86019 (Вычислительная математика), страница 8

a₀ + a₁ + … +a_m = , k = 0, 1, … , m (4.16)

Введем обозначения:

c_k = , b_k = .

Система (4.16) может быть записана так:

a₀c_k + a₁c_k+1 + … + c_k+ma_m = b_k, k = 0, 1, … , m. (4.17)

Перепишем систему (4.17) в развернутом виде:

c₀a₀ + c₁a₁ + c₂a₂… + c_ma_m = b₀

c₁a₀ + c₂a₁ + c₃a₂… + c_m+1a_m = b₁

(4.18)

c_ma₀ + c_m+1a₁ + c_m+2a₂… + c_2ma_m = b_m

Матричная запись системы (4.18) имеет следующий вид:

Ca = b. (4.19)

Для определения коэффициентов a_k, k = 0, 1, … , m, и, следовательно, искомого многочлена (4.14) необходимо вычислить суммы c_k, b_k и решить систему уравнений (4.18). Матрица C системы (4.19) называется матрицей Грама и является симметричной и положительно определенной. Эти полезные свойства используются при решении.

Погрешность приближения в соответствии с формулой (4.13) составит

= . (4.20)

Рассмотрим частные случаи m =1 и m = 2.

1. Линейная аппроксимация (m = 1).

P₁(x) = a₀ + a₁x.

c₀ = = n + 1; c₁ = = ; c₂ = ; (4.21)

b₀ = = ; b₁ = = . (4.22)

c₀ c₁ n+1

C = = ,

c₁ c₂

b = (b₀, b₁)^T = ( , )^T.

Решение системы уравнений Ca = b найдем по правилу Крамера:

a₀ = , a₁ = ,

где C – определитель матрицы C, аC_i – определитель матрицы C_i, полученной из матрицы C заменой i-го столбца столбцом свободных членов b, i = 1, 2.

Таким образом,

a₀ = , a₁ = . (4.23)

Алгоритм 4.1 (Алгоритм метода наименьших квадратов. Линейная аппроксимация).

Шаг 1. Ввести исходные данные: x_i, y_i, i=0, 1, 2, ... , n.

Шаг 2. Вычислить коэффициенты c₀, c₁, b₀, b₁ по формулам (4.21), (4.22).

Шаг 3. Вычислить a₀, a₁ по формулам (4.23).

Шаг 4. Вычислить величину погрешности

₁ = . (4.24)

Шаг 5. Вывести на экран результаты: аппроксимирующую линейную функцию P₁(x) = a₀ + a₁x и величину погрешности ₁.

2. Квадратичная аппроксимация (m = 2).

P₂(x) = a₀ + a₁x + a₂x².

c₀ = = n+1; c₁ = = ; c₂ = ; c₃ = ; c₄ = . (4.25)

b₀ = = ; b₁ = = ; b₂ = . (4.26)

c₀ c₁ c₂

C = c₁ c₂ c₃ .

c₂ c₃ c₄

b = (b₀, b₁, b₂)^T .

Решение системы уравнений Ca = b найдем по правилу Крамера:

a_i = , i = 0, 1,

где C – определитель матрицы C, аC_i – определитель матрицы C_i, полученной из матрицы C заменой i-го столбца столбцом свободных членов b.

C = c₀c₂c₄ + 2c₁c₂c₃ – c – с c₄ – c c₀. (4.27)

b₀ c₁ c₂

C₁ = b₁ c₂ c₃ = b₀c₂c₄ + b₂c₁c₃ + b₁c₂c₃ – b₂c – b₁c₁c₄ – b₀c . (4.28)

b₂ c₃ c₄

c₀ b₀ c₂

C₂ = c₁ b₁ c₃ = b₁c₀c₄ + b₀c₂c₃ + b₂c₁c₂ – b₁c – b₀c₁c₄ – b₂c₀c₃. (4.29)

c₂ b₂ c₄

c₀ c₁ b₀

C₃ = c₁ c₂ b₁ = b₂c₀c₂ + b₁c₁c₂ + b₀c₁c₃ – b₀c – b₂c – b₁c₀c₃. (4.30)

c₂ c₃ b₂

a₀ = , a₁ = , a₂ = . (4.31)

Алгоритм 4.2 (Алгоритм метода наименьших квадратов. Квадратичная аппроксимация).

Шаг 1. Ввести исходные данные: x_i, y_i, i=0, 1, 2, ... , n.

Шаг 2. Вычислить коэффициенты c₀, c₁, c₂, c₃, c₄, b₀, b₁, b₂, по формулам (4.25), (4.26).

Шаг 3. Вычислить C, C₁, C₂, C₃ по формулам (4.27) – (4.30).

Шаг 4. Вычислить a₀, a₁, a₂ по формулам (4.31).

