М.В. Зайцев - Лекции по линалу, страница 8

2. Координатная запись

Пусть - система координат в и , .

Тогда (2)

3. Центральная точка

Пусть , , . Пусть также - полярная к билинейная симметрическая форма на . Тогда

,

т.е. .

Опр. Точку называют центром (или центральной точкой) , если

Другими словами (3), где (т.е. ).

В координатной записи центральной точки это означает, что если начало координат является центральной точкой квадрики, то линейная часть в формуле (2) отсутствует.

Опр. - множество всех центральных точек .

4. Нахождение центра

Пусть , . Тогда , (4)

Т.е. (4) – критерий центральной точки .

Теорема. Множество центральных точек квадратичной функции , заданной формулой (2) в системе координат , состоит из точек , где - решение системы

уравнений (4). Если - одна из центральных точек , то , где - гиперплоскость в . В частности - аффинное подпространство в .

Уже, показано, что задаётся С.Л.У.(4). Если она совместна, то множество её решений – аффинная плоскость в с направляющим пространством , заданным системой , . Но это система уравнений , т.е. .

5. Приведение квадратичной функции к каноническому виду.

Теорема. Пусть - квадратичная функция ранга на -мерном аффинном пространстве над K. Если , то и в некоторой системе координат приводится к виду

, (5) где .

Если имеет непустой , то существует система координат с началом в центральной точке , в которой приводится к виду:

(6)

При этом и значение в любой центральной точке равно .

Выберем в канонический базис для . Для произвольной точки в системе координат функция имеет вид (для ): , причём , т.к. .

Замена координат вида , ; , т.е. перенос начала координат в соответствующую точку к виду

.

Если все , то имеет вид (6)

Пусть . Возьмём и положим

, , ,..., , ,…, .

Тогда в новых координатах будет иметь вид (5).

11.04.05

ТЕНЗОРЫ

1. Основные понятия.

Пусть - произвольное поле, - векторное пространство над , . Обозначим через дуальное пространство, т.е. пространство линейных функций . - неотрицательные целые числа. Для каждой такой пары определим следующее понятие:

Определение: Тензором на типа называют любое полилинейное отображение

.

Т.е. - функция от аргументов, первые из которых из пространства , следующие - из пространства , линейная по каждому из аргументов со значениями в поле .

Определение: Число называют валентностью (реже рангом) . Сам называют смешанным тензором раз ковариантным, раз контрвариантным.

2. Интерпретация тензоров малых рангов.

Тензор типа - это любой скаляр из поля .

Тензор типа - это линейная форма, т.е. любой элемент из .

Тензор типа - это линейный функционал . Т.е. любой элемент из . Отождествляя канонически и , мы говорим, что контрвариантный тензор типа есть вектор из . Если , то . Мы будем использовать запись и для значения на , и для значения на .

Смешанный тензор типа .

Пусть - фиксированный вектор из пространства . Тогда - линейный функционал на , т.е. элемент . Т.е. - вектор из . Обозначим этот вектор . Тогда выполняется соотношение (1) где - некоторое отображение.

Т.к. , то .

Поскольку - любой элемент , то это равенство влечёт:

. Т.е. .

Обратно: если - произвольный оператор, формула (1) сопоставляет ему тензор типа .

Таким образом, мы построили биекцию между тензорами типа и линейными операторами из .

3. Произведение тензоров.

Пусть сначала , - два произвольных полилинейных отображения, где - различные векторные пространства (не обязательно совпадают) над .

Определение: Тензорное произведение и , где .

Ясно, что - полилинейная функция по каждому аргументу. Если - три полилинейных функции, то , т.е. тензорное произведение ассоциативно. Но, вообще говоря, оно не является коммутативным, т.е. для произвольных функций (об этом даже не всегда корректно говорить).

Пусть теперь - тензор типа , - тензор типа . Тогда - тензор типа , определённый формулой: (2)

Определение: Тензор, заданный формулой (2) называется тензорным произведением тензоров , .

4. Координаты тензоров.

Пусть - базис . Рассмотрим в сопряжённом пространстве дуальный базис . Т.е. .

