М.В. Зайцев - Лекции по линалу, страница 2

.

1) Пусть сначала --- линейно независимы. Тогда дополним до базиса в и возьмём дуальный базис в , тогда эти базисы связаны со следующим соотношением: . Пусть . Тогда , то есть в этом случае , причём . Если же линейно зависимы, то существует максимальная линейно независимая подсистема, например, , такая что . Но тогда если , то . То есть (см. выше) отсюда мы уже доказали, что , следовательно, 1) доказано.

2) Пусть --- любое подпространство. Выберем базис в так, что . Если --- дуальный базис , то

Следствие 1. Множество решений однородной системы линейных уравнений является подпространством в арифметическом пространстве .

Следствие 2. Любое подпространствo в является пространством решений некоторой однородной системы линейных уравнений.

Пусть – подпространство. По предыдущей теореме существуют ,

такие, что: .

Если --- базис , --- базис (дуальный), то

. Если , то

ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И ОПЕРАТОРЫ

1. Линейные отображения.

Пусть и --- векторные пространства над .

Опр. Функция называется линейным отображением, если

.

Ядро: --- подпространство в .

Образ: --- подпространство в .

Опр. - множество всех линейных отображений .

Если мы знаем значение отображения на базисе, мы можем найти значение отображения на любом элементе по линейности.

2. Задание линейных отображений матрицами.

--- базис , --- базис . . Тогда .

Опр. --- матрица отображения в базисах , .

Пусть (т.к. разложение по базису в пространстве определено однозначно) или (столбцы).

Теорема. При фиксированных базисах в и существует взаимо однозначное соответствие между линейными отображениями из этого множества и матрицами х .

Введём обозначение матрицы}, .

1) Сюръективность : если взять матрицу , то для неё можно подобрать соответствующее линейное отображение: . Зададим на базисе : .

2) Инъективность. Пусть и . Тогда матрица разности отображений

Опр. Если и конечномерны, то ранг это размерность образа, .

Теорема.

Пусть --- базис . Тогда Столбцы матрицы линейного отображения линейно независимы, это означает, что линейно независимы в .

Теорема.

Опять же фиксируем базис: пусть --- базис , --- базис , --- матрица в этих базисах. . Через обозначим . Тогда

(а) - решение системы линейных уравнений .

(б) (предыдущая теорема) = . Следовательно,

Следствие 1. Следующие условия, наложенные на , эквивалентны:

1) инъективно, 2) , 3) .

Следствие 2. Пусть , . Тогда .

1) Если , то . ( ).

2) Пусть теперь ядро = 0. . Тогда инъективно (по предыдущему следствию 1 ) и образ = , следовательно - образ отображения .

Замечание. Линейность Тогда линейна.

14.02.05

3. Линейные операторы.

Пусть V=W. Тогда – множество линейных операторов на V

(т.е. линейных отображений )

Если и линейные операторы на V, – скаляр, то

То есть – алгебра линейных операторов.

Линейная алгебра

(а) - векторное пространство над

(б) - векторное кольцо (относительно сложения и умножения)

(в)

Другое обозначение: =

Алгебра изоморфна алгебре матриц , где .

4. Матрица линейного оператора.

Пусть – базис пространства V, и .

Опр. Если , то матрица в базисе

(j-й столбец А – координаты вектора в базисе )

5. Переход к другому базису.

Пусть и - два базиса V, , A – матрица в базисе , B – матрица в базисе , Пусть С – матрица переход а от к , т.е.

Теорема.

Посчитаем двумя способами:

1)

2)

Отсюда , т.е. , значит СВ=АС, т.к. С – невырождена, то

6. Определитель и след линейного оператора.

Предложение. Определитель и след матрицы линейного оператора не зависят от выбора базиса.

7. Определение.

Оператор – невырожденный, если det A 0.

Критерий невырожденности – невырожденный Ker = 0 Im = V rank A = dim V

8. Инвариантные подпространства.

Пусть – линейный оператор на V и .

Опр. U называется инвариантным подпространством для , если (т.е. )

Пусть – базис U, k≤n. Дополним его до базиса V .
Тогда , причем , т.е. матрица А имеет в базисе вид .

Если и , , то существует базис V, в котором .

9. Собственные векторы, собственные значения.

Опр. – собственный вектор оператора , если существует скаляр такой, что ; тогда – собственное значение.

Свойство. V – собственный вектор – инвариантное подпространство.

Теорема. Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда , где Е – тождественный оператор на V. (то есть для любого х E(х) = х)

1. Пусть v – собственный вектор, . Зафиксируем базис в V. Если Х – столбец координат v в этом базисе, то (где А – матрица в ) , где Е – единичная матрица. Следовательно, если собственное значение равно , то

_{(Примечание: не стоит путать обозначения A и A (хотя они и очень похожи.). Курсивом обозначен оператор, а обычным шрифтом --- матрица. Также E --- это тождественный оператор, а Е --- это единичная матрица.)}

2) Пусть , тогда (А, Е – матрицы , Е в базисе ) система имеет ненулевое решение вектор – собственный,

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН ОПЕРАТОРА

1. Определения

А – матрица оператора в некотором базисе пр-ва V.

Опр. Многочлен от переменной t называют многочленом оператора А.

не зависит от выбора базиса: если В – матрица А в другом базисе, то и .

Опр. Характеристический корень оператора: – характеристический корень, если .

Замечание. – характеристический корень – собственное значение оператора.

2. Геометрическая и алгебраическая кратность.

Пусть А – линейный оператор на V.

Обозначим: – множество всех векторов из V с собственным значением , включая нулевой вектор.

Тогда – подпространство V.

Опр. – геометрическая кратность .

Опр. Алгебраическая кратность - кратность корня в многочлене .

Лемма. , где , .

Пусть – матрица А в каком-нибудь фиксированном базисе, а Х – столбец координат вектора v. Тогда , т.е. – подпространство решений системы

Теорема. Геометрическая кратность не превосходит алгебраической.

Выберем базис в и дополним его до базиса всего V. Пусть А – матрица А в , тогда

, ()

где имеет размер , а - и

19.02.05

3. Спектр оператора

Опр. Спектром оператора A называется множество всех его собственных значений.

Опр. A – оператор с простым спектром, если , где различны и принадлежат F.

Пример: операция поворота плоскости на угол .

,

Корни A – оператор с простым спектром над , но не над .

4. Диагонализируемые операторы

Опр. A – диагонализируемый оператор, если существует базис пространства V, состоящий из собственных векторов оператора A, т.е. A имеет в некотором базисе матрицу диагонального вида

Лемма. Если - собственные векторы оператора A с различными собственными значениями, то они линейно независимы.

Индукция по k.

База индукции: k=1 – очевидно. Пусть k>1.

- собственные значения и . Тогда , т.е. . Одно из чисел отлично от 0. Пусть . Тогда и (по индукции) все коэффициенты

Теорема. Линейный оператор с простым спектром диагонализируем.

, , с простым спектром.

, различны.

Каждому соответствует по лемме векторы линейно независимы, т.е. - базис V (а это и есть определение диагонализируемого оператора)

Обратное неверно (например, тождественный оператор является диагнолизируемым, но он не имеет простого спектра).

Теорема. A диагонализируема

1. все корни принадлежат F

2. геометрическая кратность любого корня равна его алгебраической кратности

1.

Пусть A диагонализируема, , его собственные значения, dim V = n, - матрица A в некотором базисе из собственных векторов.

Перенумеруем (если необходимо) базис V:

Вычислим :

Все его корни лежат в F (т.к. разложим на линейные множители)

Геометрическая кратность:

Алгебраическая кратность:

Значит, алгебраическая кратность равна геометрической.

2.

Пусть разлагается над F на линейные множители и алгебраическая кратность любого корня равна его геометрической кратности.

Тогда , ,

Рассмотрим сумму подпространств . Если , , то по предыдущей лемме , т.е. - прямая сумма. Кроме того,

5. Минимальный многочлен оператора

Пусть A , , где - единичный оператор.