практикум_механика (1) (Физический практикум по механике (лабник)), страница 14

Анализ точности измерений

Метод оборотного маятника позволяет определить величину ускорения силы тяжести с высокой точностью до 0,1%. В соответствии с общим правилом вычисления погрешности косвенных измерений, относительная ошибка величины , определяемой формулой (9), равна

Принцип равной точности требует, чтобы все слагаемые в подкоренном выражении были одного порядка. Наименее точно определяется расстояние между призмами – приведенная длина . Абсолютная ошибка ее измерения, которое проводится один раз, состоит из приборной ошибки и ошибки округления . Чтобы число не внесло существенной погрешности при вычислении результата, ошибка его округления должна быть достаточно малой, следовательно, нужно взять .

Наиболее важна точность измерения периода колебаний:

Здесь – систематическая ошибка, связанная с тем, что экспериментальная настройка оборотного маятника не может быть идеальной и потому , так что определяет систематическую ошибку. Учитывая, что при

можно переписать равенство (10) в следующем виде

где мы пренебрегли величинами, содержащими , считая ее малой в результате настройки.

Складывая эти равенства почленно и учитывая, что , легко получить

Обозначая

получим

Считая, что , запишем соотношение

Вычитая почленно равенства (13), легко видеть, что

то есть

где можно считать равным .

Полученное выражение показывает, что величина относительной систематической ошибки пропорциональна неточности настройки маятника и обратно пропорциональна разности расстояний от центра тяжести до точек подвеса. Если эта разность невелика (мала асимметрия маятника), то систематическая ошибка может стать значительной даже при точной настройке (малом ). С другой стороны, значительное увеличение этой величины также невозможно, так как и связаны условием , то есть . Поэтому увеличить можно только уменьшая . Но уменьшение приводит к увеличению периода , а при большом периоде колебаний (малой частоте) большую роль начинает играть затухание колебаний, которое не учитывалось в формуле (1). Удовлетворительные результаты можно получить, если выбрать соотношение

При этом и

Отсюда видно, что для согласования с точностью измерения ошибка настройки не должна превышать , то есть должна составлять 0,01% от величины среднего периода колебаний.

Такому же требованию должна удовлетворять и приборная ошибка . Поскольку точность измерения времени секундомером составляет 0,01 сек, для уменьшения ошибки следует измерять время не менее 100 колебаний (в этом случае ошибка измерения периода, равного времени одного колебания, будет в 100 раз меньше, чем ошибка секундомера).

Случайная ошибка оценивается по общим правилам.

Условия применимости метода оборотного маятника

Поскольку метод основан на применении формулы (1), не учитывающей изменение периода вследствие затухания колебаний, это затухание должно быть малым, то есть добротность маятника должна быть очень высокой. Это же условие необходимо выполнить и для достижения высокой точности измерений, так как маятник должен совершить 100 колебаний прежде, чем они затухнут.

Основным источником потерь при движении маятника являются сопротивление воздуха и переменные деформации опорной призмы и опорной площадки, сопровождающиеся потерей энергией. В частности математический маятник не пригоден для точных измерений, так как потери при трении о воздух и периодически изменяющемся растяжении нити вызывают относительно быстрое затухание его колебаний. Поэтому форма грузов и физического маятника должна быть обтекаемой, а опорные призмы и площадки должны быть сделаны из возможно более твердого металла.

Кроме этого, формула (1) подразумевает независимость периода колебаний от амплитуды (изохронность колебаний), которая имеет место только при малых амплитудах, когда не нарушается гармонический характер движения. Поэтому, прежде, чем проводить измерения, необходимо проверить изохронность для выбранной амплитуды колебаний.

Учитывая, что полностью избежать потерь не удается, первоначальный запас энергии маятника должен быть достаточным для того, чтобы за время измерений 100 колебаний его амплитуда уменьшилась не более, чем в два раза. Если центр, тяжести при первоначальном отклонении поднимается на высоту (см. рис.1), то этот запас равен . Чтобы колебания были гармоническими, должно быть малым (угол отклонения не должен превышать ), в связи с чем масса маятника должна быть значительной. Однако при увеличении массы увеличивается и его вес, а, следовательно, и давление опорной призмы на площадку основания, что приводит к возрастанию потерь на деформацию. При конструировании маятника выбирается компромиссное решение.

