М.В. Зайцев - Лекции по линалу, страница 4

Пусть A – жорданова матрица n x n. , где - жордановы клетки.

Обозначим: - число клеток J_m, среди . Сначала выведем формулу для . Пусть : VV – линейный оператор на n-мерном пространстве с матрицей A.

Обозначим: Тогда Здесь - единичные матрицы соответствующих размеров.

1) Если и , то размер (A_j).

2) Если , то - матрица нильпотентного оператора  =  -  на циклическом (для ) подпространстве U. Вычислим Пусть v, v, …, ^s-1v – циклический базис для  в U. Тогда ^t(U) = < ^tv, …, ^s-1v> (или 0, если ). Отсюда , если t < s и u = 0 если .

3) Найдем разность для A. Пусть - размеры всех клеток среди с собственным числом . Тогда для клеток с числом имеем разность можно считать только по клеткам с . Поэтому Т.е. - число клеток J_m, среди , у которых . Отсюда ) - ( - число клеток J_k+1,  формула , где

Пусть A и D матрицы двух жордановых нормальных форм одного оператора с матрицей В. Тогда: ( - некоторая матрица), . Поэтому

(т.к. F является невырожденной). Преобразование мы использовали следующее: . Таким образом, . Это и есть единственность. 

28.02.05

БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ

1. Определение.

F – поле, V – векторное пространство над эти полем.

Опр. Функция называется билинейной формой, если она линейна по каждому аргументу. То есть :

1)

2)

2. Матрица билинейной формы.

Пусть - базис V. Обозначим .

Опр. называют матрицей билинейной формы f в базисе .

Координатная запись. , . Тогда :

, где

, , , а .

3. Изменение матрицы билинейной формы при замене базиса.

Пусть и - два базиса пространства V. Пусть С – матрица перехода от базиса к базису . Пусть

Тогда:

, . Отсюда

, где - матрица в базисе . С другой стороны , где - матрица в базисе .

Замечание. Если для любых столбцов выполняется равенство , то матрицы В и А равны.

Пусть ,

(в смысле, что единица стоит на i-ом и j-ом месте соответственно; ни в коем случае не подразумевается вычитание) .

Учитывая замечание, получаем : .

4. Симметрические и кососимметрические билинейные формы.

Опр. называется симметрической билинейной формой, если .

Опр. называется кососимметрической билинейной формой, если .

Если (напоминаем читателю, что это обозначение означает, что характеристика поля не равна двум), то функции не может быть одновременно симметрической и кососимметрической.

Пусть симметрическая билинейная форма, тогда , то есть, матрица симметрическая. .

Аналогично, если - кососимметрическая билинейная форма, то .

Эти свойства не зависят от замены базиса.

Опр. Ядром симметрической (кососимметрической) билинейной формы называют:

.

(множество векторов, ортогональных V).

Можно рассматривать понятие ядра для произвольной билинейной формы, но в таком случае левое и правое ядра могут не совпадать.

Опр. Рангом билинейной формы называют ранг её матрицы. .

Определение ранга билинейной формы не зависит от выбора базиса, т.к. при переходе к новому базису её матрица домножается слева и справа на невырожденные матрицы, и её ранг не изменяется.

Опр. называется невырожденной, если , т.е. .

5. Канонический базис для симметрической билинейной формы.

Опр. Базис будем называть каноническим базисом симметрической билинейной функции , если .

Теорема. ( ) У любой симметрической билинейной функции существует канонический базис.

Доказательство проведём индукцией по .

Базис индукции: - очевидно.

Пусть . Предположим существование базиса для . Пусть . Тогда:

, т.е. , и любой базис является каноническим.

Пусть теперь . Рассмотрим . Понятно, что является подпространством , причём . Но - линейное уравнение ( - линейное уравнение), а значит . По индукции существует базис в такой, что . - канонический базис для симметрической билинейной формы .

05.03.05

6. Квадратичные формы

Опр. - квадратичная форма, если  симметричная билинейная форма , такая, что В этом случае говорят, что - полярная билинейная форма для q.

Предложение. Полярная БФ определена однозначно, если



Опр. Матрица квадратичной формы q в базисе - матрица ее полярной БФ.

Пример. Пусть для . Тогда .

