Андрусевич Л.К. - Электромагнитные поля и волны, страница 7

Здесь – мощность стороннего источника,

– мощность тепловых потерь,

W – энергия, сосредоточенная в объеме,

– мощность излучения из объема.

Определим количественное соотношение между составляющими уравнения (4.1). Для этого воспользуемся первым уравнением Максвелла в дифференциальной форме (2.12):

. (4.2)

Умножим обе части уравнения на :

.

В курсе векторного анализа известно соотношение:

. (4.3)

Преобразуем левую часть уравнения (4.2) с учетом (4.3):

.

Заменив на , получим

. (4.4)

Переписав два последних слагаемых в скалярной форме, получим следующее выражение:

. (4.5)

Проинтегрируем по объему V обе части уравнения (4.5):

По теореме Остроградского–Гаусса заменим на . Обозначим . Окончательная форма уравнения баланса примет вид:

. (4.6)

Левая часть (4.6) представляет собой мощность стороннего источника. Первый член правой части является мощностью тепловых потерь, слагаемое – мощность, сосредоточенная в объеме V, которая расходуется на преобразование электрической энергии в магнитную и наоборот. Здесь – энергия электрического поля, – энергия магнитного поля.

Последнее выражение в (4.6) – мощность, излучаемая из объема V. Величина называется вектором Пойнтинга. Вектор Пойнтинга характеризует плотность потока излучаемой из объема мощности и измеряется в .

Если предположить, что затрат мощности на изменение энергии в объеме V нет ( ), то уравнение

(4.7)

называется теоремой Пойнтинга. Эта теорема устанавливает состояние баланса энергии в некоторой области, где сосредоточено электромагнитное поле.

Пример.

Как известно, любой линейный проводник обладает индуктивными и емкостными свойствами. Поэтому любая проволочная антенна в принципе является резонансной системой, т.е. представляет собой своего рода колебательный контур, для которого генератор высокой частоты является сторонним источником электромагнитного поля. Часть энергии стороннего источника расходуется на нагрев катушки индуктивности, выполненной из провода с конечной проводимостью, часть энергии сосредоточена в колебательном контуре и расходуется на преобразование электрической энергии в магнитную и наоборот, а часть ее излучается в окружающее пространство в виде электромагнитных волн.

5 Электромагнитные волны в однородных изотропных средах

5.1 Волновой характер электромагнитного поля

Электромагнитными волнами называют переменные электромагнитные поля, которые способны существовать в пространстве самостоятельно вне связи с источником своего возникновения. Так, после выключения передатчика электромагнитное поле не исчезает, а продолжает существовать в виде свободно распространяющейся волны.

Свет давно погасшей звезды, который, как известно, имеет электромагнитную природу, тем не менее, продолжает свое существование в межзвездном пространстве, достигая поверхности Земли через миллиарды световых лет. Наконец, до сих пор существует так называемое реликтовое излучение, т.е. электромагнитные поля, возникшие во время образования Вселенной.

Переменное электромагнитное поле возбуждается в колебательных цепях генератора высокой частоты передатчика. Источником этого поля является электрический ток. В колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивности и конденсатора, электрический ток образует замкнутую цепь, состоящую из тока проводимости, протекающего в соединительных проводах и катушке индуктивности, и тока смещения, возникающего между обкладками конденсатора. В такой схеме магнитное поле сосредоточено в индуктивности, а электрическое поле – в конденсаторе. Таким образом, магнитное и электрическое поле оказываются раздельно связанными с элементами схемы в ограниченном объеме пространства. Поэтому излучение электромагнитных волн такой системой невозможно.

Необходимые условия для излучения поля выполняются в открытом колебательном контуре, к которому можно перейти от замкнутого контура посредством раздвижения пластин конденсатора. Излучатель, полученный в результате такого изменения конфигурации колебательного контура, называется электрическим вибратором.

В процессе излучения электромагнитное поле теряет связь с источником и распространяется в свободном пространстве со скоростью света в виде радиоволн. При этом единственным источником их существования, как следует из уравнений Максвелла, является ток смещения. Это становится возможным лишь тогда, когда линии тока смещения имеют большую протяженность и удаляются на большое расстояние от источника. Вследствие конечной скорости распространения переменного электромагнитного поля, линии тока смещения на большом удалении от источника замыкаются на себя в тот момент, когда ток проводимости в колебательном контуре становится равным нулю. Происходит “отрыв” электромагнитного поля от первоначального источника и его дальнейшее независимое существование в виде свободно распространяющихся радиоволн.

5.2 Волновые уравнения Гельмгольца

Волновой характер перемещения вещества известен из нашей повседневной жизни. К таким процессам относится распространение звука, когда колебания среды (ее сгущение и разрежение) происходят в направлении перемещения звука. Такие волны называются продольными. Волны на водной поверхности также представляют собой колебательный процесс, однако перемещение частиц в этом случае происходят в плоскости, перпендикулярной направлению движения волны. Такие волны называются поперечными. Как будет показано в дальнейшем, электромагнитные волны в однородных изотропных средах также являются поперечными.

Волновой характер переменного электромагнитного поля является важнейшим следствием уравнений Максвелла. Электромагнитное поле, возникая в некоторой области пространства, не заполняет его мгновенно, а распространяется с конечной скоростью, которая зависит от свойств среды. Происходит запаздывание процесса по фазе. Поверхность равных фаз называется фронтом волны. Как будет показано в разделе 6, независимо от условий образования электромагнитной волны ее фронт на больших расстояниях от источника ( ≫ ) всегда представляет собой сферу. Такие волны называются сферическими. Однако на достаточно больших расстояниях от источника возбуждения волны радиус сферы становится настолько большим, что в масштабе приемной антенны без существенных погрешностей фронт волны можно считать плоским. Такие волны называются плоскими. Введение понятия плоской волны значительно упрощает решение большого круга практических задач из области распространения радиоволн и антенно-фидерных устройств.

Для математического описания волновых процессов применяют так называемые волновые уравнения. Рассмотрим в некоторой области пространства гармонический процесс. Возьмем ротор от обеих частей первого уравнения Максвелла в дифференциальной форме (2.12):

. (5.1)

Левую часть уравнения (5.1) преобразуем, используя известное из векторного анализа тождество:

, (5.2)

где (набла) – оператор Лапласа. В системе декартовых координат оператор Лапласа имеет вид:

. (5.3)

так как всегда равняется нулю, и также равняется нулю, то, заменив rot его значением, получим:

. (5.4)

По аналогии с (5.4), запишем уравнение для вектора :

. (5.5)

Введя обозначение , окончательно получим:

(5.6,а)

. (5.6,б)

Уравнения (5.6,а) и (5.6,б) получили название однородных волновых уравнений Гельмгольца.

5.3 Плоские волны в однородных изотропных средах

без потерь

Во многих практических задачах по определению векторов поля без заметных погрешностей можно пренебречь тепловыми потерями, считая среду идеальным диэлектриком. В этом случае волновые уравнения будут иметь простейшее решение. Нетрудно убедиться, что при достаточном удалении от источника излучения волны амплитуда поля не зависит от места расположения рассматриваемой точки на фронте волны. Как следует из рис.5.1, амплитуда поля не изменяется от точки М₁ к точке М₂, поэтому весь процесс в системе декартовых координат не зависит от x и y, то есть:

, . (5.7)

С учетом (5.7) волновое уравнение (5.6,а) принимает вид:

. (5.8)

Решение этого уравнения хорошо известно:

, (5.9)

где А и В – произвольные коэффициенты, включающие временной множитель ,

– единичный вектор.

Выделяя временной множитель, окончательно запишем:

. (5.10)