практикум_механика (1) (Физический практикум по механике (лабник)), страница 13

то формула (1) принимает вид

совпадающий с выражением для периода колебаний математического маятника длины . Поэтому величину , определяемую формулой (2), называют «приведенной длиной» физического маятника. Точку O’, находящуюся на расстоянии от оси вращения O на прямой, проходящей из O через центр тяжести C, называют «центром качаний». Если подвесить математический маятник в точке O и подобрать его длину так, чтобы он колебался синхронно с физическим маятником, то грузик математического маятника при колебаниях будет все время оставаться напротив центра качаний O’.

Свойство обратимости физического маятника состоит в том, что если его «перевернуть» и подвесить так, чтобы ось вращения проходила через центр качаний O’ параллельно прежней оси O, то период его малых колебаний не изменится, то есть будет таким же, как при колебаниях относительно прежней точки подвеса O (в этом смысле точки O и O’ называются «сопряженными»). Чтобы это показать, заметим, что период колебаний вокруг новой оси O’ определяется тем же выражением (1)

где – момент инерции маятника относительно новой оси, – расстояние от центра тяжести C до этой оси, равное O’C (рис.1). Приведенная длина для перевернутого маятника также выражается формулой (2) и равна

Поскольку оси O и O’ параллельны друг другу, моменты инерции и можно найти по теореме Штейнера:

где – момент инерции физического маятника относительно оси, проходящей через центр инерции C и параллельной осям O и O’. Подставляя и из (4) в (2) и (2’), получим

Из рисунка 1 видно, что , то есть . Подставляя во второе выражение системы (5), получим

Поскольку из первого выражения системы (5) следует, что

,

то (6) обращается в нуль и мы получаем равенство . Тогда из формулы (3) следует, что , что и требовалось доказать.

Изложенное доказательство позволяет утверждать, что если мы найдем для физического маятника две такие точки, что периоды его колебаний и вокруг параллельных осей, проходящих через эти точки, совпадают, то расстояние между этими точками будет равно приведенной длине (сам маятник в этом случае называют оборотным). Действительно, при совпадении периодов и совпадают и приведенные длины , и на основании (5) можно записать

Складывая и вычитая почленно эти уравнения, получим

Если , то есть если сопряженные точки расположены асимметрично относительно центра тяжести, то из второго равенства следует, что

При этом первое равенство дает соотношение . Подставляя его в (3), получим

или

Расстояние между двумя осями O и O’, колебания вокруг которых происходит с одинаковым периодом , можно измерить непосредственно, не зная, где находится центр тяжести маятника. В этом и состоит достоинство метода «оборотного» маятника.

Описание экспериментальной установки.

Оборотный маятник (рис.2) представляет собой цилиндрический стержень, на котором закрепляются две опорные призмы и . Конструкция маятника допускает изменение положения каждой из призм и их фиксацию в углублениях круговых рисок, нанесенных на стержне с интервалом в 1 см. Острые ребра этих призм обращены к центру стержня и должны быть параллельны друг другу. Маятник подвешен таким образом, что одна из призм своим ребром опирается на специальную площадку II неподвижного основания, так что маятник может совершать колебания вокруг оси, совпадающей с ребром призмы.

Рисунок 2.

Расстояние между ребрами призм измеряется по рискам, нанесенным на стержне. Это расстояние остается фиксированным в течение эксперимента.

Кроме опорных призм и , на стержне имеются два груза и , которые имеют обтекаемую форму «чечевицы» для уменьшения сопротивления воздуха их движению при колебаниях маятника. Эти грузы можно перемещать вдоль стержня и закреплять в произвольных положениях с помощью винтовых зажимов I. Для обеспечения условия , необходимого для удовлетворения равенства (7), грузы располагаются асимметрично: между опорами и , а – ближе к одному из концов стержня. При этом центр тяжести C маятника оказывается смещенным к тому концу стержня, у которого закреплен груз .

Для определения интересующей нас величины по формуле (9), необходимо, чтобы периоды и колебаний маятника относительно опор и совпадали. Такого равенства периодов при «настройке» маятника можно было бы в принципе добиться, перемещая опорные призмы и при фиксированных положениях грузов и . Однако, это практически невыполнимо, так как перемещение призмы ограничено положением груза , а перемещение призмы – близостью конца стержня. В связи с этим, настройку оборотного маятника ведут при фиксированном положении опорных призм. Передвигая грузы и вдоль стержня, можно изменять положение центра тяжести C маятника. При этом будут изменяться и его расстояния до точек подвеса (опорных призм) и , но так, что . Это позволяет настроить маятник практически при любых положениях призм и .

