Андрусевич Л.К. - Электромагнитные поля и волны, страница 12

(8.12)

где . (8.13)

Длина волны определяется из условия

. (8.14)

Как следует из (8.13) и (8.14), фазовая скорость волны в волноводе всегда больше скорости света, а длина волны больше длины волны в пустоте, определяемой как

.

С ростом частоты фазовая скорость стремится к скорости света, а с уменьшением частоты она возрастает и становится равной бесконечности на критической частоте (рис.8.8). Все сказанное можно иллюстрировать рис.8.9, на котором видно, что фронт волны со скоростью света за время T (период колебания) переместился на расстояние равное длине волны λ₀, в

то время как точка фронта волны А вдоль волновода переместилась на расстояние АВ>λ₀, т.е. >с.

Наряду с критической частотой часто пользуются также критической длиной волны:

. (8.15)

Из (8.15) следует, что критическая длина волны имеет порядок периметра сечения волновода, Это означает, что волноводы могут применяться лишь на очень высоких частотах, если исходить из их приемлемых размеров. Поэтому волноводы, как правило, применяются на сверхвысоких частотах. На основании вышеизложенного можно сделать ряд важных выводов:

1.Фазовая скорость волны в волноводе зависит от частоты, т.е. имеет место частотная дисперсия.

2.Фазовая скорость в волноводе всегда больше скорости света в свободном пространстве.

3.Волны с частотой меньшей или равной критической в волноводе не распространяются.

8.3.5 Картина поля в прямоугольном волноводе

Для построения картины поля в прямоугольном волноводе вначале найдем составляющие магнитного поля, воспользовавшись вторым уравнением Максвелла:

, или . (8.16)

В проекции на координатные оси x, y, z это уравнение может быть записано в виде следующих трех уравнений:

, (8.17,а)

, (8.17,б)

. (8.17,в)

где Е_х, Е_y, E_z – составляющие электрического вектора, определяемые формулами (8.6). Выполнив дифференцирование, получим

, (8.18,а)

, (8.18,б)

, (8.18,в)

где В_х, В_y, В_z – произвольные постоянные, не содержащие новых неизвестных величин. Например, определим В_x. Для этого вернемся к уравнению (8.17,а):

,

где

,

Таким образом,

,

где .

Аналогично можно определить величины В_у и В_z .

Теперь можно рассматривать картину поля для волн различного типа. Вначале рассмотрим волны типа Н, т.е. такие, у которых вектор имеет продольную составляющую магнитного поля Н_z, а силовые линии электрического поля ориентированы в плоскости, нормальной продольной оси волновода z (E_z=0).

Для различных значений величин m и n обозначение типа волны записывается в виде Н_mn. Индексы m и n определяют сложность поля. Простейшие волны имеют наименьшие значения этих индексов. Для волны типа Н простейшей волной является волна Н₁₀. С рассмотрения этого типа волны и начнем. Вначале запишем выражения для составляющих электрического и магнитного полей в некотором сечении волновода z=z₁, опустив для удобства общий множитель :

(8.19)

Г рафики этих зависимостей изображены на рис.8.10. Полная картина поля в поперечном сечении волновода представлена на рис.8.11.

По аналогии с волной Н₁₀ нетрудно построить картины волн более высокого уровня сложности – Н₂₀ и Н₁₁ (рис.8.12).

Критическую длину волны для волн типа Н можно определить по формуле (8.15). Например, для волны Н₁₀ λ_кр=2а, а для волны Н₂₀ λ_кр=а.

Теперь рассмотрим картину поля волны типа Е. Так как у этого типа волны Н_z=0, то для того, чтобы силовые линии магнитного поля были замкнуты, Н_х и Н_у не должны равняться нулю. Как следует из (8.18,а), при m=0 H_x=0, а при n=0 H_y=0. Поэтому низшим типом волны типа Е является волна Е₁₁. Картина поля волны Е₁₁ приведена на рис.8.13.

8.4 Круглый волновод

8.4.1 Общие сведения

К руглый волновод представляет собой полую металлическую трубу круглого сечения. По аналогии с прямоугольным волноводом, в круглом волноводе векторы поля Е и Н определяются в результате решения волновых уравнений (8.1). В системе прямоугольных координат решение волновых уравнений имеет весьма громоздкий вид. Поэтому в случае круглых волноводов логично применить цилиндрические координаты r, φ, z (рис.8.14), при использовании которых граничные условия выглядят весьма просто:

при r = а (8.20)

Однако при этом сами уравнения усложняются. Так, для электрического поля волновое уравнение принимает вид

. (8.21)

8.4.2 Решение волновых уравнений. Критическая длина волны

Подобно тому, как это было сделано в случае прямоугольного волновода, решение этого уравнения в общем виде можно записать в виде произведения трех функций, каждая из которых является функцией одного аргумента:

Е=R (r) (φ) Z(z). (8.22)

Опуская математические подробности, сразу запишем решение уравнения (8.21) для волны типа Е в виде:

(8.23)

где J_n – функция Бесселя первого рода n-го порядка, а – ее первая производная. Для упрощения здесь опущен общий множитель .

