М.В. Зайцев - Лекции по линалу, страница 5

Пусть теперь . Выберем любой из . Т.к. то такой что и , линейно независимы.

Обозначим . Дополним до базиса : . Рассмотрим . Тогда – подпространство, более того – пространство решений однородной системы линейных уравнений:

Где – матрица в базисе

Т.к. невырождена, то строки линейно независимы ранг системы равен 2. Поэтому и . Если ограничение на пространство имеет ненулевое ядро , то , что противоречит невырожденности, а это значит, что ограничение на – невырожденная кососимметричная билинейная функция

По индукции и все имеют требуемые базисы

Следствие. Для любой кососимметрической билинейной формы на пространстве существует базис, в котором она имеет матрицу

Где количество блоков равно половине ранга .

ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

1. Пусть - векторное пространство над

Опр. Симметрическая билинейная функция - скалярное произведение, если она положительно определена. Т.е. если вести обозначение :

2. Опр. Евклидово пространство - векторное пространство над с заданным на нем скалярным произведением

Опр. Матрица Грамма – на ij-том месте стоит , где - вектора базиса Евклидова пространства.

Опр. Длина (норма) вектора:

Свойства:

Теорема. (неравенство Коши - Буняковского)

при всех дискриминант уравнения отрицателен или равен нулю, где . Но

Следствие 1. (неравенство треугольника)

Следствие 2.

3. Угол между векторами

Существует единственный угол такой, что

Это угол между и .

4. Ортогональные векторы

Опр. и ортогональны, , если

Следствие 1. (теорема Пифагора)

Следствие 2. Диагонали ромба перпендикулярны

Опр. - ортогональный базис , если . - ортонормированный, если он ортогональный и

Теорема. В любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Пусть - квадратичная форма на . Она невырождена и положительно определена, следовательно, существует базис , в котором , т.е. матрица (и соответствующая ей матрица скалярного произведения) равна

5. Изоморфизм евклидовых пространств

Пусть и - два евклидовых пространства

Опр. - изоморфизм евклидовых пространств, если:

1. - изоморфизм векторных пространств

Теорема. Конечномерные евклидовы пространства и изоморфны тогда и только тогда, когда

Пусть . Рассмотрим ортонормированные базисы . Если , то . Задаем отображение : . Тогда - изоморфизм векторных пространств, и

Обозначение. - n-мерное евклидово пространство.

6. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта

Теорема. Пусть - линейно независимые вектора . Тогда существует ортонормированная система такая, что для любого

Будем действовать пошагово. : .

Пусть уже построен. Тогда для любого i. Положим , где . Тогда , . Если , то нормируем его.

Следствие. Любую ортонормированную систему векторов в можно дополнить до ортонормированного базиса.

6. Ортогональные дополнения

Опр.

Свойство 1: - подпространство

Свойство 2:

Теорема. Пусть - конечномерное евклидово пространство. Тогда для любого подпространства выполнено равенство:

Если , то и не пересекаются . Пусть - ортонормированный базис и . Положим , и . Тогда , т.е. и

Следствие. . Если , то

8. Сопряжённые операторы

Пусть — евклидово пространство, .

Опр. сопряжён к (обозначается ), если .

Таким образом, по определению . Существование для любого оператора сопряжённого, докажем чуть позже.

Предложение. и

(1).

а значит, по предыдущей теореме .

(2). .

Теорема. Пусть — матрица оператора в ортонормированном базисе . Тогда имеет в этом базисе матрицу .

Обозначим . Пусть — матрица в базисе . Тогда:

, . Непосредственно из определения и ортонормированности базиса следует, что . Итак, доказано, что .

Замечание. Мы ещё не доказали существование сопряжённого оператора для любого, но это очевидно (достаточно положить = и провести аналогичное доказательство).

9. Самосопряжённые операторы

Опр. Оператор самосопряжён в евклидовом пространстве , если .

Лемма 1. Пусть — линейный оператор на над и . Тогда существует ненулевое инвариантное подпространство размерности меньше 2 (т.е. и ).

