М.В. Зайцев - Лекции по линалу, страница 3

Опр. - аннулирующий многочлен для оператора А, если

Опр. называется минимальным многочленом А, если

1. - аннулирующий многочлен.

2. Любой другой аннулирующий многочлен делится на без остатка.

Лемма. существует и определен однозначно (с точностью до скалярного множителя)

(а) Существование аннулирующих многочленов.

Пусть А – матрица А. Тогда матрицы линейно зависимы, если N > n² , где , т.е. , где - аннулирующий многочлен.

(б) Существование минимального аннулирующего многочлена.

Пусть и - два аннулирующих многочлена для А и - НОД.

Тогда тоже аннулирующий многочлен аннулирующий многочлен степени k

(в) Единственность минимального аннулирующего многочлена.

Пусть - аннулирующий многочлен степени k, - аннулирующий многочлен.

Тогда их НОД тоже аннулирующий многочлен степени k, делит , но это значит, что = НОД(f,g), а значит делится на минимальный аннулирующий многочлен, кроме того, мы так же доказали и его единственность

6. Теорема Гамильтона-Кэли

Пусть

Теорема. (оператор А аннулируется своим характеристическим многочленом)

Обозначим ,

Тогда и существует собственный вектор

Построим базис , где . Тогда матрица А в этом базисе имеет вид:

, где B – матрица (n-1)x(n-1)

Поэтому

Положим и обозначим через B линейный оператор с матрицей B в базисе . Так как то можем применить индукцию по (с базой n = 1). Итак, пусть . Тогда, так как , то . Вычислим . Ясно, что , а следовательно , .

С другой стороны, . Очевидно, что

Подполя в

Примеры:

Следствие 1. Пусть - пространство над , . Тогда .

Пусть А --- матрица А в некотором базисе .Рассмотрим n-мерное пространство над и оператор B на этом пространстве с той же матрицей А. Тогда . По теореме Гамильтона-Кэли: , т.е. , что и требовалось доказать.

Следствие 2.

1. Характеристический многочлен делится на минимальный

2. Если - корень , то - корень

(1) следует из теоремы Гамильтона-Кэли и определения

(2) Пусть - все комплексные корни . Пусть - корень . Тогда . Так как , то

Заметим, что . Поэтому

Но . Значит, , т.е. - один из

ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА

В этом разделе будем считать, что , – векторное пространство, над , . Эту теорию можно развивать над любым полем, но наиболее важные результаты получаются, когда поле замкнуто.

1. Корневое подпространство

Пусть , – собственное значение оператора на .

Рассмотрим (при это определение собственного подпространства). Тогда выполняется:

1) (собственное подпространство принадлежит ).

2) В частности, из 1) следует, что .

3) – подпространство в . (доказательство очевидно: если , то ).

– корневое подпространство, отвечающее корню .

Лемма 1. Пусть , , … – различные собственные значения . Тогда .

Пусть . Если , то , где . .

Обозначим и .

Тогда: , .

Таким образом, если вектор принадлежит и , то он равен .

1. Нильпотентные операторы

Определение. ℬ - нильпотентный оператор, если ∃m≥1: ℬ^m = 0.

Утверждение. Если ℬ нильпотентен на и , то ℬ = 0.

По теореме Гамильтона-Кэли , . Если , то всё доказано. Пусть теперь . Подставим в многочлен . Тогда существует выражение (наименьшая степень выражается через старшие) для некоторого . Так как нильпотентен, существует : . Если , то и подавно , если , то (домножая равенство двумя строками выше на , пока слева не будет ) получим, что . Провернув это доказательство для этой обнуляющей степени несколько раз получим .

Другое [более нормальное, народ, пользуйтесь им] доказательство того, что :

1) Если , то минимальный многочлен ( ) (так как он делит аннулирующий многочлен ).

2) По теореме Гамильтона-Кэли и определению минимального многочлена делится на .

Лемма 2. Пусть , – собственное значение . Тогда – инвариантное для подпространство и действует на нильпотентно.

1) Инвариантность

Пусть . Докажем, что . . . Итак .

2) Нильпотентность действия

Положим . Выберем базис . Тогда . Если , то .

3. Разложение в сумму корневых подпространств

Теорема. Пусть , , где при .
Тогда выполняется:

1)

2) Все инвариантны относительно действия .

3) Действие на нильпотентно.

4)

5) Единственным собственным значением на является .

Доказательство.

1) Положим . Тогда . Пусть – произвольный вектор из . , , где .

Таким образом . Следовательно, . Эта сумма прямая по лемме 1.

2), 3) – лемма 2.

5) Пусть и . Тогда – это одно из чисел . Если , то .

4) Выберем базисы во всех подпространствах и объединим их. Мы получим базис во всём пространстве . В этом базисе имеет матрицу , где – квадратная матрица размера , . Обозначим через ограничение на , т.е , . Тогда имеет матрицу и только одно собственное значение .

