М.В. Зайцев - Лекции по линалу

ВВЕДЕНИЕ

1. Определения.

Пусть дано поле . Множество с операциями сложения и умножения на элементы поля называется векторным (линейным) пространством над полем , если выполнены следующие свойства:

1 - абелева группа по сложению.

2 Определено умножение скаляров из поля на элементы , результатом этого умножения является новый элемент , причем:

• ;

• ;

• ;

где

3 В поле есть единичный скаляр .

Опр. Вектором называется элемент векторного пространства.

2. Линейная зависимость.

Векторы называются линейно зависимыми тогда и только тогда, когда (не все равные 0), такие, что .

Следствие. линейно независимы тогда и только тогда, когда

Набор векторов будем называть базисом , если

1 такие, что .

2 линейно независимы.

Предложение 1. Пусть и - два базиса пространства. Тогда .

Разложим векторы первого базиса по второму базису . Если строчки скаляров линейно зависимы, то зависимы и (так как можно взять их линейную комбинацию с теми же коэффициентами, что обнуляют строки вида ). Так как число линейно-независимых строчек не превосходит , то . Аналогично

Опр. Размерностью пространства будем называть число векторов в любом базисе . Обозначается .

Предложение 2. Базис – максимальная линейно независимая система векторов (максимальная – значит наибольшая по включению).

Действительно, пусть есть вектор, который будучи добавленным к базису, образует вместе с ним по-прежнему линейно независимую систему. Но тогда этот вектор не выражается через вектора базиса! Обратно, если дана максимальная линейно независимая система, то она является базисом, так как любой другой вектор выражается через ее вектора (иначе можно было бы дополнить систему этим вектором).

Предложение 3. линейно независимых векторов.

Будем дополнять систему векторов до базиса. Этот процесс будет продолжаться сколь угодно долго (т.к. иначе пространство имеет конечную размерность). А так как система будет всегда линейно независима, то имеем систем линейно-независимых векторов сколь угодно большой длины.

4. Матрицы перехода от базиса к базису.

Пусть - два базиса . Тогда существуют скаляры такие, что . Тогда матрица называется матрицей перехода от базиса к базису .

Свойства матрицы :

1 -тый столбец матрицы - столбец координат вектора в старом базисе (нештрихованном).

2 .

Задача. Известны матрицы перехода от первого базиса ко второму и от второго базиса к третьему B. Доказать, что матрица перехода из первой системы в третью .

07.02.05

5. Координаты в различных базисах.

Пусть и - два базиса , .

Теорема.

, где - матрица перехода от нештрихованной системы к штрихованной.

.

6. Изоморфизм векторных пространств.

Отображение , где и - векторные пространства над одним и тем же полем называется изоморфизмом, если для любых

1) .

2) - биекция

Замечание. Ноль переходит в ноль (так как ), и только он, так как преобразование биективно.

Теорема. Конечномерные векторные пространства и изоморфны .

Пусть , - базис в , тогда - базис в . Действительно, пусть эти вектора линейно зависимы, т.е.

Значит, единственная нулевая линейная комбинация является тривиальной, то есть - действительно базис.

Пусть .

ПОДПРОСТРАНСТВО

1. Определение.

- векторное пространство над , . - подпространство, если выполнено .

Замечание. - подпространство относительно тех же операций, что и .

2. Линейная оболочка.

Пусть , тогда линейной оболочкой этих векторов называется множество всех их линейных комбинаций. .

Теорема. Линейная оболочка совпадает с наименьшим подпространством в , содержащим эти вектора.

Действительно, из определения прямо следует, что - подпространство в . С другой стороны, любое подпространство, которого содержит вектора будет содержать и всевозможные их комбинации, т.е. . Значит - наименьшее подпространство, содержащее .

3. Сумма и пересечение двух подпространств.

Пусть и - подпространства в . Суммой этих подпространств будем называть множество .

Лемма. и - подпространства.

Проверить по определению все свойства.

Теорема. Пусть - подпространства в , тогда

1. Если - подпространство, то или

2. если , то .