Для определения постоянной распространения воспользуемся граничными условиями, согласно которым при r=a составляющие электрического поля Е_φ и Е_z равны 0. Тогда, как следует из (8.23),

Значения аргумента функции Бесселя , при которых сама функция равна нулю, называются корнями уравнения :

, (8.24)

где m – порядковый номер корня. Величину принято называть поперечным волновым числом.

Каждому значению соответствует определенное значение .

Волна будет распространяться в волноводе, когда имеет чисто мнимый характер. Из (8.24)

(8.25)

Условию соответствует условие Поэтому волновой процесс в волноводе будет существовать в волноводе, когда .

Следовательно, граничная (критическая) длина волны для волны типа Е равна

. (8.26)

Корни уравнения табулированы. Их можно найти в любом справочнике по высшей математике.

8.4.3 Картина поля в круглом волноводе

С учетом (8.23) запишем уравнения для составляющих векторов и в виде

(8.27)

При этом индекс корня n соответствует числу целых волн стоячей волны, укладывающихся по окружности волновода, а индекс m – числу также целых волн стоячей волны, укладывающихся вдоль радиуса.

Уравнения (8.27) для волны простейшего типа Е₀₁ принимают вид:

(8.28)

г де, как следует из теории бесселевых функций, , а корень уравнения =2.41.

Так как составляющая Е_φ =0, то в плоскости поперечного сечения волновода имеется чисто радиальное электрическое поле, а из–за того, что Н_r=0, магнитные силовые линии в плоскости поперечного сечения волновода образуют семейство концен-трических окружностей с центром на оси волновода. Используя общий принцип, можно построить картины полей волн более сложного вида – Е₀₂, Е₁₁ и т.д. Картина поля волн Е₀₁ и Е₁₁ приведена на рис.8.15.

В круглом волноводе также возможны волны типа Н. Выражения для составляющих поля можно получить, используя принцип двойственности. В результате составляющие поля волны типа Н записываются в виде:

(8.29)

Здесь – корень уравнения .

Критическая частота для волны типа Н определяется как

. (8.30)

Составляющие поля простейшей волны Н₀₁ имеют вид:

(8.31)

где =3,83.

Картина поля волн Н₀₁ и Н₁₁ приведена на рис.8.15.

8.5 Траектории волн в волноводах

К ак было показано в разделе 8.2, поперечные волны в принципе не могут распространяться в волноводе. Следствием этого может быть только одно, а именно то, что волны в волноводе могут распространяться только по наклонным к оси волноводам траекториям путем многократного отражения от стенок. Это можно легко подтвердить с помощью рис.8.16. Например, в случае волны типа Е силовые линии электрического поля имеют как поперечную, так и продольную составляющую. Поэтому вектор Е, а, значит, и вектор Пойнтинга, указывающий направление распространения, ориентированы под углом φ к стенкам волновода.

Для определения угла наклона обратимся к рис.8.18.Так как на стенках волновода касательная составляющая вектора равна нулю, то в точке С^' волна, падающая из точки B, должна быть в противофазе с волной, падающей из точки С^' на противоположную стенку волновода в точку F. Для сохранения этой разности фаз путь CBC^' должен равняться :

CB + BC´ = λ₀. (8.32)

Так как и , то

Отсюда

(8.33)

где а – размер широкой стенки прямоугольного волновода.

Из (8.33) следует, что угол падения волны зависит от длины волны (частоты), и, что на определенной частоте волна распространяется по единственной траектории под определенным углом падения. Из (8.33) также видно, что с уменьшением частоты (увеличением длины волны) угол φ стремится к нулю и на частоте, равной критической ( =2а) волна вдоль волновода не распространяется, отражаясь в поперечной плоскости от стенок волновода, образуя стоячую волну. При этом, как было показано с помощью формул (8.13) и (8.14), фазовая скорость и длина волны обращаются в бесконечность. В этом также легко убедиться с помощью рис.8.18. Пусть отрезок АС равен расстоянию, на которое переместился фронт падающей волны со скоростью света за время, равное периоду колебания высокой частоты. Этот путь по определению равен длине волны в пустоте . За то же время вдоль волновода фронт переместился на расстояние АС, которое определяет длину волны в волноводе. Из треугольника АВС

, (8.34)