85637 (Инверсия плоскости в комплексно сопряженных координатах), страница 5

7º. При инверсии с центром s_I и степенью k окружность с центром s радиуса r, не совпадающая с окружностью инверсии (если степень положительна), отображается в себя тогда и только тогда, когда выполняется равенство .

□ Перенесем начало координат в центр инверсии параллельным переносом , и инверсия тогда будет задана формулой . Координата центра окружности станет , для удобства в дальнейшем будем опускать этот штрих. Тогда уравнение окружности будет . Понятно, что центр инверсии не лежит на окружности, иначе она вообще перейдет в прямую. Это соображение дает нам . Окружность инверсией переводится в , или , то есть . Так как центр инверсии не на окружности, то это равносильно . Это будет та же самая окружность при условии, что .

Нас интересует только второе условие совокупности. Кстати, оно при дает условие ортогональности окружности инверсии и нашей окружности. Так попутно мы доказали, что если окружность перпендикулярна окружности инверсии положительной степени, то она при этой инверсии переходит сама в себя.

При переходе к исходным координатам получаем . ■

Глава 2

Применение инверсии при решении задач и доказательстве теорем

2.1. Применение инверсии при решении задач на построение. Метод инверсии дает возможность решить ряд наиболее трудных конструктивных задач элементарной геометрии. При этом его комбинация с методом координат, что фактически происходит при попытке решать задачу на комплексной плоскости, дает наиболее точные вычисления местонахождения нужных фигур, что является явным плюсом метода по сравнению с довольно неточными построениями от руки. Недостатком же этого метода является его громоздкость, связанная с необходимостью выполнить большое число довольно объемных вычислений. Но надо сказать, что для компьютера это не является трудностью, и перед пользователем встает лишь проблема перевода алгоритма решения задачи на язык программирования.

Задачи на построение, решаемые методом инверсии, Александров [2] делил на три группы.

Первая группа. В задачах этого рода обратные кривые играют роль геометрических мест. Центр и степень инверсии в этом случае известны.

Задача 1. Даны точка К и две прямые АВ и ВС. Провести секущую KXY так, чтобы , где с – данная длина.

○ Искомые точки X и Y инверсны друг другу при инверсии с центром в точке К и степенью с². Точка Y есть пересечение прямой ВА с кривой, обратной ВС. Это будет окружность, проходящая через центр инверсии, то есть через точку К. Найдем ее уравнение.

Передвинем систему координат таким образом, что точка К является началом координат (это будет параллельный перенос на вектор ОК с формулой , где - координата точки К), тогда уравнение прямых ВС и АВ можно записать как и , поскольку они не проходят через точку К. Уравнение инверсии примет вид .

Образ прямой ВС при инверсии будет , или, после упрощений, . Тогда координата искомой точки Y находится из системы: преобразовав которую, получаем систему

Вычислив корни первого уравнения, подставляем их во второе. Если подойдут, это решение. Таким образом, может быть 2, 1 или 0 решений.

Чтобы перевести координату Y в исходную систему координат, прибавляем к полученной координате настоящую координату К.

Теперь по двум точкам – Y и К – пишем уравнение искомой прямой: . ●

Вторая группа. В задачах этой группы инвертируется некоторая часть искомой фигуры (отрезок, точка или окружность); при этом теория инверсии, иногда в соединении с другими методами, часто укажет такую зависимость начала инверсии от данных и искомых, которая позволяет решить задачу. Начало и степень инверсии даны или должны быть целесообразно выбраны. В выборе начала, степени, числа инверсий иногда встречаются затруднения.

Лучшим примером задач этого рода служит, по мнению Александрова, частный случай задачи Кастильона (Castillon), разобранный ниже.

Задача 2. В данную окружность вписать треугольник так, чтобы прямые, содержащие его стороны, проходили бы соответственно через данные три точки.

○ Когда все три точки лежат на данной окружности, то решение очевидно: достаточно просто соединить эти точки и получим искомый треугольник. Решение единственно, потому что треугольник своими вершинами определяется однозначно.

Если две из трех данных точек лежат на окружности и не коллинеарны с третьей, то решение также очевидно. Если третья точка лежит внутри окружности, то любая прямая, проходящая через нее пересекает окружность в двух точках. Было бы замечательно, если бы она пересекала окружность в одной из данных точек. Это можно устроить двумя способами, и решений тоже два.

