86019 (Вычислительная математика), страница 5
Описание файла
Документ из архива "Вычислительная математика", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "86019"
Текст 5 страницы из документа "86019"
0.3x2 + 4.02x3 – 8.70x4 = 21.36
– 0.30x2 + 2.55x3 – 1.50x4 = 8.55
Вычислим множители:
m = = = –0.26087 m = = = 0.26087.
Вычитая из третьего и четвертого уравнений системы (3.14) второе уравнение, умноженное соответственно на m и m , приходим к системе:
2 .0x1 + 1.0x2 – 0.1x3 + 1.0x4 = 2.7
–1.15x2 + 1.015x3 + 5.05x4 = – 4.305 (3.15)
4.28478x3 – 7.38261x4 = 20.23696
2.28522x3 – 2.81739x4 = 9.67305
3-ий шаг. Вычислим множитель:
m = = = 0.53333.
Вычитая из четвертого уравнения системы (3.15) третье, умноженное на m , приведем систему к треугольному виду:
2 .0x1 + 1.0x2 – 0.1x3 + 1.0x4 = 2.7
–1.15x2 + 1.015x3 + 5.05x4 = – 4.305 (3.16)
4.28478x3 – 7.38261x4 = 20.23696
1.11998x4 = –1.11998
Обратный ход. Обратный ход полностью совпадает с обратным ходом примера 3.1. Решение системы имеет вид:
x1 = 1.000, x2 = 2.000, x3 = 3.000, x4 = – 1.000.
3.4 Вычисление определителя методом исключения Гаусса
Из курса линейной алгебры известно, что определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. В результате метода исключений Гаусса система линейных уравнений (3.2) с квадратной матрицей A приводится к эквивалентной ей системе (3.8) с треугольной матрицей An. Поэтому
det A = (–1)s det An,
где s – число перестановок строк, (s = 0, если использовался метод Гаусса по схеме единственного деления).Таким образом,
det A = (–1)s a11 a a …a (3.17)
Итак, для вычисления определителя det A необходимо выполнить процедуру прямого хода в методе Гаусса для системы уравнений Ax = 0, затем найти произведение главных элементов, стоящих на диагонали треугольной матрицы и умножить это произведение на (–1)s, где s – число перестановок строк.
Пример 3.3.
Вычислим определитель det A =
2 .0 1.0 0.1 1.0
0.4 0.5 4.0 8.5
0.3 1.0 1.0 5.2
1.0 0.2 2.5 1.0
Данный определитель совпадает с определителем системы, рассмотренной в примере 3.1. Он равен произведению диагональных элементов треугольной матрицы (3.13):
det A = 2.0 0.30 16.425 1.12 = 11.0376.
Если же обратиться к примеру 3.2, то, учитывая, что была одна перестановка строк, т.е. s = 1, получим:
det A = (–1) 2.0 (–1.15) 4.28478 1.11998 = 11.0375.
3.5 Вычисление обратной матрицы методом исключения Гаусса
Обратной матрицей к матрице A называется матрица A-1, для которой выполнено соотношение:
A A-1 = E, (3.18)
где E – единичная матрица:
1 0 0 … 0
0 1 0 … 0
E = 0 0 1 … 0 . (3.19)
0 0 0 … 1
Квадратная матрица A называется невырожденной, если det A 0. Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу.
Вычисление обратной матрицы можно свести к рассмотренной выше задаче решения системы уравнений.
Пусть A – квадратная невырожденная матрица порядка n:
a11 a12 a13 … a1n
a21 a22 a23 … a2n
A = a31 a32 a33 … a3n
an1 an2 an3 … ann
и A-1 – ее обратная матрица:
x11 x12 x13 … x1n
x21 x22 x23 … x2n
A-1 = x31 x32 x33 … x3n
xn1 xn2 xn3 … xnn
Используя соотношения (3.18), (3. 19) и правило умножения матриц, получим систему из n2 уравнений с n2 переменными xij, i, j = 1, 2, …, n. Чтобы получить первый столбец матрицы E, нужно почленно умножить каждую строку матрицы A на первый столбец матрицы A-1 и приравнять полученное произведение соответствующему элементу первого столбца матрицы E. В результате получим систему уравнений:
a 11x11 + a12 x21 + a13x31 + … + a1nxn1 = 1
a21x11 + a22 x21 + a23x31 + … + a2nxn1 = 0
a31x11 + a32 x21 + a33x31 + … + a3nxn1 = 0 (3.20)
an1x11 + an2 x21 + an3x31 + … + annxn1 = 0
Аналогично, чтобы получить второй столбец матрицы E, нужно почленно умножить каждую строку матрицы A на второй столбец матрицы A-1 и приравнять полученное произведение соответствующему элементу второго столбца матрицы E. В результате получим систему уравнений:
a 11x12 + a12 x22 + a13x32 + … + a1nxn2 = 0
a21x12 + a22 x22 + a23x32 + … + a2nxn2 = 1
a31x12 + a32 x22 + a33x32 + … + a3nxn2 = 0 (3.21)
an1x12 + an2 x22 + an3x32 + … + annxn2 = 0
и т. д.