Если имеет собственный вектор , то — это инвариантное подпространство размерности 1, и всё доказано. Так что будем считать, что собственных векторов у нет. Рассмотрим минимальный многочлен : . В его разложении на множители над будут множители степени 2 и только они (если есть множитель степени 1, то есть и собственный вектор, противоречие). Выделим один из них. Таким образом и . Рассмотрим оператор . Так как , то многочлен не минимальный и, значит, . Пусть , а и . Пусть . Тогда . Осталось доказать лишь, что , то есть, что . Пусть . Тогда . Однако, из определения , . Отсюда .

Лемма 2. Пусть — самосопряжённый оператор на евклидовом пространстве , — инвариантное подпространство для . Тогда и также инвариантно для .

, . Итак

Теорема. Пусть — самосопряжённый оператор на евклидовом пространстве . Тогда в существует ортонормированный базис из собственных векторов .

Индукция по . — очевидно.

Пусть (именно этот случай мы будем использовать в шаге), — ортонормированный базис V, — матрица оператора в этом базисе. Из самосопряжённости , следует, что:

.

у есть хоть один действительный корень у есть собственный вектор . Но , а также инвариантно по лемме 2. Отсюда базис — искомый базис.

Пусть . По лемме 1 существует , . Тогда , а значит , где .

Опр. Матрица называется ортогональной, если , то есть .

Лемма 3. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса в к другому ортогональна.

Пусть и — два ортонормированных базиса. Пусть — матрица перехода от первого ко второму базису. Тогда . Из ортонормированности следует, что . С другой стороны, , что и означает, что .

10. Приведение квадратичной формы к главным осям.

Пусть — квадратичная форма в .

Теорема. В найдётся ортонормированный базис , в котором имеет вид .

Пусть — произвольный ортонормированный базис в пространстве , и — матрица в этом базисе. Тогда , и, значит, существует линейный самосопряжённый оператор с матрицей . По предыдущей теореме существует ортонормированный базис из собственных векторов , в котором имеет диагональную матрицу . Значит . По лемме 3 , поэтому — диагональна. Но — матрица в .

Опр. Приведением квадратичной формы к главным осям называют переход к ортогональному базису в , где она имеет нормальный вид.

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

1. Основные понятия

Пусть — линейный оператор в евклидовом пространстве .

Опр. Оператор ортогонален, если он сохраняет скалярное произведение, то есть .

Лемма 4. ортогонален имеет ортогональную матрицу в ортонормированном базисе.

Пусть — ортонормированный базис , — матрица в этом базисе, , . Тогда . Поэтому ортогонален .

Лемма 5. Пусть — ортогональный оператор на евклидовом пространстве , — инвариантное подпространство для . Тогда и также инвариантно для .

По лемме 4 оператор — не вырожден. Тогда , и значит . Поэтому . Пусть — любой вектор, . Тогда и

, то есть .

12 марта 2005

2. Канонический базис для ортогонального оператора.

Теорема. Пусть — ортогональный оператор в . Тогда существует ортонормированный базис, в котором матрица имеет вид:

(1) По лемме 1 (см. самосопряжённые операторы) у есть инвариантное подпространство . По лемме 5: . Следовательно, — инвариантные подпространства, или . Кроме того, не содержат инвариантных подпространств и . При этом .

(2) Пусть . Тогда и .

(3) , — ортонормированный базис , — матрица в этом базисе, по лемме 4. Тогда .

(а) Предположим, что . Вычислим :

. Отсюда корни на — вещественные, следовательно, существует собственный вектор в в есть 1-мерное — инвариантное подпространство. Противоречие.

(б) остался случай . Тогда

, поэтому . Значит, система имеет единственное решение. Подходит .

3. Полярное разложение.

Теорема. Пусть — невырожденный линейный оператор на евклидовом пространстве . Тогда существуют ортогональный оператор и самосопряжённый оператор с положительными собственными значениями, такие, что .

1) Положим, что , где * - сопряжённый к . Тогда . То есть самосопряжён.

2) Существует ортонормированный базис, в котором имеет матрицу . Пусть — одно из собственных чисел , и — собственный вектор. Тогда . Отсюда и , то есть все — положительны.

3) Существует самосопряжённый оператор с матрицей в том же базисе. Ясно, что и — невырожденный.

4) Положим . Тогда так как . То есть ортогонален.

Тем самым мы доказали существование полярного разложения.