Доказательство.

1. Пусть и , т.е. Но тогда не принадлежит ни (иначе ), ни (иначе ). Значит - не подпространство. Противоречие.

2. Дано, что . Пусть . Тогда

Но тогда и так как . Обратное включение выполняется вообще Действительно, пусть . Тогда . С другой стороны,

Размерность суммы и пересечения.

Пусть .

Теорема.

Пусть - базис Тогда существуют дополнения его до базисов и , т.е. - базис и - базис . Докажем, что набор - базис суммы . Пусть . Обозначим за u сумму огда u – линейная комбинация векторов из , и в то же время она лежит в (так как выражается через базис подпространства ). То есть , но ведь - линейно-независимая система! Значит . Линейная независимость доказана. Разложимость любого вектора по этому базису очевидна. = число векторов в этом базисе = .

4. Прямая сумма подпространств.

Пусть даны подпространства и .

называется прямой суммой этих подпространств (обозначается ), если .

Теорема. Сумма - прямая .

Пусть Тогда Но получается - два разложения нуля! Значит .

Пусть все пересечения тривиальны (т.е. это лишь 0). Пусть и, например, , то есть пусть разложение вектора не единственно. Тогда , противоречие (пересечение содержит ненулевой элемент).

ЛИНЕЙНЫЕ И СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Пусть - векторное пространство над и

- линейная функция, если .

Ядром функции называется подмножество , на каждом элементе которого функция равна 0: . Ядро – подпространство в . Также если - линейные функции, то и их линейные комбинации с коэффициентами из также линейны.

Сопряженное (дуальное) пространство - множество всех линейных форм (функций).

Теорема. Пусть - конечномерное векторное пространство. Тогда .

Выделим базис в и рассмотрим . Т.е. значение равно символу Кронекера .

1) - линейная функция.

2) - линейно независимы. Пусть и .
Но . Противоречие.

3) - базис. Действительно, рассмотрим произвольную функцию и обозначим Тогда , т.е. .

12.02.05

1. Определение.

Базис { } пространства , такой, что называется дуальным (или сопряжённым) к базису { } пространства .

Обозначим за пространство, сопряжённое . Тогда, как мы уже знаем, . Мы уже говорили, что два пространства изоморфны, если они имеют равные размерности, но в данном случае, кроме того, можно установить особое соответствие: канонический изоморфизм.

2. Определение.

Отображение называется каноническим изоморфизмом и задаётся следующим образом: если - это вектор из , то . Это и есть определение

Проверим, что отображение --- изоморфизм между и . Для начала --- что линейная функция.

1) Проверим, что , то есть линейная функция из в : , то есть --- действительно линейное отображение из в , что означает, что это отображение задано корректно.

2) Проверим линейность отображения (сначала то, что сумма переходит в сумму). , то есть мы проверили, что . , то есть . Наконец, нужно проверить, биективно ли отображения .

Инъективность. Пусть , где --- базис (то есть мы взяли вектор из и разложили его по базису ). Если --- дуальный базис , то . Так как хотя бы один , то и . То есть . Следовательно, --- инъективное отображение (разные векторы имеют разные образы), потому что для линейного множества достаточно проводить проверку для «0», что мы уже только что проделали.

Сюръективность. Пусть и обозначим . Возьмём . Тогда , то есть . Значит, сюръективно, а из этого следует, что - биекция. Таким образом, --- изоморфизм.

Теорема. Векторы линейно независимы тогда и только тогда, когда , такие что: .

1) Пусть линейно зависимы, то есть существуют коэффициенты (хотя бы один отличен от 0), такие что . Пусть --- столбцы матрицы (*). Тогда для любых линейная комбинация столбцов .

2) Теперь пусть --- линейно независимы. Дополним до базиса : и возьмём дуальный базис . Тогда , что и требовалось доказать.

Пусть и --- множество векторов из , таких, что

обращаются в . То есть,

является решением системы линейных уравнений

Теорема. 1) Пусть . Тогда , где .

2) Любое подпространство является пространством решений некоторой системы