Порядок выполнения работы

1. Определить рабочий диапазон амплитуд, при которых колебания маятника можно считать изохронными. Для этого возбудите колебания при некотором начальном отклонении (не более ) и измерьте время 100 колебаний. Затем, уменьшив начальное отклонение в 1,5 – 2 раза, повторите измерение времени. Если получается тот же результат, то для дальнейших экспериментов можно выбирать любую амплитуду, не превосходящую . Если же время 100 колебаний получится другое, то следует выбрать меньшее значение и повторить измерения.

2. Настроить маятник в соответствии с рекомендациями, указанными в данной лабораторной работе.

3. Измерить время 100 колебаний в каждом из положений и , причем каждое измерение провести не менее пяти раз. Таким образом, получится не менее 10 значений периода колебаний. Найти среднее значение и вычислить случайную ошибку.

4. Оценить систематическую ошибку по формуле (14).

5. Измерить расстояние между опорными призмами.

6. Вычислить величину ускорения силы тяжести по формуле (9).

7. Провести статистическую обработку результатов измерения, вычислить полную ошибку измерения по формуле (12) и записать окончательное значение ускорения силы тяжести в стандартном виде.

ПРИЛОЖЕНИЕ

ВЫВОД ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПЕРИОДА КОЛЕБАНИЙ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Рассмотрим физический маятник (рис.1) в тот момент, когда направление в нем образует угол с вертикалью. Поскольку его центр тяжести поднимается при этом над его равновесном положением на высоту , его полная энергия состоит из кинетической энергии и потенциальной энергии , причем

где – угловая скорость вращения в рассматриваемый момент времени и – момент инерции маятника.

При колебаниях центр тяжести движется по окружности радиуса . Поэтому

Если колебания являются малыми, (в радианном измерении) и . Таким образом, полная энергия маятника выражается в виде

Сравнивая это выражение с формулой для энергии груза массы на пружинке с жесткостью

если сделать замену

,

то эти выражения совпадут.

Грузик на пружине совершает гармонические колебания с периодом (см. лабораторную работу 4). По аналогии заключаем, что в случае физического маятника также будет изменяться по гармоническому закону с периодом

Более строго правомерность такой аналогии следует из уравнений механики в форме Лагранжа, с которыми Вы познакомитесь на старших курсах.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 7

ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

Цель работы: Изучение связанных колебаний в системе с двумя степенями свободы. Определение характерных частот (собственных, парциальных, нормальных) свободных колебаний системы. Изучение резонансных свойств колебательной системы.

Оборудование: экспериментальная установка для изучения колебаний связанных систем.

Краткая теория.

Систему, состоящую из материальных точек или твердых тел, между которыми действуют силы упругого характера (пропорциональные расстоянию между взаимодействующими телами), называют колебательной системой. Изучение таких систем представляет большой интерес для физики твердого тела, радиофизики, оптики. Примером колебательной системы может служить механическая модель молекулы, в которой атомы упруго связаны между собой.

Рисунок 1.

Ч исло независимых переменных, которые необходимы для полного описания движения системы, называется числом степеней свободы. В настоящей работе изучается система с двумя степенями свободы, состоящая из двух одинаковых маятников, взаимодействующих (связанных) с помощью легких спиральных пружин (рис.1). Движение системы описывается с помощью двух углов отклонения и каждого из маятников от вертикали, которые изменяются с течением времени.

Каждый из маятников представляет собой массивный диск, подвешенный в точке на длинном легком стержне. В некоторой точке на стержне первого маятника 1 закреплен перпендикулярно основному стержню второй, более короткий стержень . К концам и этого стержня прикреплена пара легких спиральных пружинок связи с разным коэффициентом жесткости и , вторые концы которых прикреплены к точке на стержне второго маятника 2. Точки и находятся на одинаковом расстоянии от точки подвеса .