85637 (Инверсия плоскости в комплексно сопряженных координатах)

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Инверсия плоскости

в комплексно сопряженных координатах

Выполнила: студентка V курса

математического факультета

Дмитриенко Надежда Александровна

Научный руководитель:

старший преподаватель кафедры

алгебры и геометрии

Александр Николаевич Суворов

Рецензент:

Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

«___»__________2005 г. Зав. кафедрой В.М. Вечтомов

«___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина

Киров

2005

Содержание

Введение 3

Глава 1. Основные положения теории инверсии 4

1.1. Общие сведения о комплексной плоскости 4

1.2. Определение инверсии – симметрии относительно окружности 5

1.3. Формула инверсии в комплексно сопряженных координатах 11

1.4. Неподвижные точки и окружность инверсии 11

1.5. Образы прямых и окружностей при обобщенной инверсии 12

1.6. Свойства обобщенной инверсии 19

Глава 2. Применение инверсии при решении задач

и доказательстве теорем 30

2.1. Применение инверсии при решении задач на построение 30

2.2. Применение инверсии при доказательстве 41

Заключение 43

Библиографический список 44

Введение

В наш век современных технологий так и хочется привлечь компьютер для решения задач, в частности, геометрических. Было бы замечательно, если бы от пользователя требовалось только занести в программу нужные данные, а последняя сама бы все рассчитала и выдала, к примеру, радиус и центр искомой окружности. Но вся проблема в том, что программа может работать только с координатами. И есть смысл перевода наиболее эффективных с точки зрения решения задач преобразований, в число которых входит и инверсия, на язык координат. Наиболее просто это получается на комплексной плоскости. Изучению преобразования инверсии комплексной плоскости и посвящена эта дипломная работа.

Цель работы состоит в следующем: обобщить и систематизировать основные факты об инверсии комплексной плоскости и показать применение этого преобразования при решении задач и доказательстве теорем.

Поставленная цель предполагала решение следующих задач:

• вывод комплексной формулы инверсии;

• доказательство основных свойств инверсии на комплексной плоскости;

• решение нескольких задач при помощи инверсии комплексной плоскости;

• доказательство ряда теорем при помощи инверсии комплексной плоскости.

Оказалось, что не так много специальных работ по теме. Инверсия комплексной плоскости оказалась крайне слабо освещена в литературе по сравнению с инверсией евклидовой плоскости. Поступали следующим образом: брали известный факт из евклидовой плоскости, а потом доказывали его методом комплексно сопряженных координат. Чаще всего такие доказательства были понятнее и короче, чем исходные.

Глава 1

Основные положения теории инверсии

1.1. Общие сведения о комплексной плоскости. Зададим на плоскости прямоугольную декартову систему координат 0xy. Тогда каждому комплексному числу z, представленному в алгебраической форме , можно однозначно поставить в соответствие точку М плоскости с координатами . Комплексное число z называют комплексной координатой соответствующей точки М и пишут: .

Следовательно, множество точек евклидовой плоскости находится во взаимно однозначном соответствии с множеством комплексных чисел. Эту плоскость называют плоскостью комплексных чисел.

Все необходимые сведения об этой плоскости очень хорошо даны в книге Я. П. Понарина [3]. Здесь приведем лишь некоторые формулы, взятые из того же источника, использованные в работе.

Расстояние между двумя точками с координатами а и b равно .

Уравнение прямой в канонической форме: , .

Уравнение окружности с центром в точке s и радиусом r: . Также часто используют запись , , , где центр , радиус .

Скалярное произведение векторов: .

Коллинеарность трех точек с координатами а, b и с: .

Критерий коллинеарности векторов: .

Расстояние от точки с координатой z₀ до прямой , : .

Критерий параллельности двух прямых и , заданных в канонической форме: .

Критерий перпендикулярности двух прямых и , заданных в канонической форме: .

Двойное отношение четырех точек плоскости с координатами а, b, с и d: ; аргумент w равен ориентированному углу между окружностями abc и abd.

Критерий принадлежности четырех точек одной окружности или прямой: .

Критерий ортогональности окружностей , и , : .

Параллельный перенос на вектор с координатой : .

Гомотетия с центром s и коэффициентом : , .

Осевая симметрия с осью симметрии , где : .

Центральная симметрия с центром : .

1.2. Определение инверсии – симметрии относительно окружности.¹

Определение 1. Углом между двумя окружностями называется угол между касательными к окружностям в точке их пересечения.

Если окружности не имеют общих точек, то угол между ними не определен.

