практикум_механика (1) (Физический практикум по механике (лабник)), страница 12

Напряжения, с которыми каждая часть стержня действует на соседний с ней, одинаковы вдоль всей длины стержня (см. рис.6). Следовательно, каждый произвольно выбранный элемент стержня получает удлинение, пропорциональное его длине. В результате, полное удлинение стержня будет пропорционально первоначальной его длине . Другими словами, относительное удлинение стержня

е сть величина, независимая от . Поэтому, она может служить мерой степени деформации каждого участка стержня. Относительное удлинение стержня есть величина безразмерная и положительная при растяжении, отрицательная при сжатии.

На рис.7 графически изображена экспериментально полученная зависимость между действующим в стержне напряжением и величиной относительной деформации .

Рисунок 6.

Можно считать, что малые упругие деформации пропорциональны величине вызывающих их напряжений, а, тем самым, и величине приложенных к телу внешних сил. Для деформации растяжения эта пропорциональность между и записывается в виде

где – коэффициент, характеризующий упругие свойства материала стержня и независящий от его размеров. Этот коэффициент называют модулем упругости или модулем Юнга данного материала, а саму зависимость (23) – законом Гука. Если в формуле (23) положить , то есть , то получим . Поэтому модуль Юнга часто определяют как напряжение, которое надо приложить к стержню, чтобы его длина удвоилась, если бы при такой деформации закон Гука оставался бы еще верным. В действительности при таких деформациях тело либо разрушается, либо нарушается пропорциональность между деформацией и напряжением.

Рисунок 7.

Г оворя о точности измерений, следует сказать, что относительное удлинение можно определить не только выражением (22), но и выражением . Дело в том, что разность этих выражений

второго порядка малости по , а потому ею следует пренебречь.

Модуль Юнга не полностью характеризует упругие свойства тела. Дело в том, что продольное растяжение стержня связано с сокращением его диаметра . Удлиняясь, стержень становится тоньше. Это изменение диаметра принято характеризовать также относительным поперечным сжатием

Очевидно, что и всегда имеют противоположные знаки. Опыт устанавливает связь между ними

где – положительный коэффициент, зависящий только от свойств материала. Его называют коэффициентом Пуассона. Для большинства материалов значение лежит в диапазоне от 0,25 до 0,5.

Таким образом, упругие свойства твердого тела характеризуются двумя величинами и . Здесь речь идет о деформации изотропного тела. Деформация же анизотропного кристаллического тела зависит не только от направления действия внешних сил, но и от ориентации его кристаллографических осей. Поэтому упругие свойства кристаллов характеризуются гораздо большим числом величин.

Заметим еще, что все модули и коэффициенты упругости следовало бы для точности называть изотермическими. Они характеризуют деформации тел в предположении, что их температура остается постоянной. Это обычно имеет место в случае статистических деформаций. Но динамические деформации могут происходить настолько быстро, что разности температур, возникающие при деформации, не успевают выравниваться в результате теплообмена. В пределе теплообмен между различно нагретыми частями тела совсем не происходит. Соответствующие процессы, модули и коэффициенты упругости называют адиабатическими. Эти особенности также следует учитывать в эксперименте.

Значение предела упругости зависит не только от вещества тела, но и от технологии его изготовления, предварительной обработки, наличия примесей и т.д.

Предельная величина деформации, за которой наступает пластичность, очень мала. Так, для монокристаллов алюминия она порядка , а сталь упруга только до .

Закон Гука остается справедливым только в пределах участка графика (см рис.7). Существует предельная величина напряжения , начиная с которой в теле появляется пластическая деформация. Эта величина, соответствующая верхней границе участка графика, называется пределом упругости.

Пластическая деформация сама влияет на величину предела упругости тела. Если подвергнуть металл холодной обработке путем его пластического деформирования, то его предел упругости повышается. Это явление называют упрочнением. Благодаря упрочнению тело, в котором действуют напряжения, превышающие предел упругости, не разрывается.

