Андрусевич Л.К. - Электромагнитные поля и волны (1092657), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

двух сред с конечной проводимостью

В начале исследуем случай параллельной поляризации (рис.6.1). В общем случае возникают отраженный и преломленный лучи. Углы падения φ, отражения и преломления отсчитываются от нормали к границе раздела (ось z). Так как угол падения всегда равен углу отражения, то положим φ= =φ. Запишем граничные условия для касательных составляющих и . В дальнейшем для упрощения записи опустим индекс . Векторы падающей волны обозначим индексом «0», отраженной волны – индексом «–», а преломленной волны – индексом «+»:

, (6.1,а)

или (6.1,б)

Поделив (6.1,а) на (6.1,б) и выполнив ряд простых преобразований, получим:

. (6.2)

Отношение вектора напряженности поля отраженной волны к вектору напряженности поля падающей волны называется коэффициентом отражения Г. Коэффициентом прохождения называется отношение вектора напряженности поля преломленной волны к вектору напряженности поля падающей волны:

. (6.3)

Как следует из (6.2) и (6.3), коэффициенты отражения и преломления в случае сред с конечной проводимостью являются комплексными величинами:

. (6.4)

Теперь рассмотрим случай нормальной поляризации. В этом случае граничные условия запишутся как

(6.5,а)

или

. (6.5,б)

Выполнив преобразования, аналогич-ные случаю параллельной поляризации, запишем выражения для коэффициентов отражении и преломления:

, (6.6,а)

. (6.6,б)

В случае сред без потерь, коэффициенты отражения и прохождения принимают чисто вещественное значение.

6.3 Полное прохождение волны во вторую среду.

Угол Брюстера

Пусть обе среды являются обычными диэлектриками с параметрами и . Для определения условия полного прохождения волны во вторую среду положим коэффициент отражения в формуле (6.2) равным нулю. Тогда

. (6.7)

Возведем в квадрат обе части равенства (6.7) и произведем замену

. (6.8)

Из (6.8), учитывая, что , после несложных преобразований:

, ,

получим:

(6.9)

Из (6.9) следует, что в случае параллельной поляризации, когда обе среды являются диэлектриками, существует угол падения волны на их границу раздела, при котором отсутствует отраженный луч, и волна полностью проходит во вторую среду. Этот угол носит название угла Брюстера.

При нормальной поляризации не существует условия, при котором имеет место полное прохождение волны во вторую среду. Если положить в формуле (6.6,а) коэффициент отражения равным нулю, то нетрудно показать, что это условие выполняется только тогда, когда ε₁=ε_2, т.е. при отсутствии границы раздела. Иными словами, нормально поляризованная волна отражается при любых углах падения.

6.4 Полное отражение волны от границы

раздела двух сред

Критический угол падения на границу раздела двух диэлектриков, при котором отсутствует преломленная волна, можно определить из закона Снеллиуса, положив угол преломления ψ равным 90^o:

или . (6.10)

Из (6.10) следует, что условие полного отражения выполняется, если волна падает на границу раздела из среды с большей оптической плотностью в среду с меньшей оптической плотностью (n₁> n₂), если угол падения φ≥φ_кр.

Исследуем свойства волны в случае полного отражения от границы раздела. Вначале для удобства изменим систему координат. Пусть волна распространяется вдоль направления z' (рис.6.2). Тогда

, (6.11)

где и – проекции осей y и z на z'. С учетом (6.11) волновой процесс над границей раздела можно описать функцией

, (6.12)

где первое слагаемое – падающая волна, второе слагаемое – отраженная волна, а θ – аргумент коэффициента отражения, модуль которого равен единице.

Выражение (6.12) преобразуем следующим образом. Вначале вынесем за скобки общий множитель а выражение в скобках преобразуем по формуле Эйлера вида .

Тогда волновой процесс над границей раздела запишется как

(6.13)

Первый сомножитель выражения (6.13) представляет собой поверхностную волну, распространяющуюся вдоль границы раздела, а второй сомножитель показывает, что амплитуда этой волны в направлении нормали к границе раздела изменяется по закону стоячей волны (рис.6.3). Фазовая скорость поверхностной волны определяется выражением

, (6.14)

о ткуда следует, что ее фазовая скорость больше фазовой скорости волны в безграничной среде с параметрами ε_а1 и µ_а1=µ_о. Во второй среде волна распространяется вдоль границы раздела в достаточно тонком поверхностном слое, так как ее амплитуда быстро затухает в направлении нормали к границе раздела (рис.6.3). Фазовая скорость этой волны определяется, как и в первой среде, по формуле (6.14). Так как ε_а2<ε_а1, то фазовая скорость волны во второй среде меньше фазовой скорости волны в этой среде при отсутствии границ. Такая волна называется замедленной. Подобный эффект используется при разработке антенн, выполненных на основе диэлектрических структур. Наблюдается он также в оптических линиях передачи.

6.5 Падение волны на границу раздела

диэлектрик–идеальный проводник

Если в формуле (5.37) вместо комплексной величины подставить ее значение , то нетрудно убедиться, что волновое сопротивление идеального проводника равно нулю. Тогда в случае параллельной поляризации коэффициент отражения равен 1, а в случае нормальной поляризации равен –1. Это означает, что имеет место полное отражение, и что при параллельной поляризации при отражении от идеального проводника фаза волны остается неизменной, а в случае нормальной поляризации фаза скачком изменяется до значения

При нормальном падении волны на границу с идеальным проводником (φ=0) прямая и отраженная волны в сумме образуют стоячую волну с амплитудой

. (6.15)

Комплексная амплитуда магнитного поля определяется из условия

. (6.16)

И з (6.15) и (6.16) следует, что электрическое и магнитное поля сдвинуты между собой по фазе на угол 90⁰ во времени (наличие j) и пространстве ( в выражении для электрического поля и в выражении для магнитного поля). Поэтому средняя по времени плотность потока мощности равна нулю:

. (6.17)

Таким образом, в результате отражения от идеального проводника образуется стоячая волна, характеризующаяся тем, что фаза волны не зависит от времени, и отсутствует перенос энергии вдоль направления распространения (рис.6.4).

7 Излучение электромагнитных волн

7.1 Элементарный электрический излучатель

Исследование характеристик вибраторных антенн в строгой постановке производится с помощью решения волновых уравнений с правой частью. Однако при решении задач анализа и синтеза антенн возникают значительные математические трудности. Основная причина их заключается в том, что амплитуда тока в вибраторе распределена неравномерно. Это следует из того, что вибраторная антенна представляет собой систему, подобную длинной линии в режиме холостого хода. Поэтому в антенне, как и в линии при холостом ходе, амплитуда тока распределяется по закону стоячей волны.

Р ешение задачи значительно упрощается при условии, что амплитуда и фаза тока по всей длине антенны постоянны. Проводник конечной длины всегда можно представить совокупностью отрезков бесконечно малой длины, на протяжении которых амплитуда тока и его фаза практически не изменяется. Тогда результирующее поле излучения проводника с током можно представить как сумму полей, создаваемых отдельными отрезками проводника. Проводник с бесконечно малой (по сравнению с длиной волны) длиной и постоянными амплитудой и фазой электрического тока по всей его длине называется элементарным электрическим излучателем (рис.7.1).

П остоянство амплитуды тока по всей длине проводника в принципе возможно, как это следует из закона сохранения заряда, согласно которому амплитуда переменного во времени заряда пропорциональна изменению тока. Так как по условию амплитуда тока проводимости по всей длине проводника постоянна и скачком уменьшается до нуля на его концах, то именно на его концах должны быть сосредоточены заряды. Такой излучатель можно отождествить с электрическим диполем. Излучатель с подобными свойствами впервые был реализован Генрихом Герцем в виде симметричного вибратора длиной много меньше длины волны с металлическими шарами, установленными на его концах. Обладая большой электрической емкостью, эти шары способствуют накоплению зарядов на концах вибратора, что приводит к существенному выравниванию амплитуды тока по его длине. Впоследствии такой вибратор был назван диполем Герца (рис.7.2).

7.2 Поле излучения элементарного электрического излучателя

В основе теории излучения электромагнитных волн лежат неоднородные волновые уравнения Даламбера:

, (7.1)

,

где

– плотность стороннего тока,

– плотность стороннего заряда.

Решение волновых уравнений сводится к определению векторов Е и Н в произвольной точке пространства по известному распределению тока по длине вибратора. Ограничимся анализом поля на расстоянии от вибратора r >> λ (kr >> 1). Эта область называется дальней зоной, или зоной излучения. В этой области пространства электромагнитное поле имеет волновой характер.

Характеристики

Список файлов книги