Для измерения периодов колебаний в установке используется секундомер. Искомое значение периода можно найти, разделив показания секундомера на число колебаний.

Прежде, чем начать проводить эксперименты, необходимо убедиться, что маятник при колебаниях не задевает неподвижные детали установки.

Физический маятник подвешивается на правом плече кронштейна 8, а на левом его плече бифилярно закреплен тяжелый шарик 9, который вместе с тонкой длинной нитью образует модель математического маятника, используемого для настройки оборотного маятника. Длина нити математического маятника может меняться. Для этого один конец нити закреплен на кронштейне, а второй намотан на катушку 11, положение которой фиксируется специальным винтом.

Настройка оборотного маятника методом измерения периода его колебаний

Периоды колебаний оборотного маятника и на опорах и с помощью формул (3) и (5) можно записать в следующем виде

При выводе этих формул было использовано выражение (8), в котором мы прибавили и вычли одно и то же число, а также ввели обозначение

Если (как на рис.2) и , то . Если же , то . Таким образом, во всех случаях лежит в пределах между и , а вне этих значений. Условие эквивалентно (7) и соответствует точной настройке маятника. Поэтому задача экспериментатора состоит прежде всего в том, чтобы найти такие положения грузов и , при которых обращается в нуль («настроить» маятник), после чего уже можно измерить точно период и приведенную длину и воспользоваться формулой (9) для вычисления .

Настройку маятника можно произвести, например, следующим образом. Закрепить в произвольном положении вблизи середины стержня. Измерить периоды колебаний маятника и на опорах и при различных положениях груза , перемещая его с некоторым выбранным шагом (например, 0,5 см) от контакта с опорой по направлению к нижнему концу стержня (см. рис.2). При этом перемещении нужно найти такое положение , при котором разность периодов меняет знак. Вблизи этого положения и находится точка настройки. Чтобы быстрее определить это положение, можно построить по результатам измерений график зависимости от на рис.2 и найти точку пересечения этого графика с осью абсцисс. Далее, небольшими перемещениями груза нужно добиться совпадения времени по крайней мере 100 колебаний маятника на опорах и – в этом случае маятник можно считать настроенным. Измерив средний период колебаний и расстояние между опорами , можно затем вычислить по формуле (9).

Настройка оборотного маятника методом сравнения с периодом колебаний математического маятника

Недостаток описанного выше метода заключается в том, что приходится много раз измерять периоды колебаний, в том числе и на предварительной стадии настройки. Чтобы этого избежать, при предварительной настройке можно использовать вспомогательный математический маятник, колеблющийся соосно с физическим маятником. При этом используется свойство глаза определять несинхронность колебаний по их рассогласованию (появлению разности фаз) без измерения периодов. В этом случае предварительная настройка производится следующим образом.

Приводим физический маятник в колебательное движение при опоре на призму . Чтобы запомнить период этих колебаний не измеряя его, синхронизируем с ними колебания вспомогательного математического маятника, подбирая его длину. При этом важно, чтобы колебания обоих маятников начинались одинаковым образом (совпадали их начальные фазы). Например, оба маятника надо отклонить на один и тот же угол и одновременно отпустить.

Переворачиваем физический маятник и подвешиваем его на опору . Сравниваем период колебаний в этом новом положении с периодом колебаний математического маятника, то есть с . Если физический маятник колеблется медленнее, чем математический, то это значит, что . Тогда , то есть и , следовательно для настройки надо уменьшить периоды. Поэтому нужно так передвинуть груз или , чтобы период уменьшился и стал возможно ближе к (то есть к периоду математического маятника).

Возвращаем физический маятник в положение . При изменении положения грузов, изменяются как , так и , то есть маятник теперь будет колебаться с новым значением периода . Изменяя длину математического маятника, подстраиваем его под физический маятник, чтобы его период стал равным .

Снова переводим физический маятник в положение . Если период его колебаний по-прежнему больше , то уменьшаем его перемещением грузов.

Продолжаем этот процесс, помня, что в положении настраивается математический маятник (подбором его длины), а в положении настраивается физический маятник (изменением положения грузов или ). Таким образом, удается добиться, чтобы (грубая настройка). Точная настройка, как и в первом случае, осуществляется измерением и с помощью секундомера, как описано в предыдущем разделе (по времени не менее 100 колебаний).