150237 (Динамічні процеси та теорія хаосу), страница 2

(Мал. 1.5). Маємо для

(1.17)

Рис. 1.5. Побудова універсального відображення.

Щоб отримати , проінтегруємо систему (1.14) в малій околиці біля моменту поштовху (t0 - 0, t0 + 0). Врахуємо при цьому, що змінна x безперервна. Тому в крапці t0 функція V(x)= V(I ?) безперервна. Маємо

(1.18)

Рівняння (1.18) визначають :

(1.19)

Підставляючи (1.17), (1.19) в (1.16), отримуємо рівняння (1.15) в явному вигляді:

(1.20)

Це і є універсальне відображення. Воно допускає ще одне спрощення, якщо потенціал обурення залежить тільки від узагальненої координати ? і не залежить від імпульсу I. Тоді (1.20) перетворюється на наступне відображення:

(1.21)

Остання модифікація пов'язана з вибором функції V(?). Це має бути періодична функція, і можна покласти V(?)= V0cos ?. Ще одне спрощення пов'язане з простим вибором функції ?(I): ? (I) = ?₀ + ?’I. Це дає

(1.22)

де позначено

(1.23)

Рівняння (1.22) називають також стандартним відображенням зважаючи на його максимальну простоту.

Приведемо також вид гамильтониана, відповідного спрощеному відображенню (1.22):

(1.24)

Лінійний член ?₀I у гамильтониане H зникає при ?₀ = 0. Квадратичний член по дії I при цьому залишається, оскільки через визначення (1.23) величина ??₀ відмінна від нуля при ?₀ = 0.

Структура фазового простору. Запишемо систему (1.22) в спрощеній формі, опустивши постійне зрушення фази ?₀T і перейшовши до безрозмірної дії:

Отримуємо (1.25)

Нерухомі точки системи (1.25) знаходяться з рівнянь тобто

Звідси знаходимо особливі крапки

Точки r1 є нестійкими крапками. Поведінка траєкторій поблизу них показує, що ці точки гіперболічного типа.

Рис. 1.6. Фазовий портрет стандартного відображення при малих значеннях K

Рис. 1.7. Фазовий портрет стандартного відображення при K : 1; Ci – інваріантні криві

Точки r2 є еліптичними, якщо К0 < 4. Фазовий портрет системи для малих K0 приведений на мал. 1.6. Із зростанням К0 в системі відбуваються біфуркації народження кратних періодів, а при K0 поблизу одиниці з'являється в околиці сепаратрисы широкий стохастичний шар (мал. 1.7). Різні стохастичні шари відокремлені один від одного інваріантними кривими, що існують унаслідок теореми Колмогорова—арнольда—мозера.

Стохастичне море. Подальше збільшення параметра K0 приводить до руйнування КАМ-КРІВИХ і злиттю стохастичних шарів. Утворюється стохастичне море, в якому, проте, існують острівці стійкості (мал. 1.8). Острівці залишаються завжди при будь-яких скільки завгодно великих значеннях K0. Їх розмір в цьому випадку має порядок 1/K0, а відображення (1.25) із зростанням К0 стає все ближчим до У-системе.

Наявність острівців стійкості є фундаментальною властивістю реальних фізичних систем. Все сказане вище без зусиль переноситься на універсальне відображення (1.20), і відзнака виражається кінець кінцем лише у формі і числі острівців.

Сама структура острівців також є незвичайно складною заплутаною картиною. Існують системи острівців різних порядків розмірів, що все більш і більш зменшуються (мал. 1.9). Утворення стохастичного шару відбувається в околиці сепаратрисы при K0 < 0,97, а в області значень K0 > 0,97 відбувається злиття стохастичних шарів з утворенням спільного стохастичного моря. Таким чином, область переходу до хаосу є дуже вузькою.

Рис. 1.8. Утворення стохастичного моря

Рис. 1.9. Острівці різних порядків в стохастичному морі. Окремі, безладно розташовані крапки належать одній траєкторії

У міру подальшого зростання параметра K0 > 1 стохастичне море заповнює все велику частку фазового простору. В той же час острівці стійкості зменшуються в своїх розмірах. Одночасно зменшується і відносна міра острівців.

1.4 Стохастичні аттрактори

Відзначимо деякі істотні сторони появи стохастичності в негамильтоновских диссипативних системах. Існування дисипації приводить до зменшення фазового об'єму системи.

Фінітность руху. Наступне нижче зауваження перш за все відноситься до поняття локальної нестійкості. Очевидно, що поява цієї нестійкості формулюється настільки універсальним способом, що він не пов'язаний з конкретним детальним видом динамічної системи.

Хай, наприклад, рівняння руху має тривіальний вигляд:

(1.26)

Його рішення

показує відразу нестійкість щодо обурень початкової умови:

(1.27)

З іншого боку, очевидно, що, не дивлячись на властивість (1.27), ніякої стохастичності в системі (1.26) не немає. Парадокс пов'язаний з тим, що система (1.26) здійснює инфинитное рух, в якому траєкторії можуть розходитися достатньо далеко і достатньо швидко із-за необмеженості фазового простору.

Ситуація змінюється, якщо замість (1.26) розгледіти систему, фазовий простір якого фінітного

(1.28)

Тут є стохастичність при K > 1. Дуже важлива умова, що накладається на розглядувані далі системи, — финитность їх динаміки у фазовому просторі. Цього зауваження набуває глибший сенс для диссипативних систем, де осциляторна динаміка може бути взагалі відсутньою. Зокрема, характеристичні показники можуть не мати уявної частки ні при яких реальних значеннях параметрів.

Аттрактори і репеллери. Порівняльний аналіз особливостей на фазовій плоскості для гамильтоновских і диссипативних систем якнайкращим способом представляє їх відмінність. Структура фазового простору в диссипативному випадку набагато багатша, і тому тут слід чекати різноманітнішу динаміку систем.

Однією з відмітних властивостей диссипативних систем є існування аттракторов і репеллеров. Під «аттрактором» розуміється будь-яка притягуюча безліч. Прикладами аттракторов можуть бути стійкий фокус, стійкий граничний цикл. «Репеллером» є відштовхуюча безліч крапок. Такою властивістю володіють, наприклад, нестійкий фокус і нестійкий граничний цикл. При t > : фазові траєкторії все ближче наближаються до аттрактору. Система наближається до деякого сталого режиму, точки якого належать безлічі А+, що є аттрактором. Аттрактор є інваріантна безліч, тобто

Репеллер легко зрозуміти, якщо представити його як аттрактор А-, до якого прагнуть фазові траєкторії при t > -. Він також є інваріантним безліччю:

Стохастичний аттрактор. На перший погляд здається, що існування аттракторов виключає можливість стохастичної динаміки у фазовому просторі, оскільки з часом відстань між крапками фазової траєкторії і точками безлічі А+ повинно прагнути до нуля. Тому з часом траєкторія все більше наближається до крапки або циклу, в структурі яких немає нічого випадкового. Природа, проте, розпорядилася інакше.

Існує притягуюча безліч, сама структура якої є дуже складною. Її не просто описати, але можна вказати її головну особливість. Динаміка крапки на такій структурі в будь-якому можливому для аналізу сенсі є випадковою подібно до того, як це має місце в гамильтоновских системах. Така притягуюча безліч, на якій реалізується стохастична динаміка, називатимемо стохастичним аттрактором. У поняття стохастичності вкладаються, по суті, ті ж не дуже строго певні поняття, що апелюють швидше до фізичного сенсу, чим до строгого визначення. Перерахуємо їх.

1. Система здійснює фінітний рух.

2. У кінцевій області фазового простору є локальна нестійкість. Розгледимо цей пункт докладніше.

У гамильтоновских системах траєкторія достатньо швидко заповнювала весь фазовий простір унаслідок ергодичності і перемішування. Тепер ці поняття представляються анахронізмом, оскільки траєкторія притягується до деякої безлічі As, яка не лише є частка фазового простору, але і може мати нульову міру. Можна, проте, вчинити таким чином. Скористаємося інваріантністю As

(1.29)

і тим, що через деякий не дуже великий час точки фазової траєкторії дуже близькі до точок As. Тому поняття локальної нестійкості можна ввести не у фазовому просторі Г, а в :

(1.30)

тут індекс As при D означає, що відстань D береться між двома траєкторіями, початкові точки яких належать As.

Наступне важливе зауваження дозволяє зняти індекс As (1.30). Якщо t0 не дуже мало, то відзнака положення точок реальної траєкторії від положення відповідних точок As мало. Їм можна нехтувати, і тому расходимость траєкторій згідно із законом

(1.31)

відбуватиметься для будь-якої пари крапок в деякій області фазового простору кінцевої міри, якщо тільки виконана важлива нерівність

(1.32)

Доказ існування часу може виявитися достатньо складним для реальних систем, хоча сам факт його існування може представлятися цілком очевидним.

3. Існують змінні z такі, що розчіпляється корелятор

(1.33)

де f і g - деякі інтегровані функції і

(1.34)

Так само, як і при переході від (1.30) до (1.31), нерівність (1.32) дозволяє зняти індекс As у формулах (1.33) і (1.34). Тоді їх вигляд нічим не відрізняється від визначень в гамильтоновском випадку, якщо замінити dAs(z) на dГ(z) в (1.34).

Властивість (1.34) означає існування процесу перемішування, який, проте, реалізується тепер не на всьому фазовому просторі, а на деякій безлічі As. Виправданням цьому є те, що при виконанні нерівності (1.32) відзнака області, фазовою траєкторією, що покривається, від As мало.

2. Хаотичні коливання

2.1 Перемежана і перехідний хаос

Двома іншими формами непередбачуваних, нерегулярних рухів є перемежана і перехідний хаос. В разі перемежаної сплески хаотичного руху, або шуму, чергуються з періодами регулярного руху (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Переміжний хаотичний рух.

Таку поведінку спостерігав ще Рейнольдс в своїх експериментах по вивченню передтурбулентного режиму в трубах (1883 р.). Перехідний хаос спостерігається також в деяких системах як передвісник стаціонарного хаосу. За певних початкових умов система може поводитися квазівипадковим чином, тобто її траєкторії можуть рухатися у фазовому просторі, неначебто вони знаходилися на дивному аттракторе, але через деякий час рух виходить на регулярний аттрактор, як в разі періодичних коливань. Інколи для експериментального визначення критичного параметра для перемежаної і перехідного хаосу використовуються властивості подібності нелінійного руху. В разі перемежаної, коли поведінка системи близька до періодичного руху, але час від часу зазнає короткі сплески перехідного хаосу, пояснення такої поведінки в термінах одновимірних відображень, або різницевих рівнянь, була дане Манневілем і Помо.

Як показали чисельні експерименти з відображеннями, середня тривалість періодичного руху <@> між двома послідовними хаотичними сплесками складає величину