На участке кривой на рис.7 обнаруживаются значительные отклонения от закона Гука. Так, если мы выбираем точку в пределах участка кривой, соответствующего упругой деформации, то, уменьшая нагрузку, мы будем двигаться по этой кривой к точке . При полном снятии нагрузки тело восстановит свои первоначальные размеры и форму. Если же мы выберем точку на участке , соответствующем пластической деформации, то с уменьшением нагрузки мы станем двигаться по прямой , параллельной участку . При полном снятии нагрузки будем иметь остаточную пластическую деформацию . Полная деформация, соответствующая точке , определяется суммой пластической ( ) и упругой ( ) деформаций. Если теперь увеличивать напряжение, то мы будем двигаться сначала по прямой , а за точкой – по участку кривой , снова увеличивая пластическую деформацию. При этом снова будет увеличиваться предел упругости.

При дальнейшем увеличении нагрузки можно достигнуть предела прочности материала, за которым следует разрушение тела (точка ). Если предел прочности близок к пределу упругости, то такие тела называют хрупкими. Они не дают значительных остаточных деформаций (например, закаленная сталь). Другие тела, напротив, способны давать значительные пластические деформации. Для таких тел существует некоторое максимальное значение , которое нельзя превысить. Его называют пределом текучести. Под действием напряжения, равного пределу текучести, тело непрерывно увеличивает свою деформацию (второй линейный участок кривой рис.7). Оно будет течь как жидкость. При дальнейшем увеличении нагрузки материал вновь приобретает способность сопротивляться растяжению (участок кривой). Точка соответствует разрыву тела (предел прочности).

С учетом выражений (21) и (22) закон Гука (23) легко представить в виде

Отсюда можно получить новую его запись

где – коэффициент жесткости стержня. Он зависит уже не только от упругих свойств материала, из которого сделан, но и от его геометрических размеров. Так стержни разного сечения или длины, сделанные из меди, будут иметь одинаковый модуль Юнга, но разные коэффициенты жесткости.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5

ИЗМЕРЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ С ПОМОЩЬЮ ОБОРОТНОГО ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Цель работы: Экспериментальная проверка свойства обратимости точки подвеса и центра качаний физического маятника. Ознакомление с одним из методов измерения ускорения силы тяжести (напряженности гравитационного поля) с помощью оборотного физического маятника. Измерение величины ускорения силы тяжести с высокой точностью.

Оборудование: экспериментальная установка, содержащая физический маятник специальной конструкции – оборотный маятник, секундомер (со счетчиком числа колебаний), а также вспомогательный математический маятник с устройством для измерения длины его нити, подвешенный в точке, лежащей на продольной оси физического маятника.

Краткая теория.

Точные измерения ускорения силы тяжести представляют интерес для физики, так как они необходимы, в частности, для определения фундаментальной мировой константы – гравитационной постоянной в законе всемирного тяготения Ньютона. Кроме того, такие измерения интересны и для практической геологии (геофизики), так как небольшие локальные изменения ускорения силы тяжести позволяют судить о строении Земли (гравиметрическая разведка).

Для измерения ускорения силы тяжести наиболее удобно использовать колебания физического маятника. Физическим маятником называется твердое тело, которое может совершать крутильные колебания вокруг горизонтальной оси, проходящей выше центра тяжести тела.

Период малых колебаний физического маятника под действием силы тяжести определяется выражением

где – момент инерции маятника относительно оси О его вращения, – его масса и – расстояние от центра тяжести С до оси вращения (точка подвеса). Все обозначения указаны на рис.1. Вывод формулы (1) приведен в Приложении.

Рисунок 1.

Если измерить период , найти момент инерции и массу маятника , а также расстояние , то по формуле (1) можно вычислить интересующую нас величину . Однако, для снижения сопротивления воздуха движению маятника, ему обычно придают сложную обтекаемую форму. Это существенно затрудняет точное определение положения центра тяжести маятника. Поэтому в эксперименте используется метод, основанный на свойстве «обратимости» физического маятника. Он позволяет исключить неизвестные величины и , и ограничиться более простыми измерениями расстояний и времени.

Чтобы пояснить сущность метода, заметим, что если ввести обозначение