86019 (Вычислительная математика), страница 7

T_n(x) – многочлен Тейлора:

T_n(x)= c₀ + c₁(x – a) + c₂(x – a)² + … + c_n(x – a )ⁿ, (4.1)

R_n(x) – остаточный член формулы Тейлора. Его можно записать различными способами, например, в форме Лагранжа:

R_n(x)= , a x.

Многочлен Тейлора (4.1) обладает свойством, что в точке x = a все его производные до порядка n включительно совпадают с соответствующими производными функции f, т. е.

T (a)= f^(k)(a), k = 0, 1, …, n.

В этом легко убедиться, дифференцируя T_n(x). Благодаря этому свойству многочлен Тейлора хорошо приближает функцию f в окрестности точки a. Погрешность приближения составляет

|f(x) – T_n(x)| = |R_n(x)|,

т. е. задавая некоторую точность > 0, можно определить окрестность точки a и значение n из условия:

| R_n(x)| = < . (4.2)

Пример 4.1.

Найдем приближение функции y = sinx многочленом Тейлора в окрестности точки a = 0. Воспользуемся известным выражением для k-ой производной функции sinx:

( sinx)^(k) = sin x + k (4.3)

Применяя последовательно формулу (4.3), получим:

f(0) = sin0 = 0;

f '(0) = cos(0) = 1;

f"(0) = –sin0 = 0;

f^(2k-1)(0) = sin (2k – 1) = (–1)^{k – 1} ;

f^(2k)(0) = 0;

f^(2k+1)() = (–1)^kcos .

Следовательно, многочлен Тейлора для функции y = sinx для n = 2k имеет вид:

sinx = x – + … + (–1)^{k – 1} + R_2k(x),

R_2k(x) = (–1)^k .

Зададим = 10 ^–4 и отрезок [– , ]. Определим n =2k из неравенства:

|R_2k(x)| = < < < = 10^-4.

Т аким образом, на отрезке – , функция y = sinx с точностью до = 10^-4 равна многочлену 5-ой степени:

sinx = x – + = x – 0.1667x³ + 0.0083x⁵.

Пример 4.2.

Найдем приближение функции y = e^x многочленом Тейлора на отрезке [0, 1] с точностью = 10 ^–5.

Выберем a = ½, т. е в середине отрезка. При этом величина погрешности в левой части (4.2) принимает минимальное значение. Из математического анализа известно, что для k-ой производной от e^x справедливо равенство:

(e^x)^(k) = e^x.

Поэтому

(e^a)^(k) = e^a = e^1/2,

Следовательно, многочлен Тейлора для функции y = e^x имеет вид:

e^x = e^{1/2 +} e^1/2(x – ½) + (x – ½)² + … + (x – ½)ⁿ+ R_n(x),

При этом, учитывая, что x [0, 1], получим оценку погрешности:

|R_n(x)| < . (4.4)

Составим таблицу погрешностей, вычисленных по формуле (4.4):

Таким образом, следует взять n = 6.

4.3 Интерполяция функции многочленами Лагранжа

Рассмотрим другой подход к приближению функции многочленами. Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a, b] и известны значения этой функции в некоторой системе узлов x_i [a, b], i = 0, 1, … , n. Например, эти значения получены в эксперименте при наблюдении некоторой величины в определенных точках или в определенные моменты времени x₀, x₁, … , x_n. Обозначим эти значения следующим образом: y_i = f(x_i), i = 0, 1, … , n. Требуется найти такой многочлен P(x) степени m,

P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_mx^m, (4.5)

который бы в узлах x_i, i = 0, 1, … , n принимал те же значения, что и исходная функция y = f(x), т. е.

P(x_i) = y_i, i = 0, 1, … , n. (4.6)

Многочлен (4.5), удовлетворяющий условию (4.6), называется интерполяционным многочленом.

Другими словами, ставится задача построения функции y = P(x), график которой проходит через заданные точки (x_i, y_i), i = 0, 1, … , n (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Объединяя (4.5) и (4.6), получим:

a₀ + a₁x_i + a₂x + … + a_mx = y_i, i = 0, 1, … , n. (4.7)

В искомом многочлене P(x) неизвестными являются m +1 коэффициент a₀ , a₁, a₂, …, a_m. Поэтому систему (4.7) можно рассматривать как систему из n +1 уравнений с m +1 неизвестными. Известно, что для существования единственного решения такой системы необходимо , чтобы выполнялось условие: m = n. Таким образом, систему (4.7) можно переписать в развернутом виде:

a ₀ + a₁ x₀ + a₂x + … + a_nx = y₀

a₀ + a₁ x₁ + a₂x + … + a_nx = y₁

a₀ + a₁ x₂ + a₂x + … + a_nx = y₂ (4.8)

.

a₀ + a₁ x_n + a₂x + … + a_nx = y_n

Вопрос о существовании и единственности интерполяционного многочлена решает следующая теорема:

Теорема 4.1. Существует единственный интерполяционный многочлен степени n, удовлетворяющий условиям (4.6).

Имеются различные формы записи интерполяционного многочлена. Широко распространенной формой записи является многочлен Лагранжа

L_n(x) = = . (4.9)

В частности, для линейной и квадратичной интерполяции по Лагранжу получим следующие интерполяционные многочлены:

L₁(x) = y₀ + y_{1 ,}

L₂(x) = y₀ + y₁ + y₂ .

Пример 4.3.

Построим интерполяционный многочлен Лагранжа по следующим данным:

Степень многочлена Лагранжа для n +1 узла равна n. Для нашего примера многочлен Лагранжа имеет третью степень. В соответствии с (4.9)

L₃(x) = 1 +3 + 2 + 5 = 1 + x – x² + x³.

Пример 4.4.

Рассмотрим пример использования интерполяционного многочлена Лагранжа для вычисления значения заданной функции в промежуточной точке. Эта задача возникает, например, когда заданы табличные значения функции с крупным шагом, а требуется составить таблицу значений с маленьким шагом.

Для функции y = sinx известны следующие данные.

Вычислим y(0.25).

Найдем многочлен Лагранжа третьей степени:

L₃(x) = 0 + +

+ 1 .

При x = 0.25 получим y(0.25) = sin 0.25 0.249.

Погрешность интерполяции. Пусть интерполяционный многочлен Лагранжа построен для известной функции f(x). Необходимо выяснить, насколько этот многочлен близок к функции в точках отрезка [a, b], отличных от узлов. Погрешность интерполяции равна |f(x) – P_n(x)|. Оценку погрешности можно получить на основании следующей теоремы.

Теорема 4.2. Пусть функция f(x) дифференцируема n +1 раз на отрезке [a, b], содержащем узлы интерполяции x_i [a, b], i = 0, 1, … , n. Тогда для погрешности интерполяции в точке x [a, b] справедлива оценка:

|f(x) – L_n(x)| |_n+1(x)|, (4.10)

где

M_n+1 = |f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)|,

_n+1(x) = (x – x₀)(x – x₁)…. (x – x_n).

Для максимальной погрешности интерполяции на всем отрезке [a, b] справедлива оценка:

|f(x) – L_n(x)| |_n(x)| (4.11)

Пример 4.5.

Оценим погрешность приближения функции f(x) = в точке x = 116 и на всем отрезке [a, b], где a = 100, b = 144, с помощью интерполяционного много члена Лагранжа L₂(x) второй степени, построенного с узлами x₀ = 100, x₂ = 144.

Найдем первую, вторую и третью производные функции f(x):

f '(x)= x ^{– 1/2}, f "(x)= – x ^–3/2, f'''(x)= x ^–5/2.

M₃ = | f'''(x)| = 100 ^–5/2 = 10 ^–5.

В соответствии с (4.9) получим оценку погрешности в точке x = 116:

| – L₂(116)| |(116 – 100)(116 – 121)(116 – 144)| = 10 ^–516528 = 1.410 ^{– 3}.

Оценим погрешность приближения функции f(x) = на всем отрезке в соответствии с (4.11):

| – L₂(x)| |(x – 100)(x – 121)(x –144)| 2.510^–3.

4.4 Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов

В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или в виде набора точек с координатами (x_i, y_i), i = 0, 1, 2,... , n, где n – общее количество точек. Как правило, эти табличные данные получены экспериментально и имеют погрешности (рис. 2.5)

Рис.4.2

При аппроксимации желательно получить относительно простую функциональную зависимость (например, многочлен), которая позволила бы "сгладить" экспериментальные погрешности, вычислять значения функции в точках, не содержащихся в исходной таблице.

Эта функциональная зависимость должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости. В качестве критерия точности чаще всего используют критерий наименьших квадратов, т.е. определяют такую функциональную зависимость f(x), при которой

S = , (4.12)

обращается в минимум.

Погрешность приближения оценивается величиной среднеквадратического уклонения

= . (4.13)

В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен

P_m(x)=a₀ + a₁x + a₂x²+...+a_mx^m. (4.14)

Формула (4.12) примет вид

S =

Условия минимума S можно записать, приравнивая нулю частные производные S по всем переменным a₀, a₁, a₂, … , a_m. Получим систему уравнений

= – = 0, или

= 0, k = 0, 1, … , m. (4.15)

Систему уравнений (4.15) перепишем в следующем виде: