85637 (Инверсия плоскости в комплексно сопряженных координатах), страница 4

□ Не ограничивая общности рассуждений, рассмотрим инверсию . Пусть точки А(a) и В(b) переходят при инверсии в точки А’(a’) и В’(b’). Тогда координаты образов будут и соответственно. Если двойное отношение их вещественно, то все доказано.

, то есть они действительно лежат или на одной окружности, или на одной прямой.

Чтобы они лежали на прямой, нужно потребовать, чтобы точки А и В были коллинеарны с центром инверсии, причем каждая из точек даже может совпадать с центром инверсии или бесконечно удаленной точкой. ■

Следствие 3. Касающиеся окружности или касающиеся окружность и прямая переходят при инверсии в касающиеся окружности или касающиеся окружность и прямую, если только точка касания не совпадает с центром инверсии, иначе они переходят в параллельные прямые.

□ Угол между касающимися окружностью и прямой или касающимися окружностями равен 0º. Если точка касания не совпадает с центром инверсии, то окружности переходят в две окружности, если центр инверсии не на одной из окружностей, в противном случае в окружность и прямую. Угол сохраняется, значит, все верно.

Если же точка касания совпадает с центром инверсии, то окружность переходит в прямую, не проходящую через центр инверсии, а прямая переходит сама в себя. Угол между прямыми сохраняется и равен 0º, то есть они действительно параллельны. ■

Определение 7. Прямая называется касательной к кривой в точке М₀, если для произвольной точки кривой М расстояние от М до прямой стремится к нулю быстрее, чем от М до М₀, когда M М₀, то есть , где Р – это проекция точки М на прямую.

Определение 8. Окружность называется касательной к кривой в точке М₀, если касательная к окружности в этой точке является и касательной к кривой в этой точке.

Определение 9. Углом между двумя кривыми в их общей точке называется угол между касательными к этим кривым в рассматриваемой точке.

Если кривые не имеют общих точек, или хотя бы одна из них не имеет касательной в общей точке, то угол между кривыми не определен.

Очевидно, что угол между двумя кривыми в их общей точке также можно определить как угол между касательными окружностями (касательной окружностью и прямой) к этим кривым в рассматриваемой точке.

Определение 10. Всякое преобразование, при котором сохраняются углы между кривыми, называется конформным преобразованием.

Следствие 4. Инверсия есть конформное преобразование.

□ Лемма. Пусть дана окружность с центром s и точка m₀ на ней. Тогда прямая, проходящая через эту точку и касающаяся данной окружности, будет иметь уравнение .

○ Искомая касательная перпендикулярна прямой, проходящей через s и m₀, и сама проходит через m₀.

Перенесем центр координат в точку m₀, то есть применим параллельный перенос, который будет иметь уравнение . Прямая, проходящая через s-m₀ и 0, будет иметь уравнение , или в канонической форме . Любая прямая, проходящая через 0, будет иметь уравнение . Чтобы она была перпендикулярна прямой , нужно, чтобы . То есть можно взять . Значит, искомая прямая будет иметь уравнение . Переводим в исходные координаты: . ●

Пусть нам даны кривые и , имеющие общую точку с координатой m₀, и пусть каждая из них имеет касательную в этой точке – l и p соответственно. Пусть при некоторой инверсии кривые и перейдут в кривые ’ и ’, прямые l и p – в прямые или окружности l’ и p’. Все фигуры будут проходить через точку с координатой m’₀. Угол между последними, по свойству 5, сохранится, так что остается показать, что они будут касательными к кривым ’ и ’ в точке с координатой m’₀.

Итак, для доказательства достаточно показать, что если дана кривая и касательная l к ней в точке с координатой m₀, то l’ будет также касательной к ’ в точке с координатой m’₀.

Прямая l будет касательной к кривой в точке М₀ при , где Р – это проекция точки М на прямую l, М – точка кривой .

Выполним инверсию I, пусть ее степень равна k, а центр s не в точке М₀. Поместим начало координат в s, и уравнение инверсии будет . Также направим действительную ось через точку М₀. Если уравнение l , , то уравнение l' будет , .

Заметим, что по условию выполняется .

Если l' – окружность, то касательная к ней в точке М₀’ будет, по лемме, иметь уравнение . В силу равенства получаем .

