85637 (Инверсия плоскости в комплексно сопряженных координатах), страница 6

1. Переносим начало координат в точку S(s). Это параллельный перенос. Соответственно, высчитываем новые координаты точек m₁, m₂ и m₃ по формуле .

1. Находим координаты точек и при инверсиях с формулами , , . Если координаты совпали, то получился случай, который мы не рассматривали, иначе они задают прямую , для простоты обозначим , .

2. Три раза заходим в процедуру решения системы . В первый раз с , , и получаем точки а₁ и а₂. Второй раз (если есть и а₂, то с каждым из этих значений) – с , . Для каждого а_i можем получить одно-единственное решение – координату b_i. Третий раз (если есть и b₂, то с каждым из этих значений) – с , . Для каждого b_i можем получить одно-единственное решение – координату c_i.

3. Переводим полученные координаты в исходную систему координат: . Это и будут вершины треугольника. ●

Третья группа. Всякая задача на построение дает некоторую фигуру, причем некоторые элементы этой фигуры неизвестны. Инвертируем эту фигуру. Тогда данные искомые отобразятся известным образом, и часто может случиться, что зависимость данных и искомых в отображенной фигуре гораздо проще, чем в основной фигуре. Тогда надо построить отображенную фигуру. Потом инвертировать ее обратно с тем же центром и степенью. В этом и состоит главная идея метода инверсии. Разумный выбор начала инверсии играет существенную роль: вычисления можно сильно сократить. Степень инверсии в этом случае обычно бывает произвольной.

Классическим примером задач этого типа можно назвать задачу Аполлония.

Задача Аполлония. Построить окружность, касающуюся трех данных окружностей.

○ Пусть даны три окружности: , и

.

Допустим, что мы уже построили нужную окружность . Она, в общем случае, может касаться данных окружностей восемью способами: каждую внутренним или внешним образом.

Таблица 1. Характер касания с искомой окружностью w.

Если у нас есть две касающиеся окружности, то выполним инверсию с центром в точке касания, эти две окружности перейдут в параллельные прямые, и задача сведется к более простой: построить окружность или прямую, составляющую с получающимися параллельными прямыми и еще одной прямой или окружностью угол в 180.

Если же нет касающихся окружностей, то применим так называемый метод расширения. Мы можем изменять наши окружности так, чтобы центры их всегда оставались постоянными, а радиусы менялись, вплоть до нулевого, и касание искомой окружности с данными сохранялось (возможно, выродившись в принадлежание точки окружности). Причем сделаем так, чтобы две из окружностей касались.

Если у нас все окружности одна в другой, как матрешки, то решений, очевидно, нет. Рассмотрим противоположный случай, когда есть хотя бы две окружности не одна в другой. Для определенности, пусть это первая и вторая. Они могут быть только либо пересекающимися, либо вне друг друга.

Сделаем их касающимися следующим образом.

Таблица 2. Новые радиусы для окружностей одна вне другой, чтобы касались.

Таблица 3. Новые радиусы для пересекающихся окружностей, чтобы касались.

Объединим все это в новую таблицу, не учитывая вид касания.

Таблица 4. Итоги.

Итак, первая и вторая окружности стали касаться. Посмотрим, может ли одна из них выродиться в точку.

В первом случае х отрицателен, если окружности пересекаются, но вырождение невозможно, так как это означало бы касание изначальных окружностей внутренним образом. А третья окружность может выродиться.

Во втором случае r₂ точно не ноль, так как окружности не касаются внешним образом, и радиус первой явно положительное число. Но третья может выродиться.

В третьем случае все аналогично. Третья же окружность может выродиться.

Можно сделать вывод, что касающиеся окружности не вырождаются.

Обратим внимание, что искомая окружность тоже может выродиться в общую точку всех трех окружностей – точку касания первых двух. Но третья не будет касаться их в этой точке и не выродится, иначе окружности бы изначально были касающимися. То есть, в случае получающихся трех прямых, нужно учитывать и общую точку.

Вообще, задача свелась к следующей. Найти окружность, касающуюся трех данных, если две из них касаются и не вырожденные, а третья может быть вырожденной.

Выполним инверсию в точке касания. Касающиеся окружности перейдут в две параллельные прямые, а оставшаяся – в окружность (точку) или прямую. Нужно найти прямую или окружность, параллельную получающимся прямым или касающуюся получающейся окружности (проходящей через точку). Причем искомая окружность или прямая не должна проходить через точку касания, иначе она при инверсии перейдет в прямую, а не окружность.

Для начала ищем окружность, касающуюся двух параллельных прямых и еще одной прямой или окружности. Искомая окружность не должна проходить через А. Это вспомогательная задача 1.

Затем ищем прямую, параллельную двум параллельным прямым и еще одной прямой или касающуюся заданной окружности. Искомая прямая не должна проходить через А. Но не забываем и об общей точке трех прямых – бесконечно удаленной, которая при инверсии перейдет в центр инверсии и потом, возможно, станет центром искомой окружности. Это вспомогательная задача 2.

Вспомогательная задача 1. Даны две параллельные прямые и окружность, возможно вырожденная, либо прямая. Найти касающуюся всех трех фигур окружность.

○ Пусть заданы две параллельные прямые и . Центр искомой окружности, очевидно, будет находиться на прямой .

Если задана еще одна прямая , то центр находится также на прямой . Получаем систему из уравнений двух прямых, из которых легко находим центр искомой окружности, если это возможно (то есть они все не параллельны).

. Далее, если возможно, находим из второго условия и проверяем выполнение первого.