практикум_механика (1) (1106030), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Рисунок 2.

Е сли конец стержня 3 заставить колебаться (с помощью внешней вынуждающей силы) с некоторой частотой , то на стержень маятника 2 со стороны пружин связи будет действовать упругая сила, равная , где – суммарная жесткость пружин связи маятника 2 со стержнем 3, а – деформация этих пружин, аналогично (2) равная , где и - углы отклонения, соответственно, маятника 2 и стержня 3 от вертикали (в радианах). Предполагая также, что на каждый из маятников 1 и 2 действует момент сил вязкого трения, пропорционально угловой скорости , получим вместо (3) следующие уравнения движения:

где коэффициент зависит от размеров и формы маятников, вязкости воздуха и трения в оси .

Эти уравнения можно записать в виде (6), введя обозначения (5) и дополнительное обозначение для второй константы связи :

где .

Переходя, как и в (7), к новым переменным (нормальным координатам)

а также учитывая, что изменяется по гармоническому закону , получим из (13):

Из этих уравнений видно, что движение системы на рис.2 описывается суперпозицией вынужденных нормальных колебаний, частоты которых

несколько увеличены по сравнению с (9) за счет второй константы связи . Если частота внешнего воздействия приблизительно равна нижней нормальной частоте , то вследствие резонанса в системе будет возбуждаться в основном синфазная мода , а амплитуда антифазной моды будет малой ввиду различия частот и . Этот случай аналогичен описанному выше («синфазное возбуждение колебаний системы»), только там эффект достигался специальным выбором начальных условий.

Если , то будет возбуждаться (резонировать) в основном антифазная мода с верхней нормальной частотой. Этот случай аналогичен рассмотренному выше в разделе «противофазное возбуждение колебаний системы».

Если , то по аналогии с рассмотренным в разделе «возбуждение колебаний системы со сдвигом фаз » можно утверждать, что в системе будут наблюдаться интенсивные биения, так как их амплитуда резко возрастет вследствие резонанса.

Наконец, если закрепить первый маятник в положении равновесия, то есть обеспечить , то из (13) следует, что

В этом случае резонанс будет наблюдаться вблизи парциальной частоты при , также слегка увеличенной за счет .

Описание установки и методики измерений

Установка для изучения колебаний связанных систем представляет собой настольный прибор (рис.3). К верхней части вертикальной стойки 4 основания 5 крепится кронштейн 6, к которому подвешены на подшипниковых опорах два маятника 1 и 2 и стержень 3 возбуждения колебаний. В установке имеется датчик, который посылает сигналы в электронный блок управления 7 секундомера, совмещенного со счетчиком числа колебаний, при пересечении стержнем маятника 2 луча света, падающего от миниатюрной лампочки 15 на фотодетектор 16. Дисковый груз 8 маятника 2 можно перемещать вдоль стержня маятника и закреплять в выбранном положении винтом 9 при настройке.

На стержне маятника 1 и стержне возбуждения колебаний 3 имеются поперечные стержни 10, предназначенные для крепления двух пар пружин 11. Другие концы этих пружин попарно крепятся к двум втулкам 12, насаженным на стержень маятника 2. Положение каждой пары пружин 11 и втулок 12 можно изменять, перемещая их вдоль соответствующих стержней и закрепляя специальными винтами.

Рисунок 3.

В озбуждение колебаний стержня 3 производится кривошипным механизмом 13, закрепленным на валу электродвигателя. Включение двигателя и изменение частоты его вращения производится ручкой на блоке управления 7.

Для измерения амплитуды колебаний служит круговая шкала 14, закрепленная у основания прибора.

Измерение периода колебаний маятника 2 производится следующим образом. Нажатием клавиши СЕТЬ включаем блок 7. Нажав клавишу СБРОС, переводим схему в «ждущий» режим – на индикаторах высвечиваются нулевые показатели. При пересечении стержнем маятника луча света, падающего от лампочки на фотодетектор, автоматически включается секундомер и начинается отсчет времени и числа периодов колебаний. Если через некоторое время нажать клавишу СТОП, то отсчет времени продолжается автоматически только до завершения очередного периода колебаний, после чего он прекращается. На двузначном индикаторе высвечивается число периодов колебаний, а на пятизначном – время, за которое эти колебания совершились. Отношение отсчитанного времени к числу полных колебаний и дает искомую величину периода .

Условия применимости метода

При выводе основных уравнений мы считали углы отклонения маятников от вертикали малыми, полагая . Это можно делать, только если амплитуда колебаний не превышает . За выполнением этого условия необходимо следить, пользуясь шкалой 14. При наблюдении вынужденных колебаний в условиях резонанса амплитуда сильно возрастет. Чтобы колебания при этом оставались гармоническими (или, по крайней мере, не выходили за пределы шкалы 14), иногда приходится уменьшать амплитуду внешнего воздействия. Для этого перемещают вверх пару пружин связи маятника 2 со стержнем 3. При этом уменьшается плечо вынуждающей силы , а вместе с ней и константа связи в уравнениях (12) и (13), пропорциональная .

Поскольку при нахождении моментов сил связи в (3) мы считали их перпендикулярными к стержням маятников, необходимо следить, чтобы пружины связи 11 были перпендикулярны стержням 1, 2 и 3. Для этого необходимо, чтобы точки и , а также и (рисунки 1 и 2), располагались друг напротив друга, когда система находится в состоянии равновесия. Этого можно добиться, перемещая стержни 10 и втулки 12 вдоль стержней 1, 2 и 3 (рис.3) и закрепляя их в нужных положениях.