Шаг 5. Вычислить величину погрешности

₂ = . (4.32)

Шаг 5. Вывести на экран результаты : аппроксимирующую квадратичную функцию P₂(x) = a₀ + a₁x + a₂x² и величину погрешности ₂.

Пример 4.6.

Построим по методу наименьших квадратов многочлены первой и второй степени и оценим степень приближения. Значения y_i в точках x_i , i =0, 1, 2, 3, 4 приведены в таблице 2.3.

Таблица 4.1

Вычислим коэффициенты c₀, c₁, c₂, c₃, c₄, b₀, b₁, b₂, по формулам (4.25), (4.26):

c₀ = 5; c₁ = 15; c₂ = 55; c₃ = 225; c₄ = 979;

b₀ = 12; b₁ = 53; b₂ = 235.

1. Линейная аппроксимация (m =1).

Система уравнений для определения коэффициентов a₀ и a₁ многочлена первой степени P₂(x) = a₀ + a₁x + a₂x² имеет вид

5a₀ + 15a₁ = 12

15a₀ + 55a₁ = 53

По формулам (4.23) найдем коэффициенты a₀ и a₁:

a₀ = –2.7, a₁ = 1.7.

P₁(x) = a₀ + a₁x = –2.7 + 1.7x.

2. Квадратичная аппроксимация (m =2).

Система уравнений для определения коэффициентов a₀, a₁ и a₂ многочлена второй степени P₂(x) = a₀ + a₁x + a₂x² имеет вид

5a₀ + 15a₁ + 55a₂ = 12

15a₀ + 55a₁ + 225a₂ = 53

55a₀ + 225a₁ + 979a₂ = 235

По формулам (4.31) найдем коэффициенты a₀, a₁ и a₂:

a₀ –2.20, a₁ 1.27, a₂ 0.07.

P₂(x) = a₀ + a₁x + a₂x² = –2.20 + 1.27x + 0.07x².

Сравним значения, рассчитанные для функциональной зависимости, с исходными данными. Результаты приведены в табл.2.4.

Таблица 4.2

Погрешность приближения в соответствии с формулами (4.24) и (4.32) составит

₁ = = 0.245.

₂ = = 0.084.

Тема 5. Численное интегрирование функций одной переменной

5.1 Постановка задачи численного интегрирования

Далеко не все интегралы можно вычислить по известной из математического анализа формуле Ньютона – Лейбница:

I = = F(b) – F(a), (5.1)

где F(x) – первообразная функции f(x). Например, в элементарных функциях не выражается интеграл . Но даже в тех случаях, когда удается выразить первообразную функцию F(x) через элементарные функции, она может оказаться очень сложной для вычислений. Кроме того, точное значение интеграла по формуле (5.1) нельзя получить, если функция f(x) задается таблицей. В этих случаях обращаются к методам численного интегрирования.

Суть численного интегрирования заключается в том, что подынтегральную функцию f(x) заменяют другой приближенной функцией, так, чтобы, во-первых, она была близка к f(x) и, во вторых, интеграл от нее легко вычислялся. Например, можно заменить подынтегральную функцию интерполяционным многочленом. Широко используют квадратурные формулы:

, (5.2)

где x_i – некоторые точки на отрезке [a, b],называемые узлами квадратурной формулы, A_i – числовые коэффициенты, называемые весами квадратурной формулы, n 0 – целое число.

5.2 Метод прямоугольников

Формулу прямоугольников можно получить из геометрической интерпретации интеграла. Будем интерпретировать интеграл как площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = f(x), осью абсцисс и прямыми x = a и x = b (рис. 5.1).

Рис. 5.1

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей длиной h, так, что h = . При этом получим точки a = x₀ < x₁< x₂ < … < x_n = b и x_i+1 = x_i + h, i = 0, 1, … , n – 1 (рис. 5.2)

Рис. 5.2

Заменим приближенно площадь криволинейной трапеции площадью ступенчатой фигуры, изображенной на рис. 5.3.

Рис. 5.3

Эта фигура состоит из n прямоугольников. Основание i-го прямоугольника образует отрезок [x_i, x_i+1] длины h, а высота основания равна значению функции в середине отрезка [x_i, x_i+1], т е. f (рис. 5.4).

Рис. 5.4

Тогда получим квадратурную формулу средних прямоугольников:

I = I_пр = (5.3)

Формулу (5.3) называют также формулой средних прямоугольников. Иногда используют формулы

I I = , (5.4)

I I = , (5.5)

которые называют соответственно квадратурными формулами левых и правых прямоугольников.

Геометрические иллюстрации этих формул приведены на рис. 5.5 и 5.6.

Рис. 5.5

Рис. 5. 6

Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы прямоугольников воспользуемся следующей теоремой .

Теорема 5.1. Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [a, b]. Тогда для формулы прямоугольников справедлива следующая оценка погрешности: