Андрусевич Л.К. - Электромагнитные поля и волны (1092657), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

. (2.23)

Выразим сопротивление цилиндра через его удельную проводимость :

. (2.24)

Подставим (2.24) в (2.22):

. (2.25)

Разделив обе части последнего равенства на dS, получим соотношение , которое можно переписать в векторной форме:

. (2.26)

Уравнение (2.26) принято называть законом Ома в дифференциальной форме.

Так как плотность тока проводимости всегда имеет конечное значение, то из формулы (2.26) непосредственно следует, что, если проводимость среды стремится к бесконечности, то напряженность электрического поля стремится к нулю. Приравняв к нулю левую часть второго уравнения Максвелла (2.14), получим, что

.

Это равносильно условию, что в случае переменных полей .

Таким образом, в идеально проводящих средах электромагнитное поле отсутствует. В средах с конечной проводимостью электромагнитное поле как функция расстояния затухает тем интенсивнее, чем выше проводимость среды. С учетом изложенного первое уравнение Максвелла в интегральной и дифференциальной форме соответственно примет вид:

(2.27)

Уравнения Максвелла являются линейными дифференциальными урав-нениями. Поэтому электромагнитные поля подчиняются методу суперпозиции. Поле, созданное несколькими источниками, можно рассматривать как сумму полей, созданных каждым источником в отдельности. Принцип суперпозиции широко применяется при решении различных задач электродинамики, в частности, в задачах анализа и синтеза передающих и приемных антенн.

2.2.4 Уравнения Максвелла в комплексной форме

Электромагнитные процессы могут быть разной степени сложности. В простейшем случае это колебание одной частоты (гармоническое или моно-хроматическое колебание). Более сложные процессы с помощью интеграла Фурье всегда можно представить как суперпозицию гармонических колебаний множества частот. Поэтому законы электромагнетизма, как правило, исследуются применительно к гармоническим полям. Колебание одной частоты описывается простым математическим выражением:

, (2.28)

где U_m – амплитуда колебания,

– круговая (угловая) частота,

φ – начальная фаза.

Для упрощения математических операций вводится комплексная форма записи колебательного процесса с помощью метода комплексных амплитуд:

, (2.29)

где выражение называется комплексной амплитудой величины U.

Используя преобразование Эйлера, выражение (2.29) можно переписать в виде:

. (2.30)

Из (2.30) следует, что исходная функция является реальной частью комплексной величины .

Преимущество метода комплексных амплитуд заключается в том, что дифференцирование комплексной величины равносильно умножению ее на :

. (2.31)

Подобная замена позволяет во многих случаях существенно упростить математические преобразования. Все сказанное в полной мере справедливо при проведении операций с векторами электромагнитного поля:

, , , (2.32)

где исходные векторы определяются как

, , , . (2.33)

Используя (2.33), запишем первое уравнение Максвелла в комплексной форме:

. (2.34)

Введем обозначение:

. (2.35)

После подстановки (2.35) в (2.34) получим:

. (2.36)

В еличина называется абсолют-ной комплексной диэлектрической прони-цаемостью среды. На рис. 2.4 величина представлена на комплексной плос-кости. Отношение мнимой части к вещественной называется тангенсом угла потерь :

. (2.37)

Формулу (2.37) принимают в качестве критерия при оценке принадлежности среды к проводникам или диэлектрикам. Если , то среда считается проводником, если _, то диэлектриком.

В средах с конечной проводимостью часть энергии электромагнитного поля расходуется на нагрев вещества. Под действием электрического поля свободные электроны, двигаясь в проводнике, взаимодействуют с нейтральными атомами, расположенными в узлах кристаллической решетки, деформируя ее. Сила взаимодействия электронов с кристаллической решеткой имеет природу трения, что вызывает нагрев вещества.

В диэлектриках свободные заряды отсутствуют, и электромагнитное поле взаимодействует с нейтральными атомами или их агрегатами (молекулами), вызывая эффект поляризации вещества (раздел 1.1). В процессе переориентации электрических диполей их взаимодействие также имеет природу трения, что приводит к тепловым потерям. При этом диэлектрическая проницаемость среды, как и в случае среды с конечной проводимостью, имеет комплексный характер. Поэтому по аналогии с (2.35) можно записать:

, (2.38)

где величина условно называется эквивалентной проводимостью диэлектрика. Отношение мнимой части (2.39) к вещественной части называется тангенсом угла диэлектрических потерь δ_д:

. (2.39)

Используя (2.33), нетрудно записать 2, 3 и 4 уравнения Максвелла в комплексной форме:

Второе уравнение Максвелла: . (2.40)

Третье уравнение Максвелла для монохроматического поля можно получить из первого уравнения Максвелла, взяв дивергенцию от обеих частей равенства (2.36):

Так как дивергенция ротора тождественно равна нулю, то третье уравнение Максвелла для монохроматического поля примет вид:

. (2.41)

Из (2.41) следует, что в установившемся режиме в проводящих средах объемная плотность свободных зарядов равна нулю. Это нетрудно доказать, воспользовавшись уравнением непрерывности (2.21):

. (2.42)

Подставив в (2.42) третье уравнение Максвелла в дифференциальной форме (2.15), получим дифференциальное уравнение

. (2.43)

Решая (2.43) относительно ρ, получим:

, (2.44)

где ρ₀ – плотность заряда в начале процесса установления.

Из (2.44) видно, что плотность свободных зарядов в объеме V с течением времени убывает по экспоненциальному закону. Интервал времени, в течение которого заряд убывает в е раз, называется временем релаксации. Например, для металлов это время составляет величину порядка 10^-18 секунд. Отсутствие объемного заряда вовсе не означает, что заряды вообще отсутствуют. Просто в течение времени заряды скапливаются в очень тонком поверхностном слое в виде поверхностного заряда. Формула (2.41) справедлива и для диэлектриков, так как в них отсутствуют свободные заряды по определению.

Четвертое уравнение Максвелла: . (2.45)

В разделе 1.1 было показано, что под действием внешнего магнитного поля в ферромагнетиках происходит переориентация магнитных моментов отдельных атомов. При этом сила их взаимодействия имеет характер трения. В результате возникают потери теплового характера. Поэтому магнитная проницаемость ферромагнетиков, как и диэлектрическая проницаемость полупроводящих сред, имеет комплексный характер.

2.2.5 Полная система уравнений электродинамики

На основании изложенного становится понятным, что все свойства электромагнитных явлений можно описать с помощью системы уравнений электродинамики, которые включают в себя уравнения Максвелла и уравнения, связывающие между собой векторы , , , . В случае линейных изотропных сред эти уравнения имеют вид:

, , . (2.46)

Их часто называют материальными, так как они характеризуют среду. В анизотропных средах величины становятся тензорами (то есть функциями координат).

Таким образом, на основании уравнений Максвелла можно сделать следующие выводы:

1.Электрическое и магнитное поля как составляющие электромагнитного поля могут быть его частными проявлениями в зависимости от условий.

2.Всякое изменение одного из полей ведет к изменению (или появлению) другого. Независимое существование электрического поля (без магнитного) возможно только в случае статических зарядов.

3.Источником электрического поля являются статические заряды и токи.

4.Источником магнитного поля являются движущиеся заряды (электрические токи) или возмущения электрического поля (токи смещения).

5.Электрическое поле может быть потенциальным и вихревым. Магнитное поле всегда вихревое.

Целесообразно систематизировать уравнения электродинамики в виде таблицы, что существенно облегчает их запоминание (таблица 2.1).

Система уравнений электродинамики

Таблица 2.1

2.2.6 Электромагнитное поле и сторонние токи

Характеристики

Список файлов книги