Если третья точка лежит вне окружности, то есть ровно один случай, при котором задача не имеет решения – если обе проведенные прямые являются касательными. То есть может быть два, одно или ни одного решения.

Если только одна точка лежит на данной окружности, то решений также в лучшем случае два. Проведем прямую через точку на окружности и точку не на окружности. Получим одну сторону треугольника. Теперь проведем прямую через вторую точку не на окружности и точку пересечения полученной прямой, не совпадающей с данной, если она есть. Получим вторую сторону треугольника. Третья сторона получается автоматически.

Так можно проделать с каждой из двух точек не на окружности, и решений будет два, если в каком-то или в обоих случаях не получится, что первая или вторая проведенная прямая окажется касательной.

Рассмотрим случай, когда три данные точки не лежат на данной окружности.

Пусть ABC – искомый треугольник, стороны АВ, ВС и СА которого проходят через три заданные точки М₁, М₂ и М₃ с координатами m₁, m₂ и m₃ соответственно, и вписан он в окружность w с центром S(s) и радиусом r.

Поместим начало координат в центр окружности w при помощи параллельного переноса . Тогда окружность будет иметь уравнение , а новые координаты данных точек будем для простоты обозначать теми же буквами, не забывая при этом их истинного смысла.

Заметим, что положение точки А определяет весь треугольник, поскольку прямая Am₁ в пересечении с окружностью дает точку В, затем прямая Bm₂ в пересечении с окружностью дает точку С.

Выполним инверсию I₁ с центром в точке М₁ и степенью , ее формула будет . При этом окружность w перейдет сама в себя по свойству 7: . Значит, точка А перейдет в точку В, поскольку не может перейти в себя, а образ ее лежит на окружности и прямой Am₁ одновременно.

Затем осуществим инверсию I₂ с центром в точке М₂ и степенью . Опять окружность w перейдет сама в себя, а точка В перейдет в точку С. Потом применим инверсию I₃ с центром в точке М₃ и степенью . И опять окружность w перейдет сама в себя, а точка С перейдет в точку А.

Наконец, применим инверсию I с центром в точке S(0) и степенью . Точка А перейдет сама в себя, так как лежит на окружности инверсии, сама окружность w, как окружность инверсии, – тоже.

Таким образом, композиция инверсий переводит окружность w и точку А самих в себя.

1) Пусть Σ – окружность или прямая, проходящая через точку А. Обозначим , причем, очевидно, . Кстати, отсюда - это нам понадобится ниже.

Чтобы Σ перешла в прямую Σ’, необходимо, чтобы проходила через S, то есть Σ проходила через

. Обратно, если Σ проходит через S’, то Σ – прямая.

Вывод: Σ’ – прямая .

2) Теперь аналогично поработаем с Σ’ – прямой или окружностью, очевидно, проходящей через А. Как мы уже выяснили, , и Σ, по допущению, проходит через А. Чтобы Σ’ перешла при композиции инверсий в прямую Σ, необходимо, чтобы

проходила через М₁, то есть Σ’ проходила через . Обратно, если Σ’ проходит через М’, то Σ – прямая.

Вывод: Σ – прямая .

Теперь рассмотрим прямую AS’. По первому выводу, будет прямая. С другой стороны, раз AS’ – прямая, то, по второму выводу, будет проходить через М’. Тогда имеем, что

, где AS’ и AM’ - прямые.

Угол, образованный прямой AM’ с окружностью w в результате 4 последовательных инверсий не изменится ни по величине, ни по направлению (по следствию 5). Отсюда следует, что прямые AS’ и AM’ , образующие в точке А одинаковый угол с данной окружностью, совпадут. И точка А может быть найдена как пересечение прямой S’M’ с окружностью w. В зависимости от взаимного положения этой прямой и окружности, задача может иметь два, одно или ни одного решения.

Может получиться, что точки S’ и M’ совпадут. Это происходит либо при = , либо при . Мы этот случай рассматривать не будем, поскольку цель главы – показать применение инверсии при решении задачи, а это было сделано.

Отсюда алгоритм решения: