85637 (Инверсия плоскости в комплексно сопряженных координатах), страница 3

Мы уже показали, что центры окружностей и центр инверсии должны лежать на одной прямой. Понятно, что центр инверсии не лежит на данных окружностях.

Точки, лежащие на прямой центров, переходят в точки, лежащие на той же прямой. Поэтому могут быть два порядка точек: и .

В ведем систему координат таким образом, что центры окружностей лежат на действительной оси, причем центр одной совпадает с началом координат, а радиус ее равен 1.

Покажем, что существует инверсия для первого случая.

Пусть точки пересечения второй окружности с действительной осью имеют координаты а₁ и а₂. Тогда при инверсии а₁ переходит в -1, а а₂ – в 1. Тогда можно записать, что , . То есть получаем систему: , что равносильно . Вычтем: , откуда, в силу неравности радиусов, . Может статься, что это не является решением. Решением это будет в точности тогда, если совпадут значения k из обоих уравнений.

Из первого уравнения = .

Из второго условия получаем = . Тот же самый результат. Итак, получаем единственную инверсию с центром в точке и степенью .

Точка с координатой а₂ лежит на действительной оси правее точки с координатой а₁, поэтому для определения знака степени нужно знать знак произведения .

Степень инверсии будет положительна в двух случаях: либо , откуда , либо , откуда , то есть когда одна окружность лежит целиком внутри другой. В остальных случаях степень инверсии будет отрицательна.

Рассмотрим второй случай. Тогда при инверсии а₁ переходит в 1, а а₂ – в -1. Можно записать, что , . То есть получаем систему: , что равносильно . Вычтем: , откуда, в силу неравности радиусов, .

Аналогично, может оказаться, что это не является решением. Решением это будет в точности тогда, если совпадут значения k из обоих уравнений.

Из первого уравнения , откуда . Из второго уравнения = . Тот же самый результат.

Знак степени определяется знаком произведения . Отрицательна она будет только в случае , то есть или в случае , то есть . Это происходит в точности когда одна окружность лежит внутри другой. Положительной степень будет в противном случае.

Итак, когда радиусы окружностей не равны, одну в другую можно перевести ровно двумя инверсиями, причем одна из них с положительной степенью, а другая – с отрицательной.

Если же радиусы окружностей равны, то все выкладки будут иметь место, но гораздо упростятся. Для первого случая получим из равенства , что , тогда . Причем у нас не может быть случая, когда одна окружность лежит внутри другой, значит, степень положительна.

Для второго же случая получаем верное равенство , но , и получим , то есть окружности концентричны, но в силу равенства радиусов они совпадают. Это невозможно по предположению, значит, такой инверсии не может быть.

Можно сделать вывод, что если радиусы окружностей равны, то одну в другую можно перевести ровно одной инверсией с положительной степенью. В принципе, этого следовало ожидать: у двух окружностей равного радиуса только один центр гомотетии.

Покажем теперь, что существует инверсия, переводящая прямую l в окружность действительного радиуса, и обратно. Ясно, что эта окружность проходит через центр инверсии, а прямая нет. Мы уже показали, что центр инверсии лежит на прямой m, проходящей через центр нашей окружности перпендикулярно l. Значит, он может быть только в одной из точек пересечения окружности с прямой m.

Введем систему координат так, что начало координат располагается в центре окружности, а прямая m совпадает с действительной осью.

Д анная прямая l параллельна мнимой оси, поэтому будет иметь уравнение , . Прямая пересекает действительную ось в точке с координатой . Окружность, если обозначить ее радиус r, будет иметь уравнение . Инверсии, если они есть, будут иметь формулы и , где k₁ и k₂ нам пока не известны. Первая переведет окружность в прямую с уравнением . Чтобы это была l, достаточно потребовать , откуда .

Вторая инверсия переведет окружность в прямую с уравнением . Чтобы это была l, достаточно потребовать , откуда .

Могут получиться следующие случаи:

1) , тогда , ;

2) , тогда , , то есть второй инверсии не существует – это происходит при касании прямой и окружности в точке с координатой -r;

3) , тогда , ;

4) , тогда , то есть первой инверсии не существует – это происходит при касании прямой и окружности в точке с координатой r, ;

5) , тогда , .

Можно сделать вывод, что если прямая не имеет общих точек с окружностью, то одну в другую можно перевести ровно двумя инверсиями, причем одна из них с положительной степенью, а другая с отрицательной. Если прямая касается окружности, то одну в другую можно перевести только одной инверсией с положительной степенью. Если прямая и окружность пересекаются, то одну в другую можно перевести двумя инверсиями с положительными степенями.

Две же различные прямые никогда не могут быть переведены друг в друга инверсией.

1.6. Свойства обобщенной инверсии.²

1º. При обобщенной инверсии с центром О и степенью k внутренние точки окружности Σ(О, ) (окружность инверсии, если k положительно) переходят во внешние и наоборот (поэтому говорят также о зеркальном отображении относительно окружности).

□ Для центра инверсии и бесконечно удаленной области это очевидно. Для остальных точек при инверсии с положительной степенью это было доказано выше, в теореме 2. А так как инверсию с отрицательной степенью можно представить как коммутативную композицию инверсии с положительной степенью и центральной симметрии с центром в начале инверсии, то и для нее все очевидно. ■

2º. Преобразование плоскости, представляющее собой последовательно выполненную дважды одну и ту же инверсию, есть тождественное преобразование

□ Следует из инволютивности преобразования инверсии. ■

3º. Две фигуры, инверсные третьей фигуре относительно одного и того же центра О, гомотетичны.

□ Действительно, пусть М – точка фигуры F, М₁ и М₂ – точки, соответствующие ей в двух инверсиях с общим центром О и коэффициентами k₁ и k₂. Без ограничения общности рассуждений можно рассмотреть инверсию с центром в начале координат. Тогда, если точки М, М₁ и М₂ будут иметь координаты m, m₁ и m₂ соответственно, то , . Замечаем, что вторая точка получена из первой при гомотетии с уравнением . ■

Мы видим, что выбор степени инверсии не влияет на форму полученных фигур. Эта форма изменяется только при изменении центра инверсии.

4º. Зависимость расстояния между образами A’ и B’ двух точек А и В от расстояния между этими точками при инверсии с центром S и степенью k выражается в формуле .

□ Инверсия задается формулой . Тогда . Отсюда = = = . А это и означает . ■

5º. Инверсия сохраняет величину угла между окружностями, а также между окружностью и прямой, между двумя прямыми, но изменяет его ориентацию на противоположную.

□ Пусть заданы две окружности (прямая и окружность, две прямые), одна из которых проходит через точки A, B, C, а другая – через точки A, B, D. Берем точки «хорошие», то есть среди них нет бесконечно удаленной и нулевой, так как мы будем брать инверсию с центром в нуле. Если заданы две прямые, считаем А = В. Если A’, B’, C’, D’ – образы этих точек при инверсии , то их двойное отношение w’ равно числу, комплексно сопряженному двойному отношению w точек A, B, C, D:

.

Согласно геометрическому смыслу аргумента двойного отношения, он равен ориентированному углу между окружностями (прямой и окружностью, двумя прямыми) ABC и ABD, но . ■

Следствие 1. Инверсия сохраняет двойное отношение расстояний между точками, каждая из которых не совпадает с центром инверсии и с бесконечно удаленной точкой.

□ Заметим, что . Из этого следует, что инверсия сохраняет двойное отношение расстояний между точками, каждая из которых не совпадает с центром инверсии и с бесконечно удаленной точкой.

Для иных наборов точек это утверждение, вообще говоря, неверно. Например, будем предполагать, что все четыре точки различны. Если центр инверсии совпадает, скажем, с точкой А, то, при неравенстве остальных точек бесконечно удаленной, получаем отношение , не имеющее смысла. Если же А совпадает с бесконечно удаленной точкой, то получим - тоже нет смысла. ■

Следствие 2. Две точки и их образы при инверсии лежат на одной окружности или одной прямой.