. .

4. Нормальный базис для нильпотентного оператора

Пусть оператор нильпотентный, – подпространство в .

– циклическое подпространство для оператора , если , , .

Свойства циклического подпространства:

1) – инвариантное подпространство для (т.е. ) – по определению.

2) – базис

То, что любой вектор выражается через этот базис – очевидно.

Докажем линейную независимость.

26.02.05

Теорема. Пусть  – нильпотентный оператор на V. Тогда V можно разложить в сумму циклических подпространств для .

Доказательство.

Индукция по dim V. Если dim V = 1, то V = <v>,  v = 0.

Пусть dim V > 1. Обозначим U = (V). Если U = 0, то V – прямая сумма одномерных циклических подпространств. Пусть U  0. Ясно, что (U)  U.

Шаг 1: Т.к. ker   0, то dim U < dim V (по инд.) – сумма циклических подпространств, где U₁ = <u₁, u₁, …>, … ,U_k = <u_k, u_k, …>. Т.к. U = (V), то u₁ = v₁,…, u_k = v_k. Докажем, что векторы , u₁,…, u_k, u₁,…,u_k… (все ненулевые векторы вида ^m(v_j)) линейно независимы. Пусть w = ₁v₁ + … + _kv_k + ₁u₁ + … + _ku_k + … = 0. Применим : ₁u₁ + … + _ku_k + ₁u₁ + … + _ku_k + … = 0. Т.к. это линейная комбинация базисных векторов пространства U, то все коэффициенты ₁, … _k, ₁, …, _k, … равны нулю.

Шаг 2: Обозначим за W_i = <v_i, u_i, u_i,…>. Это циклическое подпространство для , и, по доказанному в Шаге 1, их сумма – прямая, . Теперь докажем, что (W) = U. Включение (W)  U очевидно. Пусть Тогда x = ₀u_i + ₁u_i + … + _m^mu_i. Пусть y = ₀v_i + ₁u_i + … + _m^m-1u_i. Тогда y = x. Если то y_i = x_i  (y₁ +… + y_k) = x  (W) = U.

Шаг 3: Если W = V, то теорема доказана. Пусть W  V. Тогда , линейно независимые, и Заменим на следующим образом:

– если w_j = 0,

– если w_j = x_j  0, то y_i = x_i (см. Шаг 2). В этом случае положим

Шаг 4: Векторы обладают следующими свойствами:



2)

3) – линейно независимы

Докажем, например, 2). Если , то все _i = 0. ( 3) – аналогично). Из 1), 2), 3) следует, что – разложение V в сумму циклических подгрупп для . 

Следствие. Пусть : VV – нильпотентный оператор на V. Тогда  базис V, в котором матрица  имеет вид  = , где B_i – квадратные матрицы вида

Разложим V в прямую сумму циклических подпространств для оператора . В каждом циклическом подпространстве U = <u, u, …, ^tu> , ^t+1u = 0 выберем базис e₁ = ^tu, e₂ = ^t-1u, …, e_t+1 = u. Объединяя эти базисы, получаем наше утверждение. 

5. Жордановы матрицы

Опр. Жорданова клетка J_m, – матрица m x m вида

Опр. Жорданова матрица – блочно-диагональные матрицы из жордановых клеток

,

Опр. Жорданова матрица A называется жордановой нормальной формой (ЖНФ) матрицы B, если B = C^-1AC, где C – некоторая невырожденная матрица.

Теорема 1. Любая комплексная матрица обладает ЖНФ.

(Уважаемый читатель, огромная просьба: не путать линейные операторы и их матрицы!)

Пусть A – матрица n x n. Рассмотрим пространство V над размерности n (dim V = n), с базисом e₁, …, e_n. Пусть : VV – линейный оператор с матрицей A в этом базисе. Для A существует корневое разложение , где – собственные числа . Зафиксируем одно из подпространств: и рассмотрим действие на U оператора  =  - . Тогда действие  на U нильпотентно (по доказанному ранее) и также по доказанной теореме  разложение циклических подпространств. По предыдущему следствию в U есть базис, в котором  имеет блочно диагональную матрицу B = , а каждая B_j – жорданова клетка с  = 0. Поскольку  =  + _i, то (U_j)  U_j и в том же базисе U оператор  имеет матрицу A = B + _iE = , где все J₁, …,J_r – жордановы клетки вида . Рассмотрев отдельно все мы поcтроим базис пространства V, в котором матрица A является жордановой матрицей T. Если C – матрица перехода , то T = C^-1AC. 

Следствие. Для любого линейного оператора на конечномерном комплексном пространстве можно выбрать базис, в котором матрица оператора является жордановой матрицей.

6. Единственность ЖНФ

Теорема 2. ЖНФ матрицы A единственна с точностью до перестановки клеток.