При рассмотрении изучаемой колебательной системы мы считали маятники идентичными. Поэтому формулы, полученные в описании, будут справедливы при условии, что периоды собственных колебаний маятников 1 и 2 совпадают. Чтобы этого добиться, перемещают диск 8 вдоль стержня 2 (рис.3) и закрепляют его винтом 9 в таком положении, когда разность частот свободных колебаний маятников 1 и 2 становится пренебрежимо малой (нужно синхронизировать не менее 50 колебаний).

При рассмотрении колебаний системы мы считали их незатухающими. Если затухание существенно сказывается на движении маятников, то частоты свободных колебаний будут заметно отличаться от собственной частоты (5). Кроме того, с помощью уравнений (14) можно убедиться, что, строго говоря, «нижний» резонанс должен наблюдаться на частоте

,

а «верхний» – на частоте

Эффектом затуханий можно пренебречь, только если логарифмический декремент мал по сравнению с единицей.

Рассматривая колебания физических маятников 1 и 2, мы считали, что они происходят в вертикальной плоскости. Вот почему необходимо, чтобы стойка 4 (рис.3) занимала строго вертикальное положение. Поэтому прежде, чем проводить эксперимент, необходимо произвести установку прибора с помощью винтовых опор основания 5.

Порядок выполнения работы

Эксперимент 1. Определение частоты собственных колебаний системы

1. Установите основание прибора (рис.3) в горизонтальное положение с помощью винтовых ножек. При этом стойка 4 автоматически займет вертикальное положение.

2. Устраните связи между маятниками, осторожно сняв все 4 пружины 11 со стержней 10 и втулок 12.

3. Отклонив маятники 1 и 2 в одну сторону на одинаковый угол, одновременно отпустите их и наблюдайте за их колебаниями. Если они колеблются синхронно – система настроена. Если через колебаний маятников их движения рассогласовываются (глаз легко замечает даже небольшую разность фаз), подстройте маятник 2, сдвигая диск 8 вверх или вниз вдоль стержня. Необходимо добиться синхронизации 50-100 колебаний. Если настройка системы произведена небрежно, все результаты работы будут безнадежно испорчены. Поэтому нужно тщательно подобрать необходимое положение груза 8, что требует терпения.

4. Добившись равенства периодов, включите секундомер и измерьте период собственных колебаний , по времени не менее 10 колебаний по методике, описанной ранее. Вычислить частоту собственных колебаний . Повторите измерения 5 раз и проведите статистическую обработку полученных результатов.

5. Определите логарифмический декремент затухания колебаний по формуле

где – начальная амплитуда, – амплитуда - колебания. Возьмите , подсчитывая число колебаний по индикатору ПЕРИОДЫ, а амплитуду колебаний – по шкале 14. Проверьте, выполняется ли условие . Учтите, что величина является относительной систематической ошибкой Ваших измерений.

Эксперимент 2. Изучение свободных колебаний системы

1. Восстановите связь между маятниками 1 и 2, надев одну пару пружин, соединяющих втулку 12 на стержне 2 со стержнем 10 на маятнике 1 (стержень 3 по-прежнему остается свободным). Убедитесь, что в положении равновесия втулка 12 на маятнике 2 располагается на той же высоте, что и стержень 10 на маятнике 1. Это значит, что пружины должны быть перпендикулярны стержням.

2. Зафиксируйте рукой маятник 1 в положении равновесия. Измерьте период колебаний маятника 2 по времени не менее 10 колебаний. Повторите измерения 5 раз и вычислите частоту парциальных колебаний , а также оцените по ней величину константы связи . Произведите статистическую обработку результатов.

3. Отклоните маятники 1 и 2 в одну сторону на одинаковый угол и одновременно отпустите. Проверьте синфазность колебаний и определите нижнюю нормальную частоту по времени не менее 10 колебаний. Повторите измерения 5 раз. После статистической обработки сравните полученный результат с .

4. Отклоните маятники 1 и 2 в противоположные стороны на одинаковый угол, измерив его по шкале 14, и одновременно отпустите их. Убедитесь, что они колеблются в противофазе и измерьте верхнюю нормальную частоту по времени не менее 10 колебаний. Повторите измерение 5 раз и произведите статистическую обработку. Вычислите величину по формуле (9) и сравните ее со значением, полученным в п.2. Они должны совпадать в пределах ошибок измерения.

5. Отклоните маятник 1 на небольшой угол от вертикали (маятник 2 при этом практически остается в положении равновесия). Нажмите клавишу СБРОС и затем отпустите маятник 1. Наблюдайте картину биений и считайте их число. Имейте при этом в виду, что секундомер в это время считает число колебаний маятника 2, а не число биений, которое должны подсчитать Вы сами. После того как произойдет 5-6 полных биений (амплитуда маятника 2 каждый раз уменьшается почти до нуля через время , ,…) нажмите кнопку СТОП. Найдите период биений и период колебаний , воспользовавшись временем и числом колебаний, зарегистрированных секундомером, и сосчитанным Вами числом биений. Повторите измерение 5 раз и произведите статистическую обработку. Проверьте равенства

Характеристики

Список файлов книги