Опр. Ранг квадратичной формы – ранг полярной БФ.

Опр. - невырожденная квадратичная форма, если (т.е. )

Опр. Канонический вид квадратичной формы

Опр. Нормальный вид квадратичной формы , и все

7. Алгоритм Лагранжа (приведения к каноническому виду).

Пусть . Метод заключается в выделении полных квадратов.

 (1) Пусть , например, . Тогда где т.е. p(x) не зависит от x₁. Положим

Тогда , где Следовательно, и можно считать, что C^-1 - матрица перехода к некоторому новому базису, в котором вектор имеет вид

По индукции  невырожденная замена переменных такая, что Положим Тогда где и - координаты в некотором базисе, т.к. Y = DX, и

(2) Предположим, что Пусть . Сделаем замену Тогда и где в нет Далее как в п. (1).

(3) Все 

8. Вещественные квадратичные формы

Пусть V – пространство над - квадратичная форма на V. Тогда в V существует базис, в котором q(x) имеет нормальный вид где - не зависит от выбора базиса.

Теорема. (закон инерции) Число положительных и отрицательных коэффициентов в нормальном виде квадратичной формы не зависит от выбора базиса (т.е. s и r-s всегда одни и те же).

Пусть (в базисе ) (в базисе ). Предположим, что t < s. Обозначим Тогда Пусть Т.к. то где Аналогично, q(a)  0 т.к. Противоречие. Следовательно, t не может быть меньше s и наоборот. 

Опр. Если то s – положительный индекс инерции, а число (r – s) – отрицательный индекс инерции q.

Опр. Квадратичные формы p(x) и q(x) эквивалентны, если существует невырожденная матрица A, такая, что , где P и Q – матрицы p и q.

Следствие. Формы p(x) и q(x) эквивалентны  положительные и отрицательные индексы инерции совпадают.

 1)  Приведем к нормальному виду.

2)  аналогично. 

9. Теорема Якоби.

Пусть - матрица квадратичной формы f. Главные миноры .

Лемма. Ядро невырожденной симметрической БФ равно нулю.

 Пусть весь вектор матрица f в . Тогда где Но если Z – вектор-столбец, для которого то Z = 0. Следовательно, Но 

Теорема (Якоби). Пусть q – вещественная квадратичная форма с матрицей F, и Тогда  базис V, в котором q имеет вид где

Индукция по n.

1) Положим Тогда

2) n > 1. Обозначим Пусть f на U имеет матрицу По предположению индукции  базис в котором

Рассмотрим базис пространства V. Пусть Тогда - система из (n-1) линейных уравнений с n неизвестными   ненулевое решение Если то Но - ограничение f на U – невырожденная БФ, а - невырожденная квадратичная форма  (по лемме) на U. Условие u – решение системы означает, что -противоречие. Следовательно, Это значит, что -базис V, в котором f имеет матрицу причем

Пусть C – матрица перехода  тогда где Отсюда Но Положим Тогда и 

10. Положительно определенные квадратичные формы.

Опр. q – положительно определена на V, если

Канонический вид:

Нормальный вид:

Теорема (критерий Сильвестра). Квадратичная форма q с матрицей F положительно определена .

Предположим, что Тогда ограничение f – полярная БФ на имеет нетривиальное ядро (доказать!). Но тогда для некоторого - не положительно определенная. Следовательно, все . Теперь все следует из теоремы Якоби. 

Опр. Симметричная БФ называется положительно определенной, если - положительно определенная квадратичная форма.

11. Канонический вид кососимметричной БФ

Пусть - кососимметричная БФ на V и

Замечание. Кососимметричная (или симметричная) БФ f невырождена (для фиксированного ).

Лемма. Пусть Тогда для любого подпространства такого, что ограничение f на невырождено.

Если для некоторого то (т.к. где .

Т.к. 

05.03.05

Теорема. Пусть – векторное пространство с невырожденной кососимметричной формой (билинейной). Тогда и существует разложение где , при . Кроме того, ограничение на имеет в некотором базисе матрицу .

Проведем индукцию по . - это противоречит невырожденности. Пусть .

Берем произвольный из . Тогда и т.к. то такой что . При этом и линейно независимы. Можно выбрать так, что и для все доказано.