практикум_механика (1) (Физический практикум по механике (лабник)), страница 10

ИЗМЕРЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ЖЕСТКОСТИ ПРУЖИНЫ ПРИ ЕЕ УПРУГОЙ ДЕФОРМАЦИИ

Цель работы: Изучение законов упругой деформации твердого тела. Ознакомление с особенностями колебательных процессов. Измерение коэффициента жесткости пружины.

Оборудование: штатив с миллиметровой шкалой, пружины, набор грузов, секундомер, весы.

Краткая теория.

Основные свойства физического явления деформации твердого тела и его закономерности, рассмотренные на примере деформации продольного растяжения однородного металлического стержня, изложены в Приложении.

Рисунок 1.

Н иже рассмотрим особенности деформации пружины при растяжении. Конструктивно пружина – это длинный тонкий металлический стержень (проволока), намотанный в виде спирали (рис.1). Пружину при ее растяжении можно характеризовать коэффициентом жесткости . Его величина зависит от диаметра витка пружины, от диаметра проволоки, из которой пружина намотана, и от упругих свойств материала проволоки. В пределах области упругой деформации связь между силой , вызывающей растяжение пружины, и ее удлинение также как и для стержня, удовлетворяет закону Гука

Остаются верными для пружины и особенности деформации стержня во всем диапазоне нагрузок, описанные в Приложении и показанные на рис.7.

Однако следует иметь в виду, что растяжение пружины, в отличие от деформации растяжения стержня, из которого она намотана, носит значительно более сложный характер. Оно сопровождается изгибом витков, в котором основную роль играет деформация сдвига. При этом, коэффициент жесткости пружины, в основном, зависит не от модуля растяжения Юнга, а от модуля сдвига. Поскольку для металлов модуль сдвига в раза меньше модуля Юнга, а также потому, что изгиб проволоки при большом диаметре витка пружины значительно меньше, чем удлинение пружины , то и коэффициент ее жесткости будет значительно отличаться от коэффициента жесткости проволоки, из которой пружина сделана.

В этой лабораторной работе студентам предлагается проверить закон Гука (1) и измерить коэффициент жесткости пружины двумя методами: статическим и динамическим.

Статический метод определения коэффициента жесткости пружины

Рисунок 2.

Статический метод основан на свойстве пружины растягиваться на различную величину под действием одного и того же груза в зависимости от величины , На рис.2 изображены различные фазы этого процесса. Верхний конец пружины жестко закреплен. Поместим начало отсчета системы координат в верхней точке О и направим ось вертикально вниз. На нижний конец пружины подвесим платформу. Обозначим через суммарную массу платформы и пружины. Пусть – величина, характеризующая начальную длину пружины, растянутой ее собственным весом и весом платформы (рис.2а). При этом учитывать неравномерность растяжения отдельных витков пружины под действием веса нижележащих витков не имеет смысла, так как оно сводится к некоторому суммарному удлинению, учитываемому величиной . Если теперь на платформу поместить груз массы , то величина будет характеризовать новую длину пружины, растянутой весом (рис. 2б). При выполнении закона Гука (1) мы имеем право записать

Это выражение легко привести к виду, удобному для определения коэффициента жесткости

Динамический метод определения коэффициента жесткости пружины

Динамический метод определения коэффициента жесткости пружины основан на зависимости периода колебаний груза, подвешенного на пружине, от величины . Найдем эту зависимость. В соответствии с законом Гука можно записать

Рисунок 3.

Дальнейшее растяжение прекратится, и система будет находиться в состоянии покоя. Возникшая в пружине сила упругой деформации в соответствии со вторым законом Ньютона будет равна по величине внешней силе , противоположна направлению смещения , то есть

и направлена к положению равновесия. Это уравнение можно записать в виде

Выведем систему из положения равновесия, для чего оттянем платформу с грузом вертикально вниз до положения и отпустим (рис.3в). Теперь упругая сила станет больше , и платформа под влиянием равнодействующей силы начнет двигаться вверх к положению равновесия с ускорением . Уравнение этого движения запишем в виде

где – отклонение платформы от положения равновесия. Когда система при своем движении придет в положение равновесия, сила станет равной нулю. Однако, к этому моменту времени платформа приобретает максимальную скорость , по инерции пройдя положение равновесия, продолжит движение вверх. При этом упругая сила станет меньше , и на платформу будет действовать все возрастающая по величине равнодействующая сила , направленная вниз к положению равновесия. Эта сила будет тормозить платформу до полной ее остановки. Затем она начнет двигаться в обратном направлении. Так устанавливается колебательное движение системы около положения равновесия.

