86019 (Вычислительная математика), страница 9
Описание файла
Документ из архива "Вычислительная математика", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "86019"
Текст 9 страницы из документа "86019"
| I – Iпр | 
h2, (5.6)
где M2 = 
|f "(x)|
Пример 5.1.
Вычислим значение интеграла 
по формуле средних прямоугольников (5.3) с шагом h = 0.1.
Составим таблицу значений функции e
(табл. 5.1):
Таблица 5.1
| x | e | x | e |
| 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 | 1.0000000 0.9975031 0.9900498 0.9777512 0.9607894 0.9394131 0.9139312 0.8847059 0.8521438 0.8166865 0.7788008 | 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 | 0.7389685 0.6976763 0.6554063 0.6126264 0.5697828 0.5272924 0.4855369 0.4448581 0.4055545 0.3678794 |
Производя вычисления по формуле (5.3), получим:
Iпр = 0.74713088.
Оценим погрешность полученного значения. Имеем:
f "(x) = (e )" = (4x2 – 2) e .
Нетрудно убедиться, что | f "(x)| M2 = 2. Поэтому по формуле(5.4)
| I – Iпр | 
(0.1)2 0.84 10-3.
5.3 Метод трапеций
Выведем формулу трапеций так же, как и формулу прямоугольников, из геометрических соображений. Заменим график функции y = f(x) (рис.5.1) ломаной линией (рис.5.7), полученной следующим образом. Из точек a = x0, x1, x2,…, xn = b проведем ординаты до пересечения с кривой y = f(x). Концы ординат соединим прямолинейными отрезками.
Рис. 5.7
Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно можно считать равной площади фигуры, составленной из трапеций. Так как площадь трапеции, построенной на отрезке [xi, xi+1] длины h = 
, равна h 
, то, пользуясь этой формулой для i = 0, 2, … , n – 1, получим квадратурную формулу трапеций:
I=
Iтр =h
=
(5.7)
Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы трапеций воспользуемся следующей теоремой.
Теорема 5.2. Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [a, b]. Тогда для формулы трапеций справедлива следующая оценка погрешности:
| I – Iтр | 
h2, (5.8)
где M2 = |f "(x)|.
Пример 5.2.
Вычислим значение интеграла по формуле трапеций (5.7) и сравним полученный результат с результатом примера 5.1.
Используя таблицу значений функции e из примера 5.1 и производя вычисления по формуле трапеций (5.7), получим: Iтр = 0.74621079.
Оценим погрешность полученного значения. В примере (5.1) получили оценку: | f "(x)| M2 = 2. Поэтому по формуле (5.8)
I – Iтр | 
(0.1)2 1.7 10-3.
Сравнивая результаты примеров 5.1 и 5.2, видим, что метод средних прямоугольников имеет меньшую погрешность, т.е. он более точный.
5.4 Метод Симпсона (метод парабол)
Заменим график функции y = f(x) на отрезке [xi, xi+1], i = 0, 2, … , n – 1, параболой, проведенной через точки (xi, f(xi)), (x
,f(x )), (xi+1, f(xi+1)), где x - середина отрезка [xi, xi+1]. Эта парабола есть интерполяционный многочлен второй степени L2(x) с узлами xi, x , xi+1. Нетрудно убедиться, что уравнение этой параболы имеет вид:
y = L2(x) =
f(x ) + 
(x – x ) + 
(x - x )2, (5.9)
где h = .
Проинтегрировав функцию (5.9) на отрезке [xi, xi+1], получим
Ii = 
= 
( f(xi) + 4f(x ) + f(xi+1)). (5.10)
Суммируя выражение (5.10) по i = 0, 1, 2, … , n – 1, получим квадратурную формулу Симпсона (или формулу парабол):
I = IС = ( f(x0) + f(xn) + 4
+ 2
). (5.11)
Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы Симпсона воспользуемся следующей теоремой.
Теорема 5.2. Пусть функция f имеет на отрезке [a, b] непрерывную производную четвертого порядка f (4)(x). Тогда для формулы Симпсона (5.9) справедлива следующая оценка погрешности:
| I – IС | 
h4, (5.12)
где M4 = 
| f (4)(x)|.
