

. (2.3)

Ці результати дозволяють передбачити, що час життя деяких перехідних хаотичних режимів може перевершувати тривалість будь-якого експерименту. Математика, що зачіпає в цих дослідженнях, пов'язана з гомоклиническими точками перетину стійкого і нестійкого многообразий при відображеннях. Виникнення гомоклинических точок перетину мэрилендская група називає кризами.

2.2 Консервативний хаос

Хоча останнім часом активність в області нелінійної динаміки пов'язана переважно з хаосом в диссипативних системах, вже чималий час відома можливість хаотичної поведінки в бездиссипативных, або так званих консервативних, системах. По суті справи, саме пошук вирішень рівнянь небесної механіки привів в кінці XIX ст деяких математиків, наприклад Пумнкаре, до припущення, що вирішення багатьох завдань динаміки чутливі до початкових умов і тому деталі руху тіл по орбітах виявляються непередбачуваними.

Фізичні приклади консервативних систем пов'язані з проблемами розрахунку орбіт в небесній механіці і поведінки часток в електромагнітних полях. Зрозуміло тому, що велика частка роботи в цій області була виконана тими, хто займається фізикою плазми, астрономією і астрофізикою.

Хоча в більшості земних динамічних систем відбуваються деякі втрати енергії, в деяких з них, як, наприклад, в структурованих конструкціях або мікрохвильових резонаторах, загасання дуже слабо, і на кінцевих інтервалах часу вони можуть поводитися як консервативні або гамильтоновы системи. Як приклад можна привести технологічну конструкцію, що знаходиться на навколоземній орбіті. Крім того, динаміка консервативних систем є граничним випадком динамічного аналізу при слабкому загасанні.

Системи, в яких зберігається енергія, в типових випадках виявляють тих же типів обмежених коливальних рухів, що і системи з втратами. До таких рухів належать періодичні, субгармонійні, квазіперіодичні і хаотичні. Одна з основних відзнак між коливаннями в системах з втратами і без них полягає в тому, що хаотичні орбіти в системах з втратами виявляють фрактальну структуру фазових портретів, тоді як в бездиссипативных системах така структура відсутня.

У консервативних системах хаотичні орбіти прагнуть однорідно заповнити всі частки деякого підпростору у фазовому просторі; іншими словами, вони характеризуються однорідною щільністю вірогідності в обмежених областях фазового простору. Тому бездиссипативные системи мають інші відображення Пумнкаре, чим системи з дисипацією. Проте як і раніше застосовна така міра розбіжності близьких орбіт, як показники Ляпунова. Прикладом бездиссипативной системи є кулька, що підскакує на пружному столі, причому стіл рухається і передбачається, що при зіткненнях не втрачається енергія, тобто вони упруги.

3. Фізичні експерименти з хаотичними системами

3.1 Хаос в пружній безперервній середі

Ф. Мун досліджував проблеми двох типів. У завданнях одного класу рівняння в приватних похідних, що описує рух стрижня, лінійно, але нелінійні масові сили або граничні умови. У інших завданнях руху достатньо сильні, щоб в рівняннях руху стали істотними нелінійні члени.

При малих вигинах і відхиленнях рівняння руху пружного стрижня має вигляд

(3.1)

де ? — поперечний зсув стрижня, D — коефіцієнт пружної жорсткості, а m — маса на одиницю довжини. Права частка рівняння описує розподілені масові сили або внутрішнє загасання. У багатьох дослідах для створення нелінійних масових сил використовувалися постійні магніти.

Коли зсув і нахил осі стрижня великі, горизонтальний і вертикальний зсув і нахил характеризуються змінними (u ?, T), зв'язаними співвідношеннями

(3.2)

де ( )' = }/}s, а s — довжина, вимірювана уздовж деформованого стрижня (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Плоска деформація пружного стрижня.

Тоді рівняння збереження імпульсу набувають вигляду

(3.3)

Де

У цих рівняннях (fu, f_?) — компоненти масової сили, а T — осьова сила, що створює напругу в стрижні. Нелінійні члени відрізняються від характерних для механіки рідин тим, що сюди не входять переносні, або кінематичні, нелінійності. Крім того, локальна залежність напруги від деформації лінійна. Нелінійні члени виникають із-за зміни геометричної форми і називаються геометричними нелинейностями.

Магнітопружний зігнутий стрижень. Пружний стрижень, закріплений з одного боку, згинається магнітами, які поміщені поблизу його вільного кінця. Магнітні сили роблять нестійким прямий, незігнутий стан стрижня і створюють декілька положень рівноваги, одне з яких показане на мал. 3.2а. Після того, як такий вигин створений, система аналогічна частці в потенціалі з двох або більш за ями. Весь пристрій поміщається на вібростенд і коливається з постійною амплітудою і частотою. При слабких коливаннях стрижень залишається поблизу одного з положень рівноваги. Проте із зростанням амплітуди стрижень може вискочити з потенційної ями і зачинаються хаотичні рухи, при яких стрижень переходить з однієї ями в іншу. Відображення Пумнкаре для цього процесу показане на мал. 3.2б. (це відображення називається «Квіткою Пумнкаре».)

Рис. 3.2а. Пружний сталевий стрижень, зігнутий магнітними масовими силами і прикріплений до періодично рухомої підстави.

Рис. 3.2б. Отримане в експерименті відображення Пумнкаре для хаотичного руху стрижня, подовжньо зігнутого магнітними силами («квітка Пумнкаре»).

Для опису цієї системи використовується багатомодове наближення рівняння (3.1), в якому враховані нелінійні магнітний сили, що діють на вільний кінець стрижня.

Для стрижня із загасанням, закріпленого з одного боку, добрі результати дає одномодове наближення. Відповідне рівняння можна записати у вигляді системи трьох рівнянь першого порядку. Тут змінна x є безрозмірною амплітудою гармоніки:

(3.4)

Відображення Пумнкаре (рис. 3.2б) має вигляд, характерний для двовимірних точкових відображень. У типових випадках експерименти не виявили подвоєнь періоду перед переходом до хаотичного руху. Передвісниками хаосу часто виявлялися непарні субгармоніки.

Видозміною цього експерименту є перевернутий маятник з пружиною. Якщо пружина слабка, то, як і в завданнях з двома потенційними ямами, перевернутий маятник має два положення стійкої рівноваги.

Зігнутий стрижень з двома мірами свободи. Щоб вивчити роль додаткових мір свободи, був створений пружний аналог сферичного маятника, в якому використаний стрижень кругового перетину. Для вигинання стрижня як і раніше використовувалися магніти, але тепер його кінець міг рухатися в двох напрямах. В результаті з'явилися несумірні природні частоти і квазіперіодичні коливання, які врешті-решт перетворилися на хаотичних (рис. 3.3).

Рис. 3.3. а – Схема пружної лозини, що здійснює тривимірні рухи в парі потенційних ям, створених двома магнітами; б – накладені один на одного траєкторія руху у фазовому просторі і відображення Пумнкаре для квазіперіодичного руху (вгорі); відображення Пумнкаре для хаотичного руху (внизу).

Ета експериментальна модель описується рівняннями для двох зв'язаних осциляторів:

(3.5а)

(3.5б)

Члени f0 і f2 описують дію тяжіння, якщо початкове положення стрижня не вертикально, а члени, що зв'язують ці рівняння, потенційні. Якщо зв'язок слабкий, можна вирішити рівняння (3.5б) відносно біля(t), і рівняння для х(t) набуває вигляду рівняння параметричних коливань.

Пружний стрижень з нелінійними граничними умовами. Для того, щоб отримати хаотичні коливання в механічній системі, не обов'язково мати декілька положень рівноваги. Будь-яка сильна нелінійність також, швидше за все, викличе хаотичний шум при періодичній зовнішній дії. Одним з прикладів системи з одним положенням рівноваги є пружний стрижень з нелінійними граничними умовами. Нелінійними називаються такі граничні умови, які залежать від руху. Наприклад, передбачимо, що кінець стрижня може вільно рухатися в одному напрямі, а рух в іншому напрямі заборонений. Хаотична поведінка такого стрижня показана на рис. 3.4. Модифікацією цього прикладу є двостороннє обмеження із зазором, при якому вигин стрижня може відбуватися в трьох різних режимах.

Рис. 3.4. Хаотичні коливання пружного стрижня з нелінійною граничною умовою.

3.2 Тривимірні пружні стрижні і струни

За певних умов вимушений плоский рух нелінійного пружного стрижня (балки, смужки) описуваний рівнянням (3.3), стає нестійким і виникають тривимірні рухи. Схоже явище відоме і для плоского руху натягнутої струни. Було проведено декілька експериментів з товщиномірами — дуже тонкими, гнучкими, пружними сталевими стрижнями прямокутного перетину (наприклад, 0,25 мм x 10 мм x 20 см) (мал. 3.5). Їх слабкий бічний рух (по відношенню до незігнутого стрижня) майже неможливий без подовжнього вигину або перекосу локальних поперечних перетинів. Проте при сильному вигині в «дозволеному» напрямі стають можливими і бічні зсуви, що супроводяться перекосом поперечних перетинів.

Рис. 3.5. Схема пружної структури, що здійснює руху як в плоскості коливання, що вимушує, так і в ортогональному напрямі

Плоскі коливання стрижня в «дозволеному» напрямі на частоті, близькій до однієї з багатьох власних частот, стають не лише нестійкими, але і хаотичними. Це видно з мал. 3.6, де в спектрі потужності отриманому швидким перетворенням Фурье, присутній широкий діапазон частот, тоді як зовнішнє збудження відбувається на одній частоті. Схожі явища відбуваються з дуже тонкими листками паперу. Хаотичні рухи дуже тонких листків паперу викликають широкосмуговий акустичний шум в повітрі, що оточує їх.

Рис. 3.6. Фурье-спектри вимушених коливань тонкого пружного стрижня. Широкосмуговий хаотичний спектр є наслідком тривимірності коливань.

3.3 Хаос в матричному друкуючому пристрої

Завдання із зіткненнями складають цілий клас наочних прикладів хаотичних коливань в механіці. Практичною реалізацією викликаних зіткненнями хаотичних коливань є експеримент з бойками (голками) друкуючого пристрою, поставлений Хендріксом (рис. 3.7).