Определение 2. Углом между окружностью S и прямой l называется угол между прямой l и касательной к окружности S в точке пересечения этой окружности с l.

Опять же, если прямая и окружность не имеют общих точек, то угол между ними не определен.

Из определения 2 следует, что окружности, центры которых лежат на данной прямой l, и только эти окружности, перпендикулярны к прямой l.

Теорема 1. Все окружности, перпендикулярные прямой l и проходящие через точку А, проходят и через точку В, симметричную точке А относительно прямой l.

□ Рассмотрим произвольную окружность с центром на прямой l, проходящую через точку А. Введем систему координат таким образом, что прямая l является действительной осью, а начало координат располагается в центре нашей окружности, и радиус ее равен 1.

Действительная ось имеет уравнение , и формула осевой симметрии относительно l будет . Окружность имеет уравнение .

Если точка А имеет координату а, то симметричная ей точка В будет иметь координату . Докажем, что она тоже лежит на окружности.

Действительно, поскольку А ей принадлежит, то , что и означает принадлежность точки В( ) этой окружности. ■

Если А не лежит на действительной оси, то больше общих точек у пучка окружностей, проходящих через А и перпендикулярных l, нет. Если бы была еще общая точка С, то рассматриваемые окружности проходили бы через точки А, В и С, то есть все совпадали бы.

Если А лежит на действительной оси, то у окружностей также больше нет общих точек, поскольку центр их лежит на этой оси, и если есть еще одна общая точка В (не лежащая не действительной оси, иначе окружности банально совпадут), то есть еще одна общая точка – симметричная ей, и у окружностей есть три общие точки, то есть они все совпадут, что невозможно.

Значит, если окружности перпендикулярны прямой l и проходят через точку А, и точка В симметрична точке А относительно прямой l (точки А и В могут совпадать), то это единственные общие точки этих окружностей.

Поэтому можно дать такое определение симметрии относительно прямой.

Определение 3. Точки А и В называются симметричными относительно прямой l, если все окружности, перпендикулярные прямой l и проходящие через точку А, проходят и через точку В.

Введем теперь понятие симметрии относительно окружности. Докажем сначала следующую теорему.

Теорема 2. Все окружности, перпендикулярные данной окружности Σ и проходящие через данную точку А, не лежащую на Σ, проходят одновременно и через некоторую точку В, отличную от точки А.

□ Рассмотрим некоторую окружность w, удовлетворяющую нашим условиям.

Введем систему координат таким образом, что начало координат располагается в центре окружности Σ и радиус ее равен 1, а точка А лежит на действительной оси.

Тогда Σ задается уравнением , w задается уравнением , где s – координата центра, r – радиус. Перпендикулярность окружностей дает равенство . Раз А лежит на w, то верно , а с учетом предыдущего равенства .

Точка А, по условию, не лежит на окружности Σ, и А лежит на действительной оси, поэтому и , то есть , откуда . Последнее число, очевидно, тоже является действительным. Тогда докажем, что точка с координатой лежит на w, то есть верно . Но это равносильно , или , что верно. Значит, точка с координатой лежит на w. Так как она отлична от точки А, а окружность w бралась произвольно, то мы нашли другую общую точку всех наших окружностей, что и требовалось. ■

Заметим, что точка А не может совпадать с центром окружности Σ, поскольку тогда касательная к w будет иметь с последней две общие точки, что невозможно.

Естественно, что других общих точек у окружностей, перпендикулярных окружности Σ и проходящих через точку А, не лежащую на Σ, нет, поскольку тогда пучок этих окружностей проходил бы через три точки, то есть все окружности бы совпадали.

Заметим также, что точки с координатами 0, а и коллинеарны. Две последние точки лежат по одну сторону от центра Σ. Причем если А лежит внутри окружности Σ, то В – вне ее, и наоборот. Также произведение расстояний от этих точек до центра окружности постоянно и равно действительному числу – квадрату радиуса данной окружности.

Если А лежит на Σ, то других общих точек у пучка таких окружностей нет. Действительно, если бы была еще одна точка, не лежащая на Σ, то по теореме была бы к тому же общей и не совпадающая с ней точка, не лежащая на окружности, то есть не совпадающая с А. Тогда у окружностей три общих точки и они все совпадут, что невозможно. Если же еще одна общая точка окружностей лежит на Σ, то можно поступить так. Точка А лежит на Σ, поэтому или . Но мы всегда можем перенаправить действительную ось в противоположную сторону, поэтому будем считать, что . Тогда из верного равенства получаем, что . Так как В лежит на w, то верно , но В лежит и на Σ, тогда последнее равенство запишется как . Получаем систему .