150237 (Динамічні процеси та теорія хаосу), страница 5

(4.10)

або еквівалентне співвідношення:

(4.11)

Неважко відмітити, що визначення (4.10) для d збігається з визначенням dH при а > :. Дійсно, згідно (4.5) тільки величина

(4.12)

залежить в чисельнику формули (4.10) від а. Тому

З іншого боку, можна вважати оператора за відповідного операторові ренормализационной групи, що має по припущенню нерухому точку A*. Співвідношення (4.10) виникло унаслідок існування нерухомої крапки.

Описані вище міркування дозволяють поглянути на фрактальну розмірність як на розмірність подібності об'єму фігури, відповідній нерухомій крапці.

Слід зазначити, що ренормализационным властивістю може володіти і така характеристика системи, яка, взагалі кажучи, не пов'язана з розмірністю безлічі.

4.2 Фрактали і хаос

Хаос, що виникає з динамічних рівнянь, за природою своєю фрактальний.

Його фрактальний характер обумовлений тією властивістю траєкторій, яка перетворює їх з регулярних або періодичних в стохастичних. Дійсно, регулярна траєкторія має dH = dT = 1. Проте локальна нестійкість ускладнює траєкторію, роблячи її все більш заплутаною і непередбачуваною. Поява фрактальних властивостей в K-системах відбувається в різних місцях і в різноманітних їх властивостях. Наведемо деякі приклади фрактального характеру К-систем.

Розмірність стохастичного аттрактора. Найбільш сильно фрактальні властивості виявляються на стохастичних аттракторах. Розгледимо для визначеності стандартне диссипативне відображення

(4.13)

куди входять дві константи: – коефіцієнт дисипації і K (або K0) – константа обурення. Якобіан відображення (4.13) рівний

(4.14)

і тому два характеристичні числа на n-м кроці відображення і задовольняють нерівності

(4.15)

яке не залежить від n. Зокрема, при великих значеннях K > 1 майже усюди, за винятком малих областей по ? маємо оцінку

(4.16)

Тепер за допомогою цієї інформації поставимо питання про хаусдорфовой розмірність стохастичного аттрактора, що породжується рівняннями (4.13).

Спершу покладемо, що відображення характеризується двома постійними, тобто не залежними від n характеристичними числами ?⁺ і ?^-. Тоді цей факт можна уявити собі таким чином. Існує напрям, уздовж якого елемент фазового об'єму розтягується в ?⁺ раз і існує ортогональний напрям, уздовж якого фазовий об'єм стискується в ?^- раз. Якщо у формулі (4.2) для dH вибирати

на n-м кроці відображення, то rn прагнутиме до нуля при n > :. При цьому число областей, що покривають фазовий об'єм, рівне на n-м кроці

Використовуючи ці вирази, отримуємо

(4.17)

Якщо відображення зберігає міру, то

і, отже, згідно (4.17) для нього

(4.18)

Це і слід було чекати, оскільки стохастична траєкторія достатньо рівномірно заповнює плоскість унаслідок перемішування. Хоча розмірність (4.18) — ціла, то це фрактал, оскільки dH > dT = 1. У випадку

(4.19)

з формули (4.17) маємо

, (4.20)

тобто розмірність стохастичного аттрактора є дробом. Вона лежить в інтервалі (4.2), оскільки аттрактор заповнює фазову плоскість, утворюючи канторово безліч в перетині.

Повернемося тепер до відображення (4.13) і вважатимемо, що для його параметрів K і виконані умови, що приводять до появи стохастичного аттрактора. Характеристичні числа залежать від n. В цьому випадку для хаусдорфовой розмірності виходить та ж формула (4.18), в якій слід перевизначити величини ?^± таким чином:

. (4.21)

Вираження (4.21) можна сильно спростити, відмітивши, що воно прагне до деякої невипадкової межі. Випадковими є числа, оскільки вони залежать від змінних ?_i, що належать стохастичному аттрактору. Представимо ?^± з (4.21) у вигляді

.

Унаслідок закону великих чисел права частка самоусредняется і дає

(4.22)

Де

?(x, z) – стаціонарна функція розподілу на стохастичному аттракторе.

Підстановка (4.22) в (4.20) дає

(4.23)

де введена К-атропія:

.

При малих значеннях дисипації розмірність аттрактора близька до двох:

(4.24)

Якщо вважати K за великий, то з (4.16) і (4.24) слідує формула

що показує відхилення розмірності від двійки. Це відхилення має простий сенс, який можна легко використовувати для якісних оцінок складніших систем. Зменшення розмірності відбувається на величину, рівну відношенню коефіцієнта дисипації (коефіцієнта стискування траєкторій) до коефіцієнта розгону траєкторій (інкременту локальної нестійкості).

Висновок

Підведемо підсумки виконаної роботи. Була вивчена література по теорії хаосу, інформація, розміщена в глобальній мережі Internet. Вся важлива отримана інформація міститься в роботі.

Головні завдання курсової роботи були вирішені: вивчена достатньо кількість спеціальної літератури; був вивчений хаос

Дана курсова робота у зв'язку з наявністю теоретичного матеріалу, може бути використана для подальшого вивчення рекурсій на прикладах теорії хаосу.

Список використаної літератури

1. Мун Ф. «Хаотичні коливання: Ввідний курс для науковців і инженеров»/ М.: Мир, 1990.

2. Заславський г.М., Сагдєєв р.З. «Введення в нелінійну фізику. Від маятника до турбулентності і хаоса»/ М.: Наука, 1988.

3. Аммерал Л. «Машинна графіка на ПК», 1992.

4. Никульн е.А. «Комп'ютерна геометрія і алгоритми машинної графики»/ Спб.: БХВ-Петербург, 2003.