Замечание. Если число элементарных отрезков, на которые делится отрезок [a, b], четно , т.е. n = 2m, то параболы можно проводить через узлы с целыми индексами, и вместо элементарного отрезка [xi, xi+1] длины h рассматривать отрезок [x2i, x2i+2] длины 2h. Тогда формула Симпсона примет вид:
I 
(f(x0) + f(x2m) + 4
+ 2
), (5.13)
а вместо оценки (5.10) будет справедлива следующая оценка погрешности:
| I – IС | 
h4, (5.14)
Пример 5.3.
Вычислим значение интеграла по формуле Симпсона (5.11) и сравним полученный результат с результатами примеров 5.1 и 5.2.
Используя таблицу значений функции e из примера 5.1 и производя вычисления по формуле Симпсона (5.11) , получим:
IС = 0.74682418.
Оценим погрешность полученного значения. Вычислим четвертую производную f (4)(x).
f (4)(x) = (16x4 – 48x2 + 12) e , | f (4)(x)| 12.
Поэтому
| I – IС | 
(0.1)4 0.42 10-6.
Сравнивая результаты примеров 5.1, 5.2 и 5.3, видим , что метод Симпсона имеет меньшую погрешность, чем метод средних прямоугольников и метод трапеций.
5.5 Правило Рунге практической оценки погрешности
Оценки погрешности по формулам (5.4), (5.8) и (5.12) являются априорными. Они зависят от длины элементарного отрезка h, и при достаточно малом h справедливо приближенное равенство:
I – Ih Chk, (5.15)
где Ih приближенное значение интеграла, вычисленное по одной из формул (5.3), (5.5), (5.9), C 0 и k > 0 – величины, не зависящие от h.
Если уменьшить шаг h в два раза, то, в соответствии с (5.15) получим:
I – Ih/2 
Chk ( I – Ih). (5.16)
Непосредственное использование оценок погрешности (5.4), (5.8) и (5.12) неудобно, так как при этом требуется вычисление производных функции f (x). В вычислительной практике используются другие оценки.
Вычтем из равенства (5.15) равенство (5.16):
Ih/2 – Ih Chk(2k – 1). (5.17)
Учитывая приближенное равенство (5.16), получим следующее приближенное равенство:
I – Ih/2 
. (5.18)
Приближенное равенство (5.18) дает апостериорную оценку погрешности. Вычисление этой оценки называется правилом Рунге. Правило Рунге – это эмпирический способ оценки погрешности, основанный на сравнении результатов вычислений , проводимых с разными шагами h.
Для формул прямоугольников и трапеций k = 2, а для формулы Симпсона k = 4. Поэтому для этих формул приближенное равенство (5.18) принимает вид:
I – Iпр 
, (5.19)
I – Iтр 
, (5.20)
I – IС 
. (5.21)
Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления интеграла с заданной точностью . Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага h, последовательно уменьшать это значения в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение I
. Вычисления прекращаются тогда, когда результаты двух последующих вычислений будут различаться меньше, чем на .
Пример 5.4.
Найдем значение интеграла с точностью = 10-4, используя формулу трапеций и применяя вышеизложенную процедуру дробления шага. В примере 5.2 было получено значение I
при h1 = 0.1, Ih =0.74621079. Уменьшим шаг вдвое: h2 = 0.05 и вычислим I
= 0.74667084, 2 = 
( I - I ) = (0.74667084 – 0.74621079) 1.510-4. Так как |2| > , то снова дробим шаг: h3 = 0.025, вычисляем I
= 0.74678581, 2 = ( I - I ) = (0.74678581 – 0.74667084) 410-5. Поскольку |3| < , требуемая точность достигнута и I 0.7468 0.0001.
Тема 6. Численное решение дифференциальных уравнений
6.1 Постановка задачи Коши
Известно, что обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:
y' (t) = f(t, y(t)). (6.1)
Решением уравнения (6.1) является дифференцируемая функция y(t), которая при подстановке в уравнение (6.1) обращает его в тождество. На рис. 6.1 приведен график решения дифференциального уравнения (6.1). График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Рис. 6.1
Производную y'(t) в каждой точке (t, y) можно геометрически интерпретировать как тангенс угла наклона касательной к графику решения, проходящего через эту точку, т е.: k = tg = f(t, y).