Обозначим через пространство тензоров типа на . Тогда любое произведение

(3)

является тензором типа , т.е. полилинейной функцией: . Эти тензоры линейно независимы по следующей причине: (4)

Теорема. Тензоры вида (3) образуют базис векторного пространства .

То, что - пространство – очевидно, если определить сложение обычным образом:

. Умножение на скаляр – тоже обычное. Линейная независимость (3) уже показана. Осталось проверить, что любой тензор линейно выражается через систему (3). Пусть . Обозначим (5). Тогда из формулы (4) следует, что если взять тензор , то , т.е. значения и на всех возможных наборах базисных векторов совпадают. Т.к. и - полилинейные функции, то , и (3) – базис пространства .

Определение: Принято говорить, что из формулы (5) – координаты тензора в базисе .

Следствие: .

18 апреля 2005

5. Изменение координат тензора при замене базиса

Пусть и - два базиса в пространстве . Обозначим через матрицу перехода от базиса к базису . Элементы матрицы индексируем так: , где - элемент i-ой строки и j-ого столбца. Тогда имеем:

и .

Это стандартное обозначение: чтобы суммирование велось по индексу, встречающемуся сверху и снизу. В некоторых книгах знак суммы опускают и пишут: . Но мы так делать не будем: все суммы будем прописывать полностью.

Пусть теперь - дуальный базис к базису , а - дуальный к базису в пространстве . Обозначим через матрицу перехода от базиса к базису в пространстве . Тогда . Чтобы следовать правилу “разных уровней” ( т.е. чтобы индекс суммирования появился сверху и снизу), обозначим через - транспонированная матрица . Тогда . Эту формулу мы запишем следующим образом. Поскольку , то , т.е. . Введём вспомогательную матрицу . Тогда , т.е. . Т .к. базисы дуальны . Т.е. и . Отсюда .

Пусть теперь и - его координаты в , а - координаты в базисе . Тогда

, .

(6)

Выразим (аналогично выражаем ) и подставим в формулу (6). Получим

. Здесь мы использовали, что и аналогичные выражения для . Т.к. элементы образуют базис пространства , то нами доказана следующая

Теорема. При переходе от базиса к базису в координаты тензора типа изменяются по правилу: , где - матрица перехода от базиса к базису пространства , а .

6. Свёртки тензоров.

Пусть - тензор типа . Зафиксируем числа и , и определим свёртку по r-ому ковариантному индексу и s-ому контрвариантному индексу следующим образом. Т.к. , где , а , то можно определить сумму , где - базис , а - дуальный базис .

Определение. называется свёрткой тензора по r-ому ковариантному индексу и s-ому контрвариантному индексу.

Ясно, что - полилинейная функция от оставшихся аргументов, т.е. . Докажем, что не зависит от выбора базиса пространства .

Доказательство: пусть - другой базис пространства , а - матрица перехода от базиса к базису . Тогда . Напомним, что для дуальных базисов имеем: , где (смотри доказательство предыдущей теоремы). Зафиксируем для удобства все остальные переменные у кроме и , обозначим . Тогда . Получаем: .

Заметим, что - произведение i-ой строки матрицы на j-ый столбей матрицы . Т.к. эта сумма равна , .

23.04.2005

Связь координат тензора T и его свертки .

Теорема. Свертка по s-тому ковариантному и r-тому контравариантному индексам тензора T типа (p,q) является тензором типа (p-1,q-1) с координатами

То, что свертка – тензор типа - проверено. Пусть , где . Как и раньше, обозначим через . Обозначим . Тогда

.

Знак «домик» означает пропуск соотв. индекса (т.е. ). Соотношение (1) и есть утверждение теоремы.

Пример. Тензор типа (1,1) - это матрица . Его свертка равна - след матрицы A.

Действие симметрической группы на тензорах.

Пусть T – тензор типа , т.е. , и - группа подстановок множества . Для любой определим отображение . Ясно, что - тензор типа . Аналогично можно определить действие на .

Опр. Тензор T типа называется симметричным, если .

Ясно, что - линейный оператор на .

Опр. Симметризацией тензоров из называется отображение .

Пример. Возьмем подстановку . Тогда

. .

Обозначим через подпространство всех симметричных тензоров из .

Теорема. Действие симметризации на обладает следующими свойствами:

1) и 2) .

(а) Если T – симметричный тензор, то .