Всего таким образом получим n систем по n уравнений в каждой системе, причем все эти системы имеют одну и ту же матрицу A и отличаются только свободными членами. Приведение матрицы A к треугольной по формулам (3.7) делается при этом только один раз. Затем по последней из формул (3.7) преобразуются все правые части, и для каждой правой части делается обратный ход.
Пример 3.4.
Вычислим обратную матрицу A-1 для матрицы
A = 1.8 –3.8 0.7 –3.7
0 .7 2.1 –2.6 –2.8
7.3 8.1 1.7 –4.9
1.9 –4.3 –4.3 –4.7
По формулам (3.7) за три шага прямого хода преобразуем матрицу A в треугольную матрицу
1 .8 –3.8 0.7 –3.7
0 3.57778 –2.87222 –1.36111
0 0 17.73577 19.04992
0 0 0 5.40155
Далее, применим процедуру обратного хода четыре раза для столбцов свободных членов, преобразованных по формулам (3.7) из столбцов единичной матрицы:
1 0 0 0
0 1 0 0
0 , 0 , 1 , 0
0 0 0 1
Каждый раз будем получать столбцы матрицы A-1. Опустив промежуточные вычисления, приведем окончательный вид матрицы A-1:
– 0.21121 –0.46003 0.16248 0.26956
–0.03533 0.16873 0.01573 –0.08920
0.23030 0.04607 –0.00944 –0.19885 .
–0.29316 –0.38837 0.06128 0.18513
3.6 Метод простой итерации Якоби
Метод Гаусса обладает довольно сложной вычислительной схемой. Кроме того, при вычислениях накапливается ошибка округления, что может привести к недостаточно точному результату. Рассмотрим метод простой итерации Якоби, свободный от этих недостатков, хотя требующий приведения исходной системы уравнений к специальному виду.
Для того, чтобы применить метод простой итерации, необходимо систему уравнений
Ax = b (3.22)
с квадратной невырожденной матрицей A привести к виду
x = Bx + c, (3.23)
где B – квадратная невырожденная матрица с элементами bij, i, j = 1, 2, …, n, x – вектор-столбец неизвестных xi, c – вектор-столбец с элементами ci, i = 1, 2, …, n.
Существуют различные способы приведения системы (3.22) к виду (3.23). Рассмотрим самый простой. Представим систему (3.22) в развернутом виде:
a 11x1 + a12 x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22 x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2
a31x1 + a32 x2 + a33x3 + … + a3nxn = b3 (3.24)
an1x1 + an2 x2 + an3x3 + … + annxn = bn
Из первого уравнения системы (3.24) выразим неизвестную x1:
x1 = a (b1 – a12x2 – a13x3 – … – a1nxn),
из второго уравнения – неизвестную x2:
x2 = a (b2 – a21x1 – a23x3 – … – a2nxn),
и т. д. В результате получим систему:
x 1 = b12 x2 + b13x3 + … + b1,n-1xn-1 + b1nxn + c1
x2 = b21x1 + b23x3 + … + b2,n-1xn-1 + b2nxn + c2
x3 = b31x1 + b32 x2+ … + b3,n-1xn-1 + b3nxn + c3 (3.25)
.
xn= bn1x1 + bn2 x2 + bn3x3 + bn,n-1xn-1 + cn
Матричная запись системы (3.25) имеет вид (3.23). На главной диагонали матрицы B находятся нулевые элементы, а остальные элементы вычисляются по формулам:
bij = , ci = , i, j = 1,2, …n, i j. (3.26)
Очевидно, что диагональные элементы матрицы A должны быть отличны от нуля.
Выберем произвольно начальное приближение Обычно в качестве первого приближения берут x = ci или x = 0. Подставим начальное приближение в правую часть (3.25). Вычисляя левые части, получим значения x , x , …, x . Продолжая этот процесс дальше, получим последовательность приближений, причем (k + 1)-е приближение строится следующим образом:
x = b12 x + b13 x + … + b1,n-1 x + b1n x + c1
x = b21 x 1 + b23 x + … + b2,n-1 x + b2n x + c2
x = b31 x + b32 x + … + b3,n-1 x + b3n x + c3 … (3.27)
x = bn1x + bn2 x + bn3 x + bn,n-1 x + c.n
Система (3.27) представляет собой расчетные формулы метода простой итерации Якоби.
Сходимость метода простой итерации. Известно следующее достаточное условие сходимости метода простой итерации Якоби.
Если элементы матрицы A удовлетворяют условию:
|aii| > , i = 1, 2, …, n. (3.28)
то итерационная последовательность xk сходится к точному решению x*.
Условие (3.28) называют условием преобладания диагональных элементов матрицы A, так как оно означает, что модуль диагонального элемента i-ой строки больше суммы модулей остальных элементов этой строки, i = 1, 2, …, n.