где

f(t_i, y_i) = y_i –

= y_i + h f(t_i, y_i) = y_i + 0.1

t₀ = 0, y₀ = 1, i = 0, 1, …, 4.

Решение представим в виде таблицы 6.4:

Таблица 6.4

Таблица 6.4 заполняется последовательно по строкам, сначала первая строка, затем вторая и т. д. Третий столбец таблицы 6.4 содержит приближенное решение y_i, i = 0, 1, …, 5.

Сравним полученное приближенное решение с точным решением (6.11), представленном в таблице 6.2. Видим, что погрешность составляет R = | y(t_i) – y_i| = 0.0222.

6.4 Метод Рунге – Кутта

Метод Рунге – Кутта является одним из наиболее употребительных методов высокой точности. Метод Эйлера можно рассматривать как простейший вариант метода Рунге – Кутта.

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения

y' (t) = f(t, y(t))

с начальным условием y(t₀ ) = y_0.

Как и в методе Эйлера, выберем шаг h = и построим сетку с системой узлов t_i = t₀ + ih, i = 0, 1, …, n.

Обозначим через y_i приближенное значение искомого решения в точке t_i.

Приведем расчетные формулы метода Рунге – Кутта четвертого порядка точности:

y_i+1 = y_i + h(k + 2k + 2k + k ),

k = f(t_i, y_i),

k = f(t_i + , y_i + k ), (6.17)

k = f(t_i + , y_i + k ),

k = f(t_i +h, y_i + hk ),

i = 0, 1, …, n.

Оценка погрешности. Оценка погрешности метода Рунге – Кутта затруднительна. Грубую оценку погрешности дает правило Рунге (см. раздел 6.2). Так как метод Рунге - Кутта имеет четвертый порядок точности, т. е. p = 4, то оценка погрешности (6.6) примет вид

R |y - y |. (6.18)

Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши методом Рунге – Кутта четвертого порядка точности с заданной точностью . Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага h, последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение y , i = 0, 1, …, n. Вычисления прекращаются тогда, когда будет выполнено условие:

R |y - y | < . (6.19)

Приближенным решением будут значения y , i = 0, 1, …, n.

Пример 6.4.

Методом Рунге – Кутта четвертого порядка точности найдем решение на отрезке [0, 1] следующей задачи Коши.

y' (t) = 2ty, y(0) = 1. (6.20)

Возьмем шаг h = 0.1. Тогда n = = 10.

В соответствии с (6.17) расчетные формулы примут вид:

y_i+1 = y_i + h(k + 2k + 2k + k ),

k = 2t_iy_i,

k = 2(t_i + )(y_i + k ), (6.21)

k = 2(t_i + )(y_i + k ),

k = 2(t_i +h)(y_i + hk ),

i = 0, 1, …, 10.

Задача (6.20) имеет точное решение: y(t) = e , поэтому погрешность определяется как абсолютная величина разности между точными и приближенными значениями _i = | y(t_i) – y_i|.

Найденные по формулам (6.21) приближенные значения решения y_i и их погрешности _i представлены в таблице 6.5:

Таблица 6.5

Задачи к зачету по курсу “Вычислительные методы”

Указание. Каждый студент вначале должен определить параметр своего контрольного задания, s = log₁₀(1 + ), где k - номер студента в списке группы, k = 1, 2, … Решение задач должно быть оформлено аккуратно и содержать все промежуточные расчеты. В качестве образца можно взять примеры, рассмотренные в соответствующих разделах методических указаний.

1. Методом деления отрезка пополам найти корень уравнения

4(1 – x²) – e^x = s с точностью = 10^-3.

2. Методом Зейделя решить систему уравнений с точностью =10^-3.

6.2+s 2.2+s 1.2+s 16.55+s

A = 2.2+s 5.5+s -1.5+s , b = 10.55+s .

1.2+s -1.5+s 7.2 +s 16.80+s

3. Найти приближение функции f(x) = e^sx на отрезке [0, 1] многочленом Тейлора с точностью = 10^-3 . Вычислить e^s.

4. Вычислить приближенно по формуле средних прямоугольников интеграл при n = 4 и оценить погрешность результата.

5. Методом Эйлера найти численное решение задачи Коши

y' = 2sy; y(0) = 1, на отрезке [0, 1] с шагом h = 0.2.

Сравнить с точным решением.

Указания к выполнению лабораторных работ

Программой курса предусмотрено проведение четырех лабораторных работ. Лабораторные работы ориентированы на использование системы Maple.

Система Maple V была создана группой символьных вычислений в 1980 году в университете Waterloo, Канада. В конце 1997 года вышла реализация Maple V R5.

Maple V принадлежит к классу прикладных программных пакетов, объединенных под общим названием Computer Algebra Systems (CAS) - системы компьютерной алгебры. Самым важным отличием Maple от таких пакетов как MathCad, MatLAB, Mathematica, является то, что она была изначально задумана как символьный пакет. Как и любой представитель данного семейства продуктов, Maple ориентирована на решение широкого ряда математических проблем. Она включает в себя большое количество специальных пакетов для решения задач линейной и тензорной алгебры, евклидовой и аналитической геометрии, теории чисел, теории графов, теории вероятностей, математической статистики, комбинаторики, теории групп, численной аппроксимации и линейной оптимизации, задач финансовой математики и многих других.

В основу Maple положен алгоритмический язык высокого уровня, предназначенный для реализации обычного процедурного программирования. Maple-язык "понимает" все стандартные объекты типа циклов (while, for), операторов условного перехода (if-then-else), массивов (array), списков (list), наборов (set), таблиц и т.д. Есть также возможность работы с файлами, что позволяет строить системы, состоящие из множества модулей, подгружая необходимые процедуры в процессе выполнения программы, а также реализовывать ввод и вывод больших объемов данных. Реализованы также все стандартные процедуры обработки строковой информации.

Применение Maple в образовании способствует повышению фундаментальности математического образования и сближает нашу образовательную систему с западной.

Лабораторные работы предполагают использование встроенных функций Maple, позволяющих решать основные задачи курса "Вычислительные методы".

В задачах используется параметр n – номер студента в списке группы.

Лабораторная работа №1.

Решение нелинейных уравнений и систем линейных уравнений.

Используемые функции: solve, fsolve, plot.

1. Найти точное решение уравнения:5x²+2x – n = 0.

2. Найти приближенное решение этого же уравнения.

3. Построить график левой части уравнения.

4. Найти приближенное решение уравнения x²e^x – n = 0.

5. Построить график левой части уравнения.

6. Найти точное решение системы уравнений.

2 x₁ + 6x₂ – x₃ = –12 + n

5x₁ – x₂ + 2x₃ = 29 + n

–3x₁ – 4x₂ + x₃ = 5 + n

7. Найти приближенное решение этой же системы уравнений.

Лабораторная работа №2.

Построение интерполяционных многочленов.