Покажем, что она будет касательной и к ’ в точке М₀’, то есть , где Q – это проекция точки М’ на эту прямую, М’ – точка кривой ’.

Из свойства 4 имеем: . Отсюда следует, что . Действительно, = = 0. Также = = 0.

Тогда .

По известным неравенствам , и получаем: + = + .

Рассматриваемый предел ограничен слева нулем, а справа пределом = + = 0 + .

Но мы брали m₀ действительным числом, поэтому . Значит, доказываемый предел равен нулю, если l' – окружность.

Если l' – прямая, то ее уравнение совпадет с прообразом: . Тогда нам уже дано равенство . Покажем, что сама прямая будет касательной к ’ в точке М₀’. Действительно, , а этот предел нам дан.

Мы пришли к выводу, что когда центр инверсии не лежит в рассматриваемой точке, то угол между кривыми сохраняется.

Если же взять центр инверсии в точке М₀, то последняя отобразится в бесконечно удаленную область. Касательные l и p перейдут сами в себя и по соглашению о бесконечно удаленной области будут касаться кривых ’ и ’ в несобственной точке М’₀. Можно определить угол между ними в несобственной точке как имеющийся угол между ними. ■

Следствие 5. Четное число инверсий не меняет угла между кривыми, нечетное число меняет направление угла на противоположное.

6º. Каждые две окружности или прямую и окружность можно при помощи инверсии перевести в две прямые (пересекающиеся или параллельные) или в две концентрические окружности.

□ Если данные окружности или окружность и прямая касаются, то при центре инверсии в точке касания переходят в две параллельные прямые (следствие 4).

Пусть даны две не касающиеся окружности действительного радиуса. Если они пересекаются, то, взяв за центр инверсии одну из точек пересечения, получим две пересекающиеся прямые (они будут пересекаться по образу второй точки пересечения).

Пусть окружности не пересекаются. Если они уже концентрические, то существует две инверсии, переводящие их одна в другую. Если же они не концентрические, то в две прямые они перейти не могут, так как тогда центр инверсии должен располагаться одновременно на обеих, что невозможно. Попробуем их перевести в две концентрические окружности.

В ведем систему координат таким образом, что центры окружностей лежат на действительной оси, причем центр одной из них совпадает с началом координат, и радиус этой окружности равен 1.

Центр инверсии лежит также на действительной оси. Действительно, центр инверсии, центр образа первой окружности и центр ее же лежат на одной прямой. Но тогда центр второй окружности лежит там же. А центры обеих окружностей принадлежат действительной оси.

Пусть координаты пересечения второй окружности с действительной осью равны а₁ и а₂, у первой окружности это будут точки с координатами -1 и 1. Пусть на оси дана точка О с координатой s. Тогда при инверсии с центром в точке О и степенью k будут выполняться равенства: , , и . Но точки лежат на действительной оси, поэтому верно , , .

Полученные окружности концентричны, если . То есть , что равносильно , откуда получаем равносильное уравнение относительно s: , где s не совпадает с рассмотренными четырьмя точками.

= . Значит, дискриминант положителен в точности тогда, когда окружности не пересекаются. Это и доказывает существование нужной инверсии, причем их будет две. Также нужно заметить, что степень инверсии погоды не делает.

П усть теперь даны не касающиеся окружность и прямая. Если они не пересекаются, то, взяв центр инверсии на прямой или окружности, получим при инверсии прямую и окружность. Не подходит. Если возьмем центр инверсии вне прямой и окружности, то получим две окружности. Попробуем найти инверсию, при которой они концентрические.

Введем систему координат таким образом, что прямая будет мнимой осью, а центр окружности лежит на действительной оси и координата одной из точек пересечения окружности в осью равна 1, а вторая точка пересечения имеет положительную координату а.

Возьмем точку на действительной оси, не принадлежащую данной прямой и окружности, пусть ее координата равна s. Проведем инверсию с центром в этой точке и степенью k. Если она переведет фигуры в концентрические окружности, то аналогично это только тогда, когда выполняется равенство , то есть , или , откуда, после приведения подобных, получаем . Так как знаменатель заведомо не равен нулю, поскольку мы так брали s, то получаем , откуда, в силу положительности а, . Итак, такая инверсия существует.

Если же прямая и окружность пересекаются, то, взяв за центр инверсии одну из точек пересечения, получим две прямые. Они будут пересекаться в образе второй точки пересечения. ■