Уравнение этого движения находится следующим образом. Определим из (3) и, подставив его в (4), получим

Заменим с учетом, что .

Тогда

После подстановки (6) в (5) получим уравнение движения платформы

преобразуем его к виду

Уравнение (7) является уравнением гармонических колебаний. Легко убедиться подстановкой, что решение уравнения (7) имеет вид

где – амплитуда колебаний, – частота собственных колебаний платформы. Учитывая, что , а запишем выражение для периода колебаний платформы

Таким образом, платформа с грузом, подвешенная на пружине, будет совершать гармонические колебания с периодом, определяемым формулой (9). Эта формула позволяет записать выражение для коэффициента жесткости пружины

Условия применимости метода и оценка точности измерений

1. Учет массы пружины

Часто массой пружины пренебрегают. Чтобы это не приводило к большим ошибкам, на практике массу платформы выбирают значительно большей величины, чем масса пружины . Это исключает исследование начального участка нагрузочной кривой (см. рис.7). Чтобы учесть массу пружины, можно воспользоваться законом сохранения энергии.

Выражение (8) позволяет путем последовательного дифференцирования найти не только скорость смещения платформы от положения равновесия

но и потенциальную и кинетическую энергию платформы

Из формул (11) видно, что и кинетическая и потенциальная энергия упругой деформации пружины тоже совершают колебания. При этом, когда кинетическая энергия достигает максимума потенциальная равна нулю и наоборот. Однако их полная энергия остается величиной постоянной

Из (11) следует, что максимальное значение кинетической энергии пружины равно максимальному значению ее потенциальной энергии . С учетом обоих уравнений (11) это равенство для пружины запишем в виде

где – максимальное значение кинетической энергии самой пружины.

Рисунок 4.

Методика расчета заключается в учете энергии каждого элемента длины пружины, распределение скоростей которых близко к показанному на рис.4. Длина элемента пружины с координатой имеет массу . Поскольку скорость изменяется вдоль пружины по линейному закону , то его кинетическая энергия равна

Интегрируя (13), получим полную кинетическую энергию пружины

Учтем, что нижний виток пружины имеет ту же скорость, что платформа и груз . Значит равны между собой и их максимальные значения, то есть . Откуда

или

Поскольку , то учитывая связь из (14) получим окончательное выражение для расчета с учетом массы пружины

Теперь можно снизить массу платформы вплоть до нуля и исследовать деформацию пружины при малых нагрузках.

2. Влияние потерь энергии маятником

В данной работе движение платформы с грузом мы описываем уравнением (7) гармонических колебаний, решение которого имеет вид (8), а период колебаний определяется формулой (9). Все они не учитывают влияния потерь энергии при движении. Эти потери вызовут затухание амплитуды колебаний и увеличение их периода в соответствии с выражением

где – коэффициент затухания. Реальное значение будет несколько больше величины , определяемой (9).

Основным источником потерь является сопротивление воздуха и возможность выхода амплитуды колебаний за пределы, определяемые законом Гука. В этом случае деформация перестает быть упругой, нарушается изохронность колебаний, когда период колебаний начинает зависеть и от их амплитуды.

Величину коэффициента затухания легко оценить экспериментально. Достаточно определить секундомером время , за которое амплитуда уменьшается, и найти по формуле

Коэффициент затухания можно уменьшить, если придать платформе и грузам обтекаемую форму. Кроме того, сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости движения платформы. Увеличивая ее массу можно уменьшить потери энергии. Однако при этом нельзя забывать о соблюдении закона Гука.

Анализ точности измерений статическим методом

Используя общие правила вычисления ошибок косвенных измерений, относительная погрешность определения коэффициента жесткости статическим методом после дифференцирования выражения (2) запишется в виде

Здесь погрешность каждого грузика связана со взвешиванием, которое производится один раз для каждой массы и определяется только точностью весов. Погрешность ускорения свободного падения связана только с округлением до нужного числа знаков. Погрешности и пружины определяются несколько раз для каждого значения массы груза с последующим усреднением. Они включают приборную ошибку (точность отсчета по шкале длины), ошибку округления и случайную ошибку.

В соответствии с принципом равной точности число повторений опыта необходимо выбирать так, чтобы все три члена подкоренного выражения